五年级数学培优方程法解行程含答案.docx
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五年级数学培优方程法解行程含答案
五年级数学培优:
方程法解行程(含答案)
一、方程
方程:
含有未知数的等式叫做方程.如4x-3=21,6x-2(2x-3)=20
方程的解:
使方程成立的未知数的值叫做方程的解.如上式解得x=6
解方程:
求方程的解的过程叫做解方程.
解方程的步骤:
1、去括号:
(1)运用乘法分配律;
(2)括号前边是“-”,去掉括号要变号;括号前边是“+”,去掉括号不变号.
2、移项:
法1——运用等式性质,两边同加或同减,同乘或同除;法2——符号过墙魔法,越过“=”时,加减号互变,乘除号互变.
注意两点:
(1)总是移小的;
(2)带未知数的放一边,常数值放另一边.
3、合并同类项:
未知数的系数合并;常数加减计算.
4、系数化为1:
利用同乘或同除,使未知数的系数化为1.
5、写出解:
未知数放在“=”左边,数值(即解)放右边;如x=6
6、验算:
将原方程中的未知数换成数,检查等号两边是否相等!
注意:
(1)做题开始要写“解:
”
(2)上下“=”要始终对齐
二、列方程解应用题的基本步骤
1.设未知数应认真审题,分析题中的数量关系,用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法,当直接设法使列方程有困难可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写.
2.寻找相等关系可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系,列出等式两边的代数式,注意它们的量要一致,使它们都表示一个相等或相同的量.
3.列方程列方程应满足三个条件:
各类是同类量,单位一致,两边是等量.
4.解方程方程的变形应根据等式性质和运算法则.
5.写出答案检查方程的解是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位.
三、解行程问题的应用题要用到路程、速度、时间之间的关系.
如果用s、v、t分别表示路程、速度、时间,那么s、v、t三个量的关系为s=vt,或v=s÷t,或t=s÷v.
四、相遇问题
1.相向而行同时出发到相遇时甲、乙两人所用的时间相等.
2.基本公式:
速度和×相遇时间=相遇路程
五、追击问题
1.同向而行同时出发到相遇(即追击)时,甲、乙两人所用的时间相等.
2.基本公式:
速度差×追击时间=追击路程
1、理解什么是方程,并会解方程.
2、会画线段图分析相遇、追击问题,并能根据线段图找出等量关系
3、会列方程解决此类问题
例1、x-5=13
解:
x-5+5=13+5
x=18
例2、3(x+5)-6=18
解:
3x+3×5-6=18
3x+15-6=18
3x+9=18
3x=18-9
3x=9
x=9÷3
x=3
例33(x+5)-6=5(2x-7)+2
解:
1.去括号:
3x+3×5-6=5×2x-5×7+2
3x+15-6=10x-35+2
3x+9=10x-33
2.移项:
33+9=10x-3x(注意:
移小的,如-33,3x)
3.合并同类项:
42=7x
4.系数化为1:
42÷7=7x÷7
6=x
5.写出解:
x=6
6.验算:
3×(6+5)-6=5(2x6-7)+2
3×11-6=5×5+2
27=27√
例4.A、B两地相距960千米,甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发,相向开出,6小时后两车相遇;已知甲车的速度是乙车的1.5倍.求甲、乙两车的速度各是多少?
960千米
6小时相遇
AB
甲车1.5xx车乙
分析:
如上图,设一倍数(乙车)的速度是x千米/小时,那么甲车的速度就是1.5x千米/小时.从图上可以看出:
甲车行的路程+乙车行的路程=总路程(960千米),我们可以利用这个等量关系列出方程:
6x+6×1.5x=960,解法如下:
解:
设乙车的速度是x千米/小时,那么甲车的速度就是1.5x千米/小时.
6x+6×1.5x=960
15x=960
x=64
1.5x=1.5×64=96
答:
甲的速度是96千米/小时,乙车的速度是64千米/小时.
例5、A、B两地相距230千米,甲队从A地出发两小时后,乙队从B地出发与甲相向而行,乙队出发20小时后与甲队相遇,已知乙的速度比甲的速度每小时快1千米,求甲、乙的速度各是多少?
230千米
甲车2小时行的20小时相遇
AB
甲队队乙
分析:
如上图,甲队总共行了2+20=22小时,乙队行了20小时.设甲队的速度是x千米/小时,那么乙队的速度就是(x+1)千米/小时.从图上可以看出:
甲队行的路程+乙队行的路程=总路程(230千米),我们可以利用这个等量关系列出方程:
(2+20)x+20(x+1)=230,解法如下:
解:
设甲队的速度是x千米/小时,那么乙队的速度就是(x+1)千米/小时.
