高三数学人教版A版数学理高考一轮复习教案13 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词 Word版含答案.docx
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高三数学人教版A版数学理高考一轮复习教案13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词Word版含答案
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义.
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知识点一 简单的逻辑联结词
1.用联结词“且”联结命题p和命题q,记作p∧q,读作“p且q”.
2.用联结词“或”联结命题p和命题q,记作p∨q,读作“p或q”.
3.对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作綈p,读作“非p”或“p的否定”.
4.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断:
p∧q中p,q有一假为假,p∨q有一真为真,p与非p必定是一真一假.
必备方法 逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.
[自测练习]
1.(2015·枣庄模拟)如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题,则( )
A.命题q一定是真命题
B.命题p不一定是假命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题p与命题q真假相同
解析:
由綈p是真命题,则p为假命题.又p∨q是真命题,故q一定为真命题.
答案:
A
知识点二 全称量词与存在量词
1.全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,并用符号“∀”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫作全称命题.
(3)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:
∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
2.存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,并用符号“∃”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫作特称命题.
(3)特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,P(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.
3.含有一个量词的命题的否定
命 题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,綈p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
易误提醒
(1)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定,否则易出错.
(2)p或q的否定易误写成“綈p或綈q”;p且q的否定易误写成“綈p且綈q”.
必备方法 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.
[自测练习]
2.(2015·郑州预测)已知命题p:
∀x>2,x3-8>0,那么綈p是( )
A.∀x≤2,x3-8≤0B.∃x>2,x3-8≤0
C.∀x>2,x3-8≤0D.∃x≤2,x3-8≤0
解析:
本题考查全称命题的否定.依题意,綈p是“∃x>2,x3-8≤0”,故选B.
答案:
B
3.下列命题为真命题的是( )
A.∃x0∈Z,1<4x0<3
B.∃x0∈Z,5x0+1=0
C.∀x∈R,x2-1=0
D.∀x∈R,x2+x+2>0
解析:
1<4x0<3,
,这样的整数x0不存在,故A为假命题;5x0+1=0,x0=- ∉Z,故B为假命题;x2-1=0,x=±1,故C为假命题;对任意实数x,都有x2+x+2= 2+ >0,故D为真命题. 答案: D 考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断| 1.(2016·石家庄一模)命题p: 若sinx>siny,则x>y;命题q: x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( ) A.p或qB.p且q C.qD.綈p 解析: 取x= ,y= ,可知命题p不正确;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q正确,故綈p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题,故选B. 答案: B 2.给定下列三个命题: p1: 函数y=ax+x(a>0,且a≠1)在R上为增函数; p2: ∃a,b∈R,a2-ab+b2<0; p3: cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β(k∈Z). 则下列命题中的真命题为( ) A.p1∨p2B.p2∧p3 C.p1∨綈p3D.綈p2∧p3 解析: 对于p1: 令y=f(x),当a= 时,f(0)= 0+0=1,f(-1)= -1-1=1,所以p1为假命题;对于p2: a2-ab+b2= 2+ b2≥0,所以p2为假命题;对于p3: 由cosα=cosβ,可得α=2kπ±β(k∈Z),所以p3是真命题,所以綈p2∧p3为真命题,故选D. 答案: D 判断一个含有逻辑联结词的命题的真假的三个步骤 (1)判断复合命题的结构; (2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假; (3)依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法,作出判断即可. 考点二 全称命题与特称命题真假判断| 1.下列命题中,真命题是( ) A.存在x0∈R,sin2 +cos2 = B.任意x∈(0,π),sinx>cosx C.任意x∈(0,+∞),x2+1>x D.存在x0∈R,x +x0=-1 解析: 对于A选项: ∀x∈R,sin2 +cos2 =1,故A为假命题;对于B选项: 存在x= ,sinx= ,cosx= ,sinx x2+1-x= 2+ >0恒成立,C为真命题;对于D选项: x2+x+1= 2+ >0恒成立,不存在x0∈R,使x +x0=-1成立,故D为假命题. 答案: C 2.下列命题中,真命题是( ) A.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数 B.