初升高数学衔接课程.docx
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初升高数学衔接课程
初升高中衔接教程
数 学
第 1 讲数与式
1、理解并掌握乘法公式与因式分解
教学目标2、理解并掌握二次根式的运算与化简
3、理解并掌握繁分式的化简
乘法公式与因式分解
重点、难点
二次根式与分式
1、理解并掌握乘法公式与因式分解
考点及考试要求2、理解并掌握二次根式的运算与化简
3、理解并掌握繁分式的化简
教学内容
知识框架
⎧⎧乘法公式
⎪⎪
⎪
⎩
数与式⎨⎧公式法
⎪⎪
⎪
⎪
⎩
知识点一:
乘法公式
【内容概述】
【公式 1】 (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
【公式 2】 (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3 (立方和公式)
【公式 3】 (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b 3 (立方差公式)
【公式 4】 (a + b)3 = a3 + b3 + 3a 2b + 3ab 2 (请同学证明)
【公式 5】 (a - b)3 = a3 - 3a 2b + 3ab2 - b3 (请同学证明)
【典型例题—1】:
1
3
第 1 页 共 92 页
例 3.计算
(1) (3x + 2 y )(9 x2 - 6 xy + 4 y 2 )
(2) (2 x - 3)(4 x2 + 6 xy + 9)
变式 1:
利用公式计算
⎛ 111
⎝ 23 ⎭ 469
变式 2:
利用立方和、立方差公式进行因式分解
(1) 27m3 - n3
(2) 27m3 -
1
8
n3
(3) x3 - 125 (4) m6 - n6
【典型例题—2】:
1
例 4.计算:
(1) ( m -
5
1 1 1 1
n)( m 2 - mn + n 2 )
2 25 10 4
例 5.已知 x2 - 3x + 1 = 0 ,求 x 3 +
1
x 3
的值.
例 6.已知 a + b + c = 0 ,求
1 1 1 1 1 1
a( + ) + b( + ) + c( + ) 的值.
b c c a a b
变式 1:
计算:
( x + 1)(x - 1)(x 2 - x + 1)(x 2 + x + 1) .
第 2 页 共 92 页
变式 2:
已知 a + b + c = 4 , ab + bc + ac = 4 ,求 a 2 + b2 + c2 的值.
知识点二、根式
【内容概述】
式子 a (a ≥ 0) 叫做二次根式,其性质如下:
(1) ( a )2 = a(a ≥ 0)
(2) a2 =| a |
b
=(a > 0, b ≥ 0)
aa
【典型例题—1】:
基本的化简、求值
例 7.化简下列各式:
(1) ( 3 - 2)2 + ( 3 - 1)2
(2) (1- x)2 + (2 - x)2 ( x ≥ 1)
例 8. 计算 4 + 2 3
变式 1:
二次根式 a2 = -a 成立的条件是()
A. a > 0B. a < 0C. a ≤ 0D. a 是任意实数
变式 2:
若 x < 3 ,则 9 - 6 x + x2 - | x - 6 | 的值是()
A.-3B.3C.-9D.9
变式 3:
计算 7 + 4 3
【说明】
1、二次根式的化简结果应满足:
①被开方数的因数是整数,因式是整式; ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
2、二次根式的化简常见类型有下列两种:
第 3 页 共 92 页
①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开
出来;
②分母中有根式(如3
2 b 2
x x
).这时可将其化为 形式(如 可
化为x
化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如3
2 + 3
化为3(2 - 3)
【典型例题—2】:
有理化因式和分母有理化
有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个代
数式叫做有理化因式。
如 a 与 a ;
a x + b y
与 a x - b y
互为有理化因式。
分母有理化:
在分母含有根式的式子里,把分母中的根式化去,叫做分母有理化。
例 9.计算:
(1) ( a + b + 1)(1-a + b ) - ( a + b )2
(2) a
a
a + ab
例 10.设 x =
2 + 3
2 - 3 , y =
2 - 3
2 + 3 ,求 x3 + y3 的值
知识点三、分式
【典型例题—1】:
分式的化简
x 2 + 3x + 96 xx - 1
例 11.化简例 12.化简
x3 - 279 x - x36 + 2 x
【典型例题—2】:
分式的证明
第 4 页 共 92 页
x +
x
1 - x
1
x -
x
11
=-
n(n + 1)nn + 1
(其中 n 是正整数);
(2)计算:
1 1
+ +
1
9 ⨯10
;
(3)证明:
对任意大于1 的正整数n ,有
1 1
+ +
1 1
< .
n(n + 1) 2
【典型例题—3】:
分式的运用
例 14.设 e =
c
a
,且 e>1,2c2-5ac+2a2=0,求 e 的值.
