相交线与平行线综合题.docx
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相交线与平行线综合题
相交线与平行线综合复习
(二)
班级:
姓名:
解答题
1.如图,直线AB与CD相交于点O,OP是∠BOC的平分线,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)图中除直角外,还有相等的角吗?
请写出两对:
① ;② .
(2)如果∠COP=20°,则①∠BOP= °;②∠POF= °.
(3)∠EOC与∠BOF相等吗?
,理由是 .
(4)如果∠COP=20°,求∠DOE的度数.
2.
(1)如图1,直线AB、CD相交于点O,FO⊥CD于点O,且∠EOF=∠DOB.求∠EOB的度数.
(2)如图2,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠AOC=58°,∠DOE=90°.求∠BOE的度数.
3.如图,直线AB、CD、EF相交于点O,OG平分∠COF,∠1=30°,∠2=45°.求∠3的度数.
4.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°,∠1=32°,求∠2和∠3的度数.
5.如图,直线AB交CD于点O,由点O引射线OG、OE、OF,使∠1=∠2,∠AOG=∠FOE,∠BOD=56°,求∠FOC.
6.如图,直线AB与CD相交于点O,射线OE平分∠BOF.
(1)∠AOD的对顶角是 ,∠BOC的邻补角是 ;
(2)若∠AOD=20°,∠DOF:
∠FOB=1:
7,求∠EOC的度数.
7.如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°.
求:
(1)∠AOC的度数;
(2)∠BOE的度数.
8.如图,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠AOD,
(1)求∠EOF的度数.
(2)∠AOE:
∠BOG:
∠AOF=2:
4:
7,求∠COG的度数.
9.如图,直线AB与CD相交于点D,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)图中∠AOF的余角有 ;(把符合条件的角都填出来)
(2)如果∠AOD=140°,那么根据 ,可得∠BOC= 度;
(3)∠EOF=
∠AOD,求∠EOF的度数.
10.如图,直线AB与CD相交于点O,OP是∠BOC的平分线,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)图中除直角外,还有相等的角吗?
请写出两对:
① ;② .
(2)如果∠AOD=40°.
①那么根据 ,可得∠BOC= 度.
②因为OP是∠BOC的平分线,所以∠COP=
∠ = 度.
③求∠BOF的度数.
11.如图,AO⊥BC,DO⊥OE,OF平分∠AOD,∠AOE=35°.
(1)求∠COD的度数;
(2)求∠AOF的度数;
(3)你能找出图中有关角的等量关系吗?
(写出3个)
12.如图,平面上有三点A、B、C.
(1)画直线AB,画射线BC(不写作法,下同);
(2)过点A画直线BC的垂线,垂足为G;过点A画直线AB的垂线,交射线BC于点H.
(3)线段 的长度是点A到直线BC的距离,线段AH的长度是点 到直线 的距离.
(4)线段AG、AH的大小关系为AG AH.理由是:
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中, 最短.
13.如图,直线AB、CD相交于点O,∠BOD=40°,按下列要求画图并回答问题:
(1)在直线AB上方画射线OE,使OE⊥AB;
(2)分别在射线OA、OE上截取线段OM、ON,使OM=ON,连结MN;
(3)画∠AOD的平分线OF交MN于点F;
(4)直接写出∠COF和∠EOF的度数:
∠COF= 度,
∠EOF= 度.
14.如图,直线AB.CD相交于点O,OM⊥AB,NO⊥CD.
(1)若∠1=∠2,求∠AOD的度数;
(2)若∠1=
∠BOC,求∠2和∠MOD.
15.如图,直线AB与CD相交于O,OE⊥AB,OF⊥CD,
(1)图中与∠COE互余的角是 ;图中与∠COE互补的角是 ;(把符合条件的角都写出来)
(2)如果∠AOC=
∠EOF,求∠AOC的度数.
16.如图,已知,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOC=60°,过点O作OF⊥CD.求∠EOF的度数.
17.
(1)在图1中以P为顶点画∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直.
(2)量一量∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是 .