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数 C.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 解析: 由于当m=0时,函数f(x)=x2+mx=x2为偶函数,故“∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)为偶函数”是真命题. 答案: A 全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 考点三 利用命题的真假求参数范围| (2015·高考山东卷)若“∀x∈ ,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________. [解析] 由已知可得m≥tanx 恒成立.设f(x)=tanx ,显然该函数为增函数,故f(x)的最大值为tan =1,由不等式恒成立可得m≥1,即实数m的最小值为1. [答案] 1 根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 已知命题p: ∃m∈R,m+1≤0,命题q: ∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若p∧q为假命题.则实数m的取值范围为________. 解析: 易知命题p为真命题, 若命题q为真命题,则Δ=m2-4<0, 即-2 当p∧q为真时,有 ∴-2 ∴p∧q为假时, m的取值范围为{m|m≤-2,或m>-1}. 答案: (-∞,-2]∪(-1,+∞) 2.全称命题的否定不当致误 【典例】 设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p: ∀x∈A,2x∈B,则( ) A.綈p: ∀x∈A,2x∉BB.綈p: ∀x∉A,2x∉B C.綈p: ∃x∉A,2x∈BD.綈p: ∃x∈A,2x∉B [解析] “∀x∈A”的否定为“∃x∈A”,“2x∈B”的否定为“2x∉B”,故原命题的否定为“∃x∈A,2x∉B”,故选D. [答案] D [易误点评] 此类题目常易犯下列三种错误: (1)否定了结论,并没有否定量词. (2)否定了条件与结论,没有否定量词. (3)否定了条件,没有否定结论. [防范措施] (1)弄清楚是全称命题还是特称命题,尤其是省略了量词的命题. (2)全(特)称命题的否定应从两个方面着手: 一是量词变化,“∀”与“∃”互换;二是否定命题的结论,但不是否定命题的条件. [跟踪练习] (2015·高考全国卷Ⅰ)设命题p: ∃n∈N,n2>2n,则綈p为( ) A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n 解析: 命题p是一个特称命题,其否定是全称命题,故选C. 答案: C A组 考点能力演练 1.已知命题p: ∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则綈p是( ) A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 解析: 綈p: ∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0. 答案: C 2.已知命题p: ∃x∈R,x2-3x+4≤0,则下列说法正确的是( ) A.綈p: ∃x∈R,x2-3x+4>0,且綈p为真命题 B.綈p: ∃x∈R,x2-3x+4>0,且綈p为假命题 C.綈p: ∀x∈R,x2-3x+4>0,且綈p为真命题 D.綈p: ∀x∈R,x2-3x+4>0,且綈p为假命题 解析: 因为x2-3x+4= 2+ ≥ ,所以命题p为假命题,所以綈p: ∀x∈R,x2-3x+4>0,且綈p为真命题,故选C. 答案: C 3.(2016·珠海一模)命题p: 的值不超过2,命题q: 是无理数,则( ) A.命题“p或q”是假命题 B.命题“p且q”是假命题 C.命题“非p”是假命题 D.命题“非q”是真命题 解析: 因为 ≈2.236>2,故p为假命题, 是无理数,故q是真命题,由复合命题的真假判断法则可知B正确. 答案: B 4.下列选项中,说法正确的是( ) A.命题“∃x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x∈R,x2-x>0” B.命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件 C.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题 D.命题“在△ABC中,若sinA< ,则A< ”的逆否命题为真命题 解析: A中命题的否定是: ∀x∈R,x2-x>0,故A不对;B中当p为假命题、q为真命题时,p∨q为真,p∧q为假,故B不对;C中当m=0时,a,b∈R,故C的说法正确;D中命题“在△ABC中,若sinA< ,则A< ”为假命题,所以其逆否命题为假命题.故选C. 答案: C 5.(2016·太原模拟)已知命题p: ∃x0∈R,ex0-mx0=0,q: ∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(綈q)为假命题,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.[0,2] C.RD.∅ 解析: 若p∨(綈q)为假命题,则p假q真.命题p为假命题时,有0≤m 答案: B 6.命题“存在x∈R,使得|x-1|-|x+1|>3”的否定是________. 解析: 本题考查了特称命题与全称命题.命题“存在x∈R,使得|x-1|-|x+1|>3”的否定是“对任意的x∈R,都有|x-1|-|x+1|≤3”. 答案: 对任意的x∈R,都有|x-1|-|x+1|≤3 7.命题p: 若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件;命题q: 函数y= 的定义域是[3,+∞),则“p∨q”、“p∧q”、“綈p”中为真命题的是________. 解析: 依题意知p假,q真,所以p∨q,綈p为真. 答案: p∨q,綈p 8.命题: “存在实数x,满足不等式(m+1)x2-mx+m-1≤0”是假命题,则实数m的取值范围是________. 解析: 依题意,“对任意的实数x,都满足不等式(m+1)x2-mx+m-1>0”是真命题,则必须满足 解得m> . 答案: 9.已知命题p: 关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q: 关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p或q是真命题,p且q是假命题,求实数a的取值范围. 解: 命题p等价于Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4; 命题q等价于- ≤3,即a≥-12. 由p或q是真命题,p且q是假命题知,命题p和q一真一假. 若p真q假,则a<-12;
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