全国卷1数学理.docx
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全国卷1数学理
2018年全国一致高考数学试卷(理科)
(新课标Ⅰ)
一、选择题:
本题共
12小题,每题
5分,共60分。
在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项吻合题目要求的。
1.(5
分)设z=
+2i,则|z|=(
)
A.0
B.
C.1D.
2.(5
分)已知会集
2﹣x﹣2>0},则?
R
)
A={x|x
A=(
A.{x|﹣1<x<2}B.{x|﹣1≤x≤2}C.{x|x<﹣1}∪{x|x>2}D.{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}
3.(5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地认识该地区农村的经济收
入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比率,获取以下饼图:
则下面结论中不正确的选项是()
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和高出了经济收入的一半
4.(5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若
3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(
)
A.﹣12B.﹣10C.10
D.12
5.(5分)设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线
y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(
)
A.y=﹣2x
B.y=﹣xC.y=2x
D.y=x
6.(5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则
=(
)
A.﹣
B.﹣
C.+
D.+
7.(5分)某圆柱的高为
2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点
M在正视图上的对应点为
A,圆柱表面
上的点N在左视图上的对应点为
B,则在此圆柱侧面上,从
M到N的路径中,最短路径的长度为(
)
第1页(共18页)
A.2B.2C.3D.2
8.(5分)设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点(﹣2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则?
=()
A.5B.6C.7D.8
9.(5分)已知函数f(x)=,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()
A.[﹣1,0)B.[0,+∞)C.[﹣1,+∞)D.[1,+∞)
10.(5分)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角
三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的地区记为I,黑色部分记为Ⅱ,其他部分记为Ⅲ.在整
个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()
A.p
=p
B.p=pC.p=p
D.p=p+p
3
1
2
1
3
2
3
1
2
11.(5分)已知双曲线
C:
﹣y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过
F的直线与C的两条渐近线的交点分别为
M,N.若△OMN为直角三角形,则
|MN|=(
)
A.B.3
C.2
D.4
12.(5分)已知正方体的棱长为
1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大
值为(
)
A.
B.
C.
D.
第2页(共18页)
二、填空题:
本题共4小题,每题5分,共20分。
13.(5分)若x,y满足拘束条件,则z=3x+2y的最大值为.
14.(5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.
15.(5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且最少有1位女生入选,则不同样的选法共有种.(用
数字填写答案)
16.(5分)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必定作
答。
第22、23题为选考题,考生依照要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
18.(12分)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P
的地址,且PF⊥BF.
(1)证明:
平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.(12分)设椭圆C:
+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:
∠OMA=∠OMB.
20.(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户从前要对产品作检验,如检验出不合格
品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再依照检验结坚决定可否对余下的所有产品作检验.设
每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品可否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费
第3页(共18页)
用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿花销.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验花销与赔偿花销的和记为X,求EX;
(ⅱ)以检验花销与赔偿花销和的希望值为决策依照,可否该对这箱余下的所有产品作检验?
21.(12分)已知函数f(x)=﹣x+alnx.
(1)谈论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:
<a﹣2.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
若是多做,则按所做的第一题计分。
[选修4-4:
坐
标系与参数方程](10分)
22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,
曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
[选修4-5:
不等式选讲](10分)
23.已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x建立,求a的取值范围.
第4页(共18页)
2018年全国一致高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
参照答案与试题剖析
一、选择题:
本题共12小题,每题5分,共60分。
在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项吻合题目要求的。
1.(5分)设z=+2i,则|z|=()
A.0B.C.1D.
【解答】解:
z=+2i=+2i=﹣i+2i=i,
则|z|=1.
应选:
C.
2.(5分)已知会集
2
﹣x﹣2>0},则?
)
A={x|x
RA=(
A.{x|﹣1<x<2}B.{x|﹣1≤x≤2}C.{x|x<﹣1}∪{x|x>2}D.{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}【解答】解:
会集A={x|x2﹣x﹣2>0},
可得A={x|x<﹣1或x>2},
则:
?
RA={x|﹣1≤x≤2}.
应选:
B.
