统计学常用分布及分位数.docx
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统计学常用分布及分位数
§1、4常用得分布及其分位数
1、卡平方分布
卡平方分布、t分布及F分布都就是由正态分布所导出得分布,它们与正态分布一起,就是试验统计中常用得分布。
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时,Z= 得分布称为自由度等于n得分布,记作Z~(n),它得分布密度 p(z)=
式中得=,称为Gamma函数,且=1,=。
分布就是非对称分布,具有可加性,即当Y与Z相互独立,且Y~(n),Z~(m),则Y+Z~(n+m)。
证明:
先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再根据分布得定义以及上述随机变量得相互独立性,令
Y=X+X+…+X,Z=X+X+…+X,
Y+Z=X+X+…+X+X+X+…+X,
即可得到Y+Z~(n+m)。
2、t分布 若X与Y相互独立,且
X~N(0,1),Y~(n),则Z=得分布称为自由度等于n得t分布,记作Z~t(n),它得分布密度
P(z)=。
请注意:
t分布得分布密度也就是偶函数,且当n>30时,t分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。
这时,t分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。
3、F分布若X与Y相互独立,且X~(n),Y~(m),
则Z=得分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m得F分布,记作Z~F(n,m),它得分布密度
p(z)=
请注意:
F分布也就是非对称分布,它得分布密度与自由度得次序有关,当Z~F(n, m)时,~F(m,n)。
4、t分布与F分布得关系
若X~t(n),则Y=X~F(1,n).
证:
X~t(n),X得分布密度p(x)=。
Y=X得分布函数F(y)=P{Y 当y0时,F(y)=0,p(y)=0; 当y>0时,F(y) =P{— ==2, Y=X得分布密度p(y)=, 与第一自由度等于1、第二自由度等于n得F分布得分布密度相同,因此Y=X~F(1,n)。 为应用方便起见,以上三个分布得分布函数值都可以从各自得函数值表中查出.但就是,解应用问题时,通常就是查分位数表。 有关分位数得概念如下: 4、常用分布得分位数 1)分位数得定义 分位数或临界值与随机变量得分布函数有关,根据应用得需要,有三种不同得称呼,即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数,它们得定义如下: 当随机变量X得分布函数为 F(x),实数α满足0<α〈1 时,α分位数就是使P{X〈xα}=F(xα)=α得数xα, 上侧α分位数就是使P{X>λ}=1-F(λ)=α得数λ, 双侧α分位数就是使P{X<λ1}=F(λ1)=0、5α得数λ1、使 P{X>λ2}=1-F(λ2)=0、5α得数λ2。 因为1-F(λ)=α,F(λ)=1—α,所以上侧α分位数λ就就是1-α分位数x1-α; F(λ1)=0、5α,1-F(λ2)=0、5α,所以双侧α分位数λ1就就是0、5α分位数x0、5α,双侧α分位数λ2就就是1—0、5α分位数x1-0、5α。 2)标准正态分布得α分位数记作uα,0、5α分位数记作u 0、5α,1-0、5α分位数记作u1—0、5α。 当X~N(0,1)时,P{X〈uα}=F0,1(uα)=α, P{X P{X 根据标准正态分布密度曲线得对称性, 当α=0、5时,uα=0; 当α〈0、5时,uα〈0。 uα=—u1-α. 如果在标准正态分布得分布函数值表中没有负得分位数,则先查出u 1-α,然后得到uα=—u1—α。 论述如下: 当X~N(0,1)时,P{X P{X〈u 1-α}= F0,1(u 1-α)=1—α, P{X> u 1-α}=1— F0,1(u1-α)=α, 故根据标准正态分布密度曲线得对称性,uα=—u1-α. 例如,u0、10=-u0、90=—1、282, u0、05=-u0、95=-1、645, u0、01=-u0、99=—2、326, u0、025=—u0、975=-1、960, u 0、005=-u0、995=—2、576. 又因为P{|X|〈u1—0、5α}=1-α,所以标准正态分布得双侧α分位数分别就是u1—0、5α与-u1—0、5α。 标准正态分布常用得上侧α分位数有: α=0、10,u 0、90=1、282; α=0、05,u0、95=1、645; α=0、01,u0、99=2、326; α=0、025,u0、975=1、960; α=0、005,u 0、995=2、576。 3)卡平方分布得α分位数记作α(n)。 α(n)>0,当X~(n)时,P{X〈α(n)}=α。 例如,0、005(4)=0、21,0、025 (4)=0、48, 0、05 (4)=0、71,0、95(4)=9、49, 0、975(4)=11、1,0、995(4)=14、9。 4)t分布得α分位数记作tα(n). 当X~t (n)时,P{X<t α(n)}=α,且与标准正态分布相类似,根据t分布密度曲线得对称性,也有 tα(n)=—t 1—α(n),论述同uα=-u 1-α。 例如,t0、95(4)=2、132,t0、975(4)=2、776, t0、995(4)=4、604,t 0、005(4)=-4、604, t0、025(4)=-2、776,t0、05(4)=-2、132. 另外,当n〉30时,在比较简略得表中查不到tα(n),可用uα作为tα(n)得近似值。 5)F分布得α分位数记作Fα(n,m)。 Fα(n ,m)>0,当X~F(n,m)时,P{X<Fα(n,m)}=α。 另外,当α较小时,在表中查不出Fα(n,m),须先查 F1-α(m,n),再求Fα(n,m)=。 论述如下: 当X~F(m, n)时,P{X〈F1—α(m, n)}=1-α, P{>}=1—α,P{<}=α, 又根据F分布得定义,~F(n,m),P{ 因此 Fα(n,m)=。 例如,F 0、95(3,4)=6、59,F0、975(3,4)=9、98, F 0、99(3,4)=16、7,F 0、95 (4,3)=9、12, F0、975 (4,3)=15、1,F0、99(4,3)=28、7, F0、01(3,4)=,F0、025(3,4)=,F 0、05 (3,4)=。 【课内练习】 1、求分位数①0、05(8),②0、95(12)。 2、求分位数①t0、05(8),②t 0、95(12)。 3、求分位数①F0、05(7,5),②F0、95(10,12)。 4、 由u 0、975=1、960写出有关得上侧分位数与双侧分位数。 5、由t0、95(4)=2、132写出有关得上侧分位数与双侧分位数。 6、若X~(4),P{X<0、711}=0、05,P{X<9、49}=0、95,试写出有关得分位数。 7、若X~F(5,3),P{X<9、01}=0、95,Y~F(3,5),{Y<5、41}= 0、95,试写出有关得分位数. 8、设X、X、…、X相互独立且都服从N(0,0、09)分布, 试求P{>1、44}. 习题答案: 1、①2、73,②21、0。 2、①-1、860,②1、782。 3、①,②3、37.4、1、960为上侧0、025分位数,-1、960与1、960为双侧0、05分位数.5、2、132为上侧0、05分位数,-2、132与2、132为双侧0、1分位数.6、0、711为上侧0、95分位数,9、49为上侧0、05分位数,0、711与19、49为双侧0、1分位数.7。 9。 01为上侧0、05分位数,5、41为上侧0、05分位数,与5、41为双侧0、1分位数,与9、01为双侧0、1分位数。 8、0、1。
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- 统计学 常用 分布 位数