变式 1:
对任意的正整数 n,
1
n(n + 2)
= ______________-
变式 2:
选择题:
若
2 x - y 2 x
= ,则 =( )
x + y 3 y
546
(A)1(B)(C)(D)
455
变式 3:
计算
1 1 1 1
+ + + ... +
1⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 99 ⨯100
.
知识点四、因式分解
【内容概述】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形。
在分式运算、解
方程及各种恒等变形中起着重要的作用。
是一种重要的基本技能。
因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方
公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。
第 5 页 共 92 页
【典型例题—1】:
公式法(立方和、立方差公式)
【内容概述】
我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:
(a + b)(a 2 - ab + b2 ) = a3 + b3 (立方和公式)
(a - b)(a 2 + ab + b2 ) = a3 - b3 (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:
a3 + b3 = (a + b)(a 2 - ab + b2 )a3 - b3 = (a - b)(a 2 + ab + b2 )
这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。
运用
这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。
例 15.用立方和或立方差公式分解下列各多项式:
(1) 8 + x3
(2) 0.125 - 27b3
变式:
分解因式:
(1) 3a3b - 81b4
(2) a7 - ab6
【典型例题—2】:
分组分解法
【内容概述】
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项
以上的多项式,如ma + mb + na + nb 既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多
项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.
分组分解法的关键在于如何分组.常见题型:
(1)分组后能提取公因式
(2)分组后能直接运用公式
(1)分组后能提取公因式
例 16.把 2ax - 10ay + 5by - bx 分解因式。
变式:
把 ab(c2 - d 2 ) - (a 2 - b2 )cd 分解因式。
(2)分组后能直接运用公式
例 17.把 x 2 - y 2 + ax + ay 分解因式。
变式:
把 2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 - 8 z 2 分解因式。
【典型例题—3】:
十字相乘法
第 6 页 共 92 页
【内容概述】
(1) x2 + ( p + q) x + pq 型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:
①二次项系数是1;②常数项是两个数之积;③
一次项系数是常数项的两个因数之和.
∵ x2 + ( p + q) x + pq = x2 + px + qx + pq = x( x + p) + q( x + p) = ( x + p)( x + q) ,
运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式.
(2)一般二次三项式 ax 2 + bx + c 型的因式分解
由 a a x 2 + (a c + a c ) x + c c = (a x + c )(a x + c ) ,我们发现,二次项系数a 分解成 a a ,
1 21 22 11 211221 2
a ⨯ c
22
如 果 它 正 好 等 于 ax 2 + bx + c 的 一 次 项 系 数 b , 那 么 ax 2 + bx + c 就 可 以 分 解 成
(a x + c )(a x + c ) ,其中 a , c 位于上一行, a , c 位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,
11221122
从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个
二次三项式能否用十字相乘法分解.
(1) x 2 + ( p + q) x + pq 型的因式分解
例 18.把下列各式因式分解:
(1) x 2 - 7 x + 6
(2) x2 + 13x + 36
例 19.把下列各式因式分解:
(1) x2 + 5x - 24
(2) x2 - 2 x - 15
例 20.把下列各式因式分解:
(1) x 2 + xy - 6 y 2
(2) ( x2 + x)2 - 8( x 2 + x) + 12
(2)一般二次三项式 ax 2 + bx + c 型的因式分解
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例 21.把下列各式因式分解:
(1) 12 x2 - 5x - 2
(2) 5 x 2 + 6 xy - 8 y 2
变式练习:
(1)x2-6x+5
(2)x2+15x+56(3)x2+2xy-3y2
(4)(x2+x)2-4(x2+x)-12
【典型例题—3】:
其它因式分解的方法
(1)配方法
例 22.分解因式 x2 + 6 x - 16变式:
(1)x2+12x+20
(2)a4+a2b2+b4
(2)拆项法(选讲)
例 23.分解因式 x3 - 3x2 + 4
(3)其它方法(选讲)
例 24.(x2-5x+2)(x2-5x+4)-8
课后练习
1.填空:
(1)
1 1 1 1
a 2 - b2 = ( b + a) ( );
9 4 2 3
(2) (4 m +)2 = 16m2 + 4m + () ;
(3) (a + 2b - c)2 = a 2 + 4b2 + c 2 + () .