3.(5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地认识该地区农村的经济收
入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比率,获取以下饼图:
则下面结论中不正确的选项是()
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
第5页(共18页)
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和高出了经济收入的一半
【解答】解:
设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.
A项,种植收入37×2a﹣60%a=14%a>0,
故建设后,种植收入增加,故A项错误.
B项,建设后,其他收入为5%×2a=10%a,
建设前,其他收入为4%a,
故10%a÷>2,
故B项正确.
C项,建设后,养殖收入为30%×2a=60%a,
建设前,养殖收入为30%a,
故60%a÷30%a=2,
故C项正确.
D项,建设后,养殖收入与第三产业收入总和为(30%+28%)×2a=58%×2a,
经济收入为2a,
故(58%×2a)÷2a=58%>50%,
故D项正确.
由于是选择不正确的一项,应选:
A.
4.(5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()
A.﹣12B.﹣10C.10D.12
【解答】解:
∵Sn为等差数列{an}的前n项和,3S3=S2+S4,a1=2,
∴=a1+a1+d+4a1+d,
把a1=2,代入得d=﹣3
∴a5=2+4×(﹣3)=﹣10.
应选:
B.
5.(5分)设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线
y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(
)
A.y=﹣2xB.y=﹣xC.y=2xD.y=x
第6页(共18页)
【解答】解:
函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax,若f(x)为奇函数,
可得a=1,所以函数f(x)=x3+x,可得f′(x)=3x2+1,
曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:
1,
则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:
y=x.
应选:
D.
6.(5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()
A.﹣B.﹣C.+D.+
【解答】解:
在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,
=﹣=﹣
=﹣×(+)
=﹣,
应选:
A.
7.(5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面
上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()
A.2B.2C.3D.2
【解答】解:
由题意可知几何体是圆柱,底面周长
16,高为:
2,
直观图以及侧面张开图如图:
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度:
=2.
第7页(共18页)
应选:
B.
8.(5分)设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点(﹣2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则?
=()
A.5B.6C.7D.8
【解答】解:
抛物线C:
y2=4x的焦点为F(1,0),过点(﹣2,0)且斜率为的直线为:
3y=2x+4,
联立直线与抛物线C:
y2=4x,消去x可得:
y2﹣6y+8=0,
解得y1=2,y2=4,不如M(1,2),N(4,4),,.
则?
=(0,2)?
(3,4)=8.
应选:
D.
9.(5分)已知函数f(x)=,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()
A.[﹣1,0)B.[0,+∞)C.[﹣1,+∞)D.[1,+∞)
【解答】解:
由g(x)=0得f(x)=﹣x﹣a,
作出函数f(x)和y=﹣x﹣a的图象如图:
当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1,即a≥﹣1时,两个函数的图象都有2个交点,
即函数g(x)存在2个零点,
故实数a的取值范围是[﹣1,+∞),
应选:
C.
10.(5分)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角
三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的地区记为I,黑色部分记为Ⅱ,其他部分记为Ⅲ.在整
第8页(共18页)
个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()
A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3
【解答】解:
如图:
设BC=a,AB=c,AC=b,
∴a2=b2+c2,
∴SⅠ
Ⅲ
2﹣2bc,
=×4bc=2bc,S=
×πa
Ⅱ
2
+
2
2
2
2
×πb﹣SⅢ
+
×πb﹣
×πa+2bc=2bc,
S=
×πc
=×πc
∴SⅠ=SⅡ,
∴P1=P2,
应选:
A.
11.(5分)已知双曲线C:
﹣y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为
M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()
A.B.3C.2D.4
【解答】解:
双曲线C:
﹣y2=1的渐近线方程为:
y=,渐近线的夹角为:
60°,不如设过F(2,0)的直线
为:
y=,
则:
解得M(,),
解得:
N(),
则|MN|==3.
应选:
B.
12.(5分)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大
值为()
第9页(共18页)
A.B.C.D.
【解答】解:
正方体的所有棱中,实际上是3组平行的棱,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,如图:
所示的
正六边形平行的平面,并且正六边形时,α截此正方体所得截面面积的最大,
此时正六边形的边长显然就的最大值为:
6×=.
