重点中学高三数学专题高效复习导学案专题5 方程与不等式的实际应用 教师版.docx

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重点中学高三数学专题高效复习导学案专题5方程与不等式的实际应用教师版

专题5方程与不等式的实际应用

班级学号姓名

【高考趋势】

“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意向，而应用能力又是近二十年来的能力考查重点，江苏卷一直在坚持以建模为主的“真应用题”的考查，所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索应是复习的关键。

所涉及的数学模型大致有：

数列模型、函数模型、三角模型、几何模型、概率模型、统计模型、不等式模型等。

【样题剖析】

例1.过去的2017年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．

（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入-月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？

（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价（≥9）元，并投入（-9）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价为多少时，下月的月总利润最大？

并求出下月最大总利润．

例2.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．

（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；

（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

（2）包装盒子的体积

V＝（a－2x）（b－2x）x＝x[ab－2（a＋b）x＋4x2]，x∈（0，），b≤60．……………8分

V＝x[ab－2（a＋b）x＋4x2]≤x（ab－4x＋4x2）

＝x（3600－240x＋4x2）

＝4x3－240x2＋3600x．…………………10分

当且仅当a＝b＝60时等号成立．

例3.如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=ykm，并在公路同侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：

x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？

西东

例4.如图，某新建小区有一片边长为1（单位：

百米）的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数,其中，分别为MN上的点到OD,OB的距离）的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段。

为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路与曲线段MN相切（切点记为P），并把该地块分为两部分。

记点P到边AD距离为，表示该地块在直路左下部分的面积。

（1）求的解析式；

（2）求面积的最大值。

例5.如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪。

已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪。

（1）当时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；

（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由。

当且仅当，即，时取“=”……14分

答：

当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，为。

例6.甲、乙两地相距,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过,已知货车每小时的运输成本（单位:

元）由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的倍,固定成本为a元.

（1）若全程的运输成本y（单位：

元）不超过，求的最大值；

（2）为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?

【总结提炼】

1．解数学应用题的一般步骤为：

建模、解模、检验、作答等。

2．解答应用题时，判断索要运用的知识点，能给建模指明方向。

解数学应用题的关键是读题。

为辨析文字叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学数量关系，读题时要抓住关键词。

每一个概念及它们之间的关系，再将其转化为数学语言，建立对应的数学模型进行解答。

需要注意的是数学模型的结论须与实际意义吻合，对解答及时作出评价。

专题5方程与不等式的实际应用

班级学号姓名

【自我测试】

1.某隧道设计为双向四车道,车道总宽20米,要求通行车辆限高4.5米,隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分,如图所示建立平面直角坐标系.

（1）若最大拱高为6米,则隧道设计的拱宽是多少?

（2）为了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高不小于6米,则应如何设计拱高和拱宽,使得隧道口截面面积最小?

（隧道口截面面积公式为）.

解:

（1）设抛物线的方程为:

则抛物线过点,

代入抛物线方程计算得出:

令,计算得出:

则隧道设计的拱宽l是40米.

（2）抛物线最大拱高为h米,,抛物线过点,

代入抛物线方程得:

令,则,计算得出:

则,,

,即,

当时,;当时,,

即S在上单调减,在上单调增,

在时取得最小值,此时,

答:

当拱高为米,拱宽为米时,使得隧道口截面面积最小.  

2.如图,是南北方向的一条公路,是北偏东方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线.为方便游客观光,拟过曲线上的某点分别修建与公路,垂直的两条道路,,且,的造价分别为5万元/百米,40万元/百米,建立如图所示的直角坐标系,则曲线符合函数,模型,设,修建两条道路,的总造价为万元,题中所涉及的长度单位均为百米.

（1）求解析式;

（2）当为多少时,总造价最低?

并求出最低造价.

解:

（1）在如图所示的直角坐标系中,因为曲线C的方程为,

所以点P坐标为,

直线OB的方程为,（2分）

则点P到直线的距离为,（4分）

又PM的造价为5万元/百米,PN的造价为40万元/百米.

则两条道路总造价为. （8分）

（2）因为,

所以,（10分）

令,得,列表如下:

x

4

-

0

-

单调递减

极小值

单调递增

所以当时,函数有最小值,最小值为（13分）

答:

（1）两条道路PM,PN总造价为;

（2）当时,总造价最低,最低造价为30万元.    （14分）

（注:

利用三次均值不等式,

当且仅当,即时等号成立,照样给分.）;

解析:

（1）求出P的坐标,直线OB的方程,点P到直线的距离,即可求解析式;

（2）利用导数的方法最低造价.

本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的运用,确定函数的解析式是关键.

3.某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在上的四边形电气线路，如图所示.为充分利用现有材料，边，用一根5米长的材料弯折而成，边，用一根9米长的材料弯折而成，要求和互补，且.

（1）设米，，求的解析式，并指出的取值范围；

（2）求四边形面积的最大值.

解：

（1）设米,则米,米,米,

则有,即.

在中,由余弦定理得.

同理,在中,. 

因为和互补,所以. 

即  .

计算得出,即.

由余弦的定义,有,则,

故.   

（2）四边形ABCD的面积

记,.

由   ,

或或.

.          

所以函数在区间内单调递增,在区间内单调递减.

因此的最大值为.

所以S的最大值为.

答：

所求四边形ABCD面积的最大值为。

解析:

（1）在与中，分别利用余弦定理，即可确定的解析式，及x的取值范围；

（2）四边形ABCD的面积，构建函数（ ，，求导函数，即可求得四边形ABCD面积的最大值。