(3)同样在图2和图3中以P为顶点作∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图2和图3中∠P和∠1的之间数量关系.(不要求写出理由)图2:
图3:
(4)由上述三种情形可以得到一个结论:
如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角 .(不要求写出理由)
18.如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥OC,若∠1=50°,分别求∠2,∠3+∠1的度数.
19.(2016春•高安市校级月考)已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F.
(1)如图1,若∠E=80°,求∠BFD的度数.
(2)如图2中,∠ABM=
∠ABF,∠CDM=
∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论.
(3)若∠ABM=
∠ABF,∠CDM=
∠CDF,设∠E=m°,直接用含有n,m°的代数式表示写出∠M= .
20.已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A、B在射线OM、OE上,点C是射线ON上的一个动点,连接AC交射线OE于点D,设∠OAC=x.
(1)填空:
若AB∥ON,
①当∠BAD=∠ABD时,(如图①),则x的度数为 ;
②当∠BAD=∠BDA时,(如图②),则x的度数为 ;
(2)若AB⊥OM于点A(如图③),且△ADB是等腰三角形,求x的度数.
21.如图,AB∥CD,P为定点,E、F分别是AB、CD上的动点.
(1)求证:
∠P=∠BEP+∠PFD;
(2)若M为CD上一点,MN交PF于N.证明:
∠PNM=∠NMF+∠NFM;(说明:
不能运用三角形内角和定理)
(3)在
(2)的基础上,若∠FMN=∠BEP,试说明∠EPF与∠PNM的关系,并证明你的结论.
22.如图,AB∥CD,∠AEC=90°
(1)当CE平分∠ACD时,求证:
AE平分∠BAC;
(2)移动直角顶点E点,如图,∠MCE=∠ECD,当E点转动时,问∠BAE与∠MCG是否存在确定的数量关系,并证明.(提示:
可以作∠MCG的平分线)
23.如图,已知两条线段AB∥CD,点E不在AB、CD所在的直线上.∠ABE=α,∠CDE=β,∠BED=γ.当E点在不同位置时,α、β、γ之间的数量关系也会有所不同.请你再画出两种不同的情况,并写出α、β、γ之间的数量关系.
参考答案与试题解析
一.解答题(共23小题)
1.(2013秋•惠山区校级期末)如图,直线AB与CD相交于点O,OP是∠BOC的平分线,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)图中除直角外,还有相等的角吗?
请写出两对:
① ∠BOP=∠COP ;② ∠AOD=∠BOC .
(2)如果∠COP=20°,则①∠BOP= 20 °;②∠POF= 70 °.
(3)∠EOC与∠BOF相等吗?
相等 ,理由是 同角的余角相等 .
(4)如果∠COP=20°,求∠DOE的度数.
【分析】
(1)根据角平分线的定义和对顶角相等解答;
(2)根据角平分线的定义和垂直的定义解答;
(3)根据同角的余角相等解答;
(4)根据角平分线的定义求出∠BOC,然后根据对顶角相等求出∠AOD,再根据∠DOE=∠AOD+∠AOE进行计算即可得解.
【解答】解:
(1)①∠BOP=∠COP,②∠AOD=∠BOC;
(2)①∠BOP=∠COP=20°,
②∠POF=90°﹣20°=70°;
(3)相等,同角的余角相等;
故答案为:
(1)∠BOP=∠COP,∠AOD=∠BOC,
(2)20,70,(3)相等,等角的余角相等;
(4)∵OP是∠BOC的平分线,
∴∠BOC=2×20°=40°,
∴∠AOD=∠BOC=40°,
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE,
=40°+90°,
=130°.
【点评】本题考查了对顶角相等,角平分线的定义,余角和补角,是基础题,熟记概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键.
2.(2013秋•仪征市期末)
(1)如图1,直线AB、CD相交于点O,FO⊥CD于点O,且∠EOF=∠DOB.求∠EOB的度数.
(2)如图2,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠AOC=58°,∠DOE=90°.求∠BOE的度数.