(2+20)x+20(x+1)=230
22x+20x+20=230
42x=210
x=5
x+1=5+1=6
答:
甲队的速度是5千米/小时,乙队的速度是6千米/小时.
例6、甲、乙两车自西向东行驶,甲车的速度是每小时48千米,乙车的速度是每小时72千米,甲车开出2小时后乙车开出,问几小时后乙车追上甲车?
分析:
设x小时后乙车追上甲车.
甲走x小时所走的路程(48x)
甲车先走2小时
的路程(48×2)
乙走x小时所走的路程(72x)
从图上可以看出:
甲车行的路程=乙车行的路程,我们可以根据这个等量关系列出方程:
48×2+48x=72x,解法如下:
解:
设x小时后乙车追上甲车.
48×2+48x=72x
96+48x=72x
24x=96
x=4
答:
4小时后乙车追上甲车.
例7:
甲,乙两城市间的铁路经过技术改造后,列车在两城市间的运行速度从
提高到
运行时间缩短了
.甲,乙两城市间的路程是多少?
【分析】如果设甲,乙两城市间的路程为
那么列车在两城市间提速前的运行时间为
,提速后的运行时间为
.
解:
设甲,乙两城市间的路程为
.
x=1200
答:
甲,乙两城市间的路程为
.
【等量关系式】提速前的运行时间—提速后的运行时间=缩短的时间.
A档
1、4x+15=6x+3;2.、解方程:
6(3+x)=18
解:
6(3+x)=18解:
15-3=6x-4x
6´3+6x=1812=2x30=10x
6x=18-18x=6
x=0
3、下列四组变形中,正确的是()
A由5x+7=0,得5x=-7B由2x-3=0,得2x-3+3=0
C由
=2,得x=
D由5x=7,得x=35
答案:
A
4.下列四个式子中是方程的是().
(A)
;(B)
;(C)
;(D)
答案:
C
5、x=1是方程4kx-1=0的解,则k=________;
答案:
0.25
B档
6、一架飞机飞行在两个城市之间,风速为24千米/时.顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时.求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程.
解:
设飞机在无风时的速度为x千米/时.则它顺风时的速度为(x+24)千米/时,逆风时的速度为(x-24)千米/时.
根据顺风和逆风飞行的路程相等列方程得
x=840
答:
飞机在无风时的速度是840千米/时.
7、两车站相距275km,慢车以50km/一小时的速度从甲站开往乙站,1h时后,快车以每小时75km的速度从乙站开往甲站,那么慢车开出几小时后与快车相遇?
解:
设慢车开出x小时后与快车相遇
50x+75(x-1)=27550x+75x-75=275
125x=350x=2.8小时
答:
需要2.8小时相遇.
8、已知甲、乙两地相距450千米,乙的速度比甲每小时快1千米,甲先从A地出发2小时后,乙从B地出发,与甲相向而行经过10小时后相遇,求甲乙的速度?
解:
设甲的速度为x千米/小时.
则
答:
甲乙的速度分别为22千米/小时、23千米/小时.
9、A、B两地相距300千米,甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发,相向开出,6小时后两车相遇;已知甲车的速度是乙车的1.5倍.求甲、乙两车的速度各是多少?
解:
设乙车的速度是x千米/小时,那么甲车的速度就是1.5x千米/小时.
6x+6×1.5x=300
15x=300
x=20
1.5x=1.5×20=30
答:
甲的速度是20千米/小时,乙车的速度是30千米/小时.
10、A、B两地相距180千米,甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发,相向开出,3小时后两车相遇;已知甲车的速度是乙车的2倍.求甲、乙两车的速度各是多少?
解:
设乙车的速度是x千米/小时,那么甲车的速度就是2x千米/小时.
3x+3×2x=180
9x=180
x=20
1.5x=1.5×20=30
答:
甲的速度是20千米/小时,乙车的速度是30千米/小时.
C档
11、A、B两地相距460千米,甲队从A地出发两小时后,乙队从B地出发与甲相向而行,乙队出发20小时后与甲队相遇,已知乙的速度比甲的速度每小时快2千米,求甲、乙的速度各是多少?
解:
设甲队的速度是x千米/小时,那么乙队的速度就是(x+2)千米/小时.