应选:
A.
二、填空题:
本题共4小题,每题5分,共20分。
13.(5分)若x,y满足拘束条件,则z=3x+2y的最大值为6.
【解答】解:
作出不等式组对应的平面地区如图:
由z=3x+2y得y=﹣x+z,
平移直线y=﹣x+z,
由图象知当直线y=﹣x+z经过点A(2,0)时,直线的截距最大,此时z最大,
最大值为z=3×2=6,
故答案为:
6
第10页(共18页)
14.(5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=﹣63.
【解答】解:
Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2an+1,①
当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=﹣1,当n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1+1,②,
由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1,
∴an=2an﹣1,
∴{an}是以﹣1为首项,以2为公比的等比数列,
∴S6==﹣63,
故答案为:
﹣63
15.(5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且最少有1位女生入选,则不同样的选法共有16种.(用
数字填写答案)
【解答】解:
方法一:
直接法,1女2男,有C21C42=12,2女1男,有C22C41=4
依照分类计数原理可得,共有12+4=16种,
方法二,间接法:
C63﹣C43=20﹣4=16种,
故答案为:
16
16.(5分)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.
【解答】解:
由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期,
故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x在[0,2π)上的值域,
先来求该函数在[0,2π)上的极值点,
求导数可得f′(x)=2cosx+2cos2x
=2cosx+2(2cos2x﹣1)=2(2cosx﹣1)(cosx+1),
令f′(x)=0可解得cosx=或cosx=﹣1,
可得此时x=,π或;
∴y=2sinx+sin2x的最小值只幸亏点x=,π或和界线点x=0中取到,
计算可得f()=,f(π)=0,f()=﹣,f(0)=0,
第11页(共18页)
∴函数的最小值为﹣,
故答案为:
.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必定作
答。
第22、23题为选考题,考生依照要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
【解答】解:
(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
∴由正弦定理得:
=,即=,
∴sin∠ADB==,
∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,
∴cos∠ADB==.
(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB=,
∵DC=2,
∴BC=
=
=5.
18.(12分)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P
的地址,且PF⊥BF.
(1)证明:
平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
第12页(共18页)
【解答】
(1)证明:
由题意,点E、F分别是AD、BC的中点,
则,,
由于四边形ABCD为正方形,所以EF⊥BC.
由于PF⊥BF,EF∩PF=F,则BF⊥平面PEF.
又由于BF?
平面ABFD,所以:
平面PEF⊥平面ABFD.
(2)在平面DEF中,过P作PH⊥EF于点H,联系DH,
由于EF为面ABCD和面PEF的交线,PH⊥EF,
则PH⊥面ABFD,故PH⊥DH.
在三棱锥P﹣DEF中,可以利用等体积法求PH,
由于DE∥BF且PF⊥BF,
所以PF⊥DE,
又由于△PDF≌△CDF,
所以∠FPD=∠FCD=90°,
所以PF⊥PD,
由于DE∩PD=D,则PF⊥平面PDE,
故VF﹣PDE=,
由于BF∥DA且BF⊥面PEF,
所以DA⊥面PEF,
所以DE⊥EP.
设正方形边长为
2a,则PD=2a,DE=a
在△PDE中,
,
所以
,
=
,
故VF﹣PDE
又由于
,
第13页(共18页)
所以PH==,
所以在△PHD中,sin∠PDH==,
即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为:
.
19.(12分)设椭圆C:
+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:
∠OMA=∠OMB.
【解答】解:
(1)c==1,
∴F(1,0),
∵l与x轴垂直,
∴x=1,
由,解得或,
∴A(1.
),或(1,﹣
),
∴直线AM的方程为y=﹣
x+
,y=
x﹣
,
证明:
(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直均分线,∴∠
OMA=∠OMB,
当l与x轴不重合也不垂直时,设
l的方程为y=k(x﹣1),k≠0,
A(x,y),B(x,y),则x<
,x<
,
1
1
2
2
1
2
直线MA,MB
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