(4)若 (x - 2 y )(x2 + 2 xy + 4 y 2 )+ 8 y3 = 1 ,则 x, y 的值为________
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(5)若 x 2 + x + 1 = 0 ,则 x4 - x2 - 2 x - 1 = ______________
11
(6) a =, b =,则
23
3a2 - ab
3a2 + 5ab - 2b2
= ________________
x2 + 3xy + y 2
(7)若 x 2 + xy - 2 y 2 = 0 ,则= _______________
x2 + y 2
(8)若 -a - b - 2 ab =-b - -a ,则()
(A) a < b(B) a > b(C) a < b < 0(D) b < a < 0
(9 )计算 a - 1
a
等于( )
(A) -a(B)a(C) - -a(D) - a
13x + xy - 3 y
-= 2 ,则
xyx - xy - y
的值为( )
A. 3
3
5 C. -
5
3
m1
9m + 10m- 2m2
325m
(2)
2 x - 2 y x - y
÷ ( x > y > 0)
x 2 x2 y
3.把下列各式分解因式:
(1) 3ax - 3ay + xy - y 2
(2) 8x3 + 4 x2 - 2 x - 1 (3) 5 x 2 - 15 x + 2 xy - 6 y
(4) 4 xy + 1 - 4 x 2 - y 2
(5) a 4b + a 3b 2 - a 2b 3 - ab 4
(6) x6 - y 6 - 2 x3 + 1
第 2 讲一元二次函数与二次不等式
教学目标1、能熟练掌握二次函数的图像,能够根据解析式快速画出函数的图像
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2、理解并掌握二次函数的三种表达式
3、理解并掌握二次函数的最值问题
4、能够根据二次函数、一元二次不等式不等式的关系解二次不等式
二次函数的最值问题
重点、难点
一元二次不等式的解法
考点及考试要求二次函数的最值与一元二次不等式的解法
教学内容
知识框架
1、二次函数的图像与性质2、二次函数的三种表达式
3、二次函数的最值问题4、一元二次不等式
知识点一、 y = ax2 + bx + c 的图像与性质
【内容概述】
1、 当 a > 0 时,
函数 y = ax2 + bx + c 图象开口方向;顶点坐标为,对称轴为直
线;
当
时,y 随着 x 的增大而 ;当 时,y 随着 x 的增大而 ;
当时,函数取最小值.
2、当 a < 0 时,
函 数 y = ax2 + bx + c 图 象 开 口 方 向;顶点坐标为,对称轴为直
线;
当
时,y 随着 x 的增大而 ;当 时,y 随着 x 的增大而 ;
当时,函数取最大值.
上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,
可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.
【典型例题】
例 1 . 求二次函数 y = -3x2 - 6 x + 1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值) 并
指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?
并画出该函数的图象.
变式 1:
作出以下二次函数的草图
(1) y = x 2 - x - 6
(2) y = x 2 + 2 x + 1
(3) y = - x 2 + 1
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例 2 .某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)
之间关系如下表所示:
x /元
y/件
130
70
150
50
165
35
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价
应定为多少元?
此时每天的销售利润是多少?
例 3.把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x2 的
图像,求 b,c 的值.
知识点二、二次函数的三种表示方式
【内容概述】
1、一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);
2、顶点式:
y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).
3、交点式:
y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0).
【典型例题】
例 4.已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1),求
二次函数的解析式.
例 5.已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表
达式.
例 6.已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.
第 11 页 共 92 页
例 7.函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是()
(A)0 个(B)1 个(C)2 个(D)无法确定
变式 1:
已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为
y=a(a≠0) .
变式 2:
二次函数 y=-x2+2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为.
变式 3:
根据下列条件,求二次函数的解析式.
(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6);
(2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11);
(3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).
知识点三、二次函数的最值问题
【内容概述】
1.二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的最值.