(2+20)x+20(x+2)=460
22x+20x+40=460
42x=420
x=10
x+2=10+2=12
答:
甲队的速度是10千米/小时,乙队的速度是12千米/小时.
12、甲、乙两车自西向东行驶,甲车的速度是每小时40千米,乙车的速度是每小时70千米,甲车开出2小时后乙车开出,问几小时后乙车追上甲车?
解:
设x小时后乙车追上甲车.
40×2+40x=70x
80+40x=70x
30x=80
x=8/3
答:
8/3小时后乙车追上甲车.
13、甲、乙两车自西向东行驶,甲车的速度是每小时40千米,乙车的速度是每小时70千米,甲车开出3小时后乙车开出,问几小时后乙车追上甲车?
解:
设x小时后乙车追上甲车.
40×3+40x=70x
120+40x=70x
30x=120
x=4
答:
4小时后乙车追上甲车.
14、甲,乙两城市间的铁路经过技术改造后,列车在两城市间的运行速度从
提高到
运行时间缩短了
.甲,乙两城市间的路程是多少?
解:
设甲,乙两城市间的路程为
.
x=800
答:
甲,乙两城市间的路程为
.
15、甲,乙两城市间的铁路经过技术改造后,列车在两城市间的运行速度从
提高到
运行时间缩短了
.甲,乙两城市间的路程是多少?
解:
设甲,乙两城市间的路程为
.
x=450
答:
甲,乙两城市间的路程为
.
1、12-3x=7x-18
解:
12+18=7x+3x
30=10x
x=3
2、x=9是方程
的解,那么b=________
答案:
1
3、一架飞机飞行在两个城市之间,风速为30千米/时.顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时.求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程.
解:
设飞机在无风时的速度为x千米/时.则它顺风时的速度为(x+30)千米/时,逆风时的速度为(x-30)千米/时.
根据顺风和逆风飞行的路程相等列方程得
x=1050
答:
飞机在无风时的速度是1050千米/时.
4、两车站相距300km,慢车以50km/一小时的速度从甲站开往乙站,1h时后,快车以每小时75km的速度从乙站开往甲站,那么慢车开出几小时后与快车相遇?
解:
设慢车开出x小时后与快车相遇
50x+75(x-1)=30050x+75x-75=300
125x=375x=3小时
答:
需要3小时相遇.
5、已知甲、乙两地相距120千米,乙的速度比甲每小时快1千米,甲先从A地出发2小时后,乙从B地出发,与甲相向而行经过10小时后相遇,求甲乙的速度?
解:
设甲的速度为x千米/小时.
则
答:
甲乙的速度分别为5千米/小时、6千米/小时.
1、20+4x=32-2x2、15-3x=19-4x
解:
4x+2x=32-20解:
4x-3x=19-15
6x=12x=4
x=2
3、x=9是方程
的解,那么b=________.
答案:
3
4、一架飞机飞行在两个城市之间,风速为18千米/时.顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时.求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程.
解:
设飞机在无风时的速度为x千米/时.则它顺风时的速度为(x+18)千米/时,逆风时的速度为(x-18)千米/时.
根据顺风和逆风飞行的路程相等列方程得
x=630
答:
飞机在无风时的速度是630千米/时.
5、两车站相距425km,慢车以50km/一小时的速度从甲站开往乙站,1h时后,快车以每小时75km的速度从乙站开往甲站,那么慢车开出几小时后与快车相遇?
解:
设慢车开出x小时后与快车相遇
50x+75(x-1)=42550x+75x-75=425
125x=500x=4小时
答:
需要4小时相遇.
6、已知甲、乙两地相距230千米,乙的速度比甲每小时快1千米,甲先从A地出发2小时后,乙从B地出发,与甲相向而行经过10小时后相遇,求甲乙的速度?
解:
设甲的速度为x千米/小时.
则
答:
甲乙的速度分别为10千米/小时、11千米/小时.
7、甲、乙两车自西向东行驶,甲车的速度是每小时40千米,乙车的速度是每小时70千米,甲车开出6小时后乙车开出,问几小时后乙车追上甲车?
解:
设x小时后乙车追上甲车.
40×6+40x=70x
240+40x=70x
30x=240
x=8
答:
8小时后乙车追上甲车.
8、甲,乙两城市间的铁路经过技术改造后,列车在两城市间的运行速度从
提高到
运行时间缩短了
.甲,乙两城市间的路程是多少?
解:
设甲,乙两城市间的路程为
.
x=1600
答:
甲,乙两城市间的路程为
.
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