版高中数学苏教版必修二学案章末复习课2.docx

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版高中数学苏教版必修二学案章末复习课2

学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练应用待定系数法求直线与圆的方程.3.能解决一些简单的直线与圆的综合问题，渗透数形结合等数学思想.

1.直线的倾斜角和斜率

（1）直线的倾斜角

定义：

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.

倾斜角α的取值范围：

____________.

（2）直线的斜率

①定义：

________________.

②过两点的直线的斜率公式：

______________.

（3）斜率的求法

①依据倾斜角.②依据直线方程.③依据两点的坐标.

2.直线方程的几种形式的转化

3.两条直线的平行与垂直

l1：

y＝k1x＋b1，l2：

y＝k2x＋b2，

l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1.

4.两条直线的交点

l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与l2：

A2x＋B2y＋C2＝0相交，交点坐标即方程组的一组解.

方程组______解⇔l1∥l2；

方程组有__________解⇔l1与l2重合.

5.距离公式

（1）两点间的距离公式

平面上P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点间的距离公式

P1P2＝________________.

（2）点到直线的距离公式

①点P（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离为d＝________________.

②两平行直线l1：

Ax＋By＋C1＝0与l2：

Ax＋By＋C2＝0的距离为d＝________________.

6.圆的方程

（1）圆的标准方程：

________________.

（2）圆的一般方程：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0________.

7.点和圆的位置关系

设点P（x0，y0）及圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

（1）（x0－a）2＋（y0－b）2>r2⇔点P________.

（2）（x0－a）2＋（y0－b）2

（3）（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2⇔点P________.

8.直线与圆的位置关系

设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则________→相离；________→相切；________→相交.

9.圆与圆的位置关系

设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则两圆：

位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

图示

d与r1，r2的关系

d>r1＋r2

d＝r1＋r2

|r1－r2|

d＝|r1－r2|

d<|r1－r2|

10.求圆的方程时常用的四个几何性质

11.计算直线被圆截得的弦长的常用方法

（1）几何方法

运用弦心距（即圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.

（2）代数方法

运用根与系数的关系及弦长公式

AB＝|xA－xB|

＝.

注：

圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.

12.空间中两点的距离公式

一般地，空间中任意两点P1（x1，y1，z1），点P2（x2，y2，z2）间的距离为

P1P2＝________________________.

类型一　待定系数法的应用

命题角度1　求直线方程

例1　直线l被两条直线l1：

4x＋y＋3＝0和l2：

3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P（－1,2），求直线l的方程.

反思与感悟　待定系数法，就是所研究的式子（方程）的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法.直线的方程常用待定系数法求解.选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等.

跟踪训练1　求在两坐标轴上截距相等，且到点A（3,1）的距离为的直线的方程.

命题角度2　求圆的方程

例2　根据条件求下列圆的方程.

（1）求经过A（6,5），B（0,1）两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；

（2）求半径为，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4的圆的方程.

反思与感悟　求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤

第一步：

选择圆的方程的某一形式.

第二步：

由题意得a，b，r（或D，E，F）的方程（组）.

第三步：

解出a，b，r（或D，E，F）.

第四步：

代入圆的方程.

注：

解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：

圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.

跟踪训练2　如图所示，圆C与x轴相切于点T（1,0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB＝2，则圆C的标准方程为________________.

类型二　分类讨论思想的应用

例3　已知直线l经过点P（－4，－3），且被圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程.

反思与感悟　对于求直线方程的问题，用斜率表示直线方程，要注意讨论斜率不存在的情况.

跟踪训练3　如图，已知以点A（－1,2）为圆心的圆与直线l1：

x＋2y＋7＝0相切.过点B（－2,0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.

（1）求圆A的方程；

（2）当MN＝2时，求直线l的方程.

类型三　数形结合思想

例4　已知三条直线l1：

x－2y＝0，l2：

y＋1＝0，l3：

2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.

反思与感悟　本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果.