二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况:
bb
当 a > 0 时,函数在 x = -处取得最小值,无最大值;当 a < 0 时,函数在 x = -
2a2a
4ac - b2
处取得最大值,无最小值
4a
2.二次函数最大值或最小值的求法.
第一步:
确定 a 的符号,a>0 有最小值,a<0 有最大值;
第二步:
配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
3.求二次函数在某一范围内的最值.
如:
y = ax 2 + bx + c 在 m ≤ x ≤ n (其中 m < n )的最值.
第一步:
先通过配方,求出函数图象的对称轴:
x = x ;
0
第二步:
讨论:
(1)若 a > 0 时求最小值或 a < 0 时求最大值,需分三种情况讨论:
①对称轴小于 m 即 x < m ,即对称轴在 m ≤ x ≤ n 的左侧;
0
第 12 页 共 92 页
②对称轴 m ≤ x ≤ n ,即对称轴在 m ≤ x ≤ n 的内部;
0
③对称轴大于 n 即 x > n ,即对称轴在 m ≤ x ≤ n 的右侧。
0
(2)若 a > 0 时求最大值或 a < 0 时求最小值,需分两种情况讨论:
①对称轴 x ≤
0
m + n
2
,即对称轴在 m ≤ x ≤ n 的中点的左侧;
m + n
②对称轴 x >,即对称轴在 m ≤ x ≤ n 的中点的右侧;
0
说明:
求二次函数在某一范围内的最值,要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置
【典型例题】
例 8.求下列函数的最大值或最小值.
(1) y = 2 x 2 - 3x - 5 ;
(2) y = - x 2 - 3x + 4
例 9.当1 ≤ x ≤ 2 时,求函数 y = - x 2 - x + 1 的最大值和最小值.
例 10.当 x ≥ 0 时,求函数 y = - x(2 - x) 的取值范围.
例 11.当 t ≤ x ≤ t + 1时,求函数 y =
1 5
x2 - x - 的最小值(其中 t 为常数).
2 2
变式 1:
设 a > 0 ,当 -1 ≤ x ≤ 1 时,函数 y = - x2 - ax + b + 1 的最小值是 -4 ,最大值是 0,求 a, b
的值.
第 13 页 共 92 页
变式 2:
已知函数 y = x 2 + 2ax + 1 在 -1 ≤ x ≤ 2 上的最大值为 4,求 a 的值.
变式 3:
求关于 x 的二次函数 y = x 2 - 2tx + 1 在 -1 ≤ x ≤ 1 上的最大值( t 为常数).
变式 4:
已知函数 y=-x2-2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小
值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值:
(1)x≤-2;
(2)x≤2;(3)-2≤x≤1;(4)0≤x≤3.
知识点四、一元二次不等式
【内容概述】
通过前面的学习,咱们已经掌握了根据二次函数的解析式画函数的图像,现在同学们根据图像
与 x 轴交点的个数分类,详细总结,然后对比二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关
系.(在黑板上画出表格的框架,让学生来填,引导学生自主找规律)
1、一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0或ax 2 + bx + c < 0(a ≠ 0)的解集:
设相应的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根为 x 、x 且 x ≤ x , ∆ = b 2 - 4ac ,
1212
则不等式的解的各种情况如下表:
∆> 0∆= 0∆< 0
第 14 页 共 92 页
二次函数
y = ax 2 + bx + c
( a > 0 )的图象
一元二次方程
ax 2 + bx + c = 0
(a > 0 的根
ax 2 + bx + c > 0
(a > 0)的解集
ax 2 + bx + c < 0
(a > 0)的解集
2.简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法:
对简单分式不等式进行等价转化,转化为整式不等式,应当注
意分母不为零.
3.含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为 ax > b 的形式:
(1)当 a > 0 时,不等式的解为:
x >
b
a
;
b
(2)当 a < 0 时,不等式的解为:
x <;
a
(3)当 a = 0 时,不等式化为:
0 ⋅ x > b ;
① 若 b > 0 ,则不等式的解是全体实数;
② 若 b ≤ 0 ,则不等式无解.
【典型例题】
例 12.解下列不等式:
(1) x2 + x - 6 > 0
(2) ( x - 1)(x + 2) ≥ ( x - 2)(2 x
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