【分析】
(1)根据垂直的定义可以得到∠FOD=90°,即∠EOF+∠EOD=90°,然后根据∠EOF=∠DOB,即可求解;
(2)首先根据角平分线的定义求得∠AOD的度数,即可求得∠AOE的度数,则∠BOE即可求解.
【解答】解:
(1)∵FO⊥CD,
∴∠FOD=90°,即∠EOF+∠EOD=90°,
∵∠EOF=∠DOB,
∴∠DOB+∠EOD=90°,
即∠EOB=90°;
(2)∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=
∠AOC=
×58°=29°,
∵∠AOB=180°,∠DOE=90°,
∴∠BOE=180°﹣90°﹣29°=61°.
【点评】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义和垂直的定义,是一个需要熟记的内容.
3.(2014春•中山期末)如图,直线AB、CD、EF相交于点O,OG平分∠COF,∠1=30°,∠2=45°.求∠3的度数.
【分析】根据对顶角的性质,∠1=∠BOF,∠2=∠AOC,从而得出∠COF=105°,再根据OG平分∠COF,可得∠3的度数.
【解答】解:
∵∠1=30°,∠2=45°
∴∠EOD=180°﹣∠1﹣∠2=105°
∴∠COF=∠EOD=105°
又∵OG平分∠COF,
∴∠3=
∠COF=52.5°.
【点评】本题考查了对顶角的定义,以及角平分线的性质,是基础题比较简单.
4.(2013秋•如皋市校级期末)如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°,∠1=32°,求∠2和∠3的度数.
【分析】根据角平分线的性质,可得∠AOD的度数,根据对顶角的性质,可得∠2的度数,再根据三个角的和等于180°,可得∠3的度数.
【解答】解:
OE平分∠AOD,∠1=32°,
∠AOD=2∠1=64°,
由对顶角得∠2=∠AOD=64°;
∵∠2+∠FOC+∠3=180°,∠FOC=90°,
∴∠3=180°﹣∠FOC﹣∠2
=180°﹣90°﹣64°,
∠3=26°.
【点评】本题考查了对顶角、邻补角,对顶角相等,邻补角互补是解题关键.
5.(2014秋•吉林校级期末)如图,直线AB交CD于点O,由点O引射线OG、OE、OF,使∠1=∠2,∠AOG=∠FOE,∠BOD=56°,求∠FOC.
【分析】求出∠FOC=∠AOC,再根据对顶角相等解答即可.
【解答】解:
∵∠1=∠2,∠AOG=∠FOE,
∴∠1+∠FOE=∠2+∠AOG,
∴∠FOC=∠AOC,
∵∠AOC=∠BOD,∠BOD=56°,
∴∠FOC=56°.
【点评】本题考查了对顶角相等,熟记性质并准确识图求出∠FOC=∠AOC是解题的关键.
6.(2014秋•硚口区期末)如图,直线AB与CD相交于点O,射线OE平分∠BOF.
(1)∠AOD的对顶角是 ∠BOC ,∠BOC的邻补角是 ∠AOC,∠BOD ;
(2)若∠AOD=20°,∠DOF:
∠FOB=1:
7,求∠EOC的度数.
【分析】
(1)根据对顶角和邻补角的定义可直接得出答案;
(2)根据∠AOD=20°和∠DOF:
∠FOB=1:
7,求出∠BOF等于140°,所以∠EOB等于70°,所以∠EOC等于90°.
【解答】解:
(1)∵直线AB与CD相交于点O,
∴∠AOD的对顶角是∠BOC,∠BOC的邻补角是∠AOC,∠BOD;
(2)∵OE平分∠BOF,
∴∠BOE=EOF,
∵∠DOF:
∠FOB=1:
7,∠AOD=20°,
∴∠DOF=
∠BOD=
×(180°﹣20°)=20°,
∴∠BOF=140°,
∴∠BOE=
∠BOE=
∠BOF=
×140°=70°,
∴∠EOC=∠BOC+∠EOB=70°+20°=90°;
所以∠EOC等于90°.