跟踪训练4　已知点A（－1,0），B（2,0），动点M（x，y）满足＝，设动点M的轨迹为C.

（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；

（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；

（3）设直线l：

y＝x＋m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过点A？

若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.

1.下列有关直线l：

x＋my－1＝0的说法：

①直线l的斜率为－m；②直线l的斜率为－；

③直线l过定点（0,1）；④直线l过定点（1,0）.

其中正确的说法是________.（填序号）

2.直线l过点A（3,4）且与点B（－3,2）的距离最远，那么l的方程为________.

3.已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为______________.

4.过点P（－1,0）、Q（0,2）分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，则这两条直线的方程分别为______________________________________________.

5.已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.

（1）当直线与圆相切时，求实数m的值；

（2）当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值.

1.待定系数法是求解直线与圆的方程的一种非常重要的方法.

2.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.

3.

（1）圆的切线的性质：

圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.

（2）直线与圆相交的弦的有关性质：

相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线（中垂线）一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半满足勾股定理.

（3）与直径有关的几何性质：

直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.

答案精析

知识梳理

1．

（1）0°≤α<180°　

（2）①k＝tanα（α≠90°）

②k＝（x1≠x2）

2．y＝kx＋b　＋＝1

4．无　无数组

5．

（1）

（2）①　②

6．

（1）（x－a）2＋（y－b）2＝r2

（2）（D2＋E2－4F>0）

7．

（1）在圆外　

（2）在圆内　（3）在圆上

8．d>r　d＝r　d

12.

题型探究

例1　解　方法一　设直线l与l1的交点为A（x0，y0），由已知条件，得直线l与l2的交点为B（－2－x0,4－y0），并且满足

即解得

因此直线l的方程为＝，

即3x＋y＋1＝0.

方法二　当直线l斜率的不存在时，经检验知不合题意．

设直线l的方程为y－2＝k（x＋1），

即kx－y＋k＋2＝0.

由得x＝.

由得x＝.

则＋＝－2，解得k＝－3.

因此所求直线方程为y－2＝－3（x＋1），

即3x＋y＋1＝0.

方法三　两直线l1和l2的方程为

（4x＋y＋3）（3x－5y－5）＝0，①

将上述方程中（x，y）换成（－2－x,4－y），

整理可得l1与l2关于（－1,2）对称图形的方程为

（4x＋y＋1）（3x－5y＋31）＝0.②

①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求的直线方程．

跟踪训练1　解　当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.

由题意知＝，解得k＝1或k＝－.所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.

当直线不过原点时，

设所求直线的方程为＋＝1，

即x＋y－a＝0.由题意知＝，

解得a＝2或a＝6.

所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

例2　解　

（1）由题意知，线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，

由解得

∴圆心C（7，－3），半径为r＝AC＝.

∴所求圆的方程为（x－7）2＋（y＋3）2＝65.

（2）方法一　设圆的方程为

（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

则圆心坐标为（a，b），半径为r＝，

圆心（a，b）到直线x－y＝0的距离为

d＝.

由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得d2＋（）2＝r2，即＋8＝10，

∴（a－b）2＝4.又∵b＝2a，

∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，

∴所求圆的方程为（x－2）2＋（y－4）2＝10或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.

方法二　设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝10，∵圆心C（a，b）在直线y＝2x上，∴b＝2a.

由圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，

将y＝x代入（x－a）2＋（y－b）2＝10，

得2x2－2（a＋b）x＋a2＋b2－10＝0.

设直线y＝x交圆C于点A（x1，y1），

B（x2，y2），

则AB＝

＝＝4，

∴（x1＋x2）2－4x1x2＝16.

∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，

∴（a＋b）2－2（a2＋b2－10）＝16，

即a－b＝±2.

又∵b＝2a，

∴或

∴所求圆的方程为（x－2）2＋（y－4）2＝10或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.

跟踪训练2　（x－1）2＋（y－）2＝2

例3　解　圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝25的圆心为（－1，－2），半径r＝5，

①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意．

②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k（x＋4），即