【点评】本题考查了对顶角、邻补角以及角平分线的性质,主要利用对顶角相等,邻补角的定义和角平分线的定义求解.
7.(2014秋•南通期末)如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°.
求:
(1)∠AOC的度数;
(2)∠BOE的度数.
【分析】
(1)根据OF⊥AB得出∠BOF是直角,则∠BOD=90°﹣∠DOF,再利用对顶角相等得出∠AOC=∠BOD;
(2)由OE⊥CD得出∠DOE=90°,则∠BOE=90°﹣∠BOD.
【解答】解:
(1)∵OF⊥AB,
∴∠BOF=90°,
∴∠BOD=90°﹣∠DOF=90°﹣65°=25°,
∴∠AOC=∠BOD=25°;
(2)∵OE⊥CD,
∴∠DOE=90°,
∴∠BOE=90°﹣∠BOD=90°﹣25°=65°.
【点评】本题考查了对顶角相等的性质,垂直的定义以及角的计算,是基础题,比较简单.准确识图是解题的关键.
8.(2013秋•宜兴市期末)如图,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠AOD,
(1)求∠EOF的度数.
(2)∠AOE:
∠BOG:
∠AOF=2:
4:
7,求∠COG的度数.
【分析】
(1)根据角平分线的定义表示出∠AOE和∠AOF,然后根据∠EOF=∠AOE+∠AOF计算即可得解;
(2)根据比值求出∠AOE和∠AOF的度数,再求出∠BOG,再根据角平分线的定义求出∠AOC,然后根据平角等于180°求出∠BOC,再根据∠COG=∠BOC﹣∠BOG列式计算即可得解.
【解答】解:
(1)∵OE平分∠AOC,
∴∠AOE=
∠AOC,
∵OF平分∠AOD,
∴∠AOF=
∠AOD,
∵∠AOC+∠AOD=180°,
∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=90°;
(2)∵∠AOE:
∠BOG:
∠AOF=2:
4:
7,∠AOE+∠AOF=90°,
∴∠AOE=20°,∠AOF=70°,∠BOG=40°,
∵OE平分∠AOC,
∴∠AOC=2∠AOE=2×20°=40°,
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠BOC=140°,
∴∠COG=∠BOC﹣∠BOG=140°﹣40°=100°.
答:
∠EOF的度数为90°,∠COG的度数为100°.
【点评】本题考查了角的计算,主要利用了角平分线的定义,邻补角的定义,熟记概念并准确识图,理清图中各个角度之间的关系是解题的关键.
9.(2014秋•无锡校级期末)如图,直线AB与CD相交于点D,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)图中∠AOF的余角有 ∠EOF,∠AOC,∠BOD ;(把符合条件的角都填出来)
(2)如果∠AOD=140°,那么根据 对顶角相等 ,可得∠BOC= 140 度;
(3)∠EOF=
∠AOD,求∠EOF的度数.
【分析】
(1)根据余角的定义、性质,可得答案;
(2)根据对顶角的性质,可得答案;
(3)根据余角的性质,可得∠EOF与∠BOD的关系,根据平角的定义,可得答案.
【解答】解:
(1)图中∠AOF的余角有∠EOF,∠AOC,∠BOD;(把符合条件的角都填出来)
(2)如果∠AOD=140°,那么根据对顶角相等,可得∠BOC=140度;
故答案为:
∠EOF,∠AOC,∠BOD;对顶角相等,140;
(3)∵∠EOF+AOF=90°,∠AOC+∠AOF=90°,
∴∠EOF=∠AOC=∠BOD.
∵∠AOD+∠BOD=180°,∠EOF=
∠AOD
∴5∠EOF+∠BOD=180°,
即6∠EOF=180°,
∠EOF=30°.
【点评】本题考查了对顶角、邻补角,利用了余角的性质,对顶角的性质,邻补角的性质.
10.(2014秋•宝应县期末)如图,直线AB与CD相交于点O,OP是∠BOC的平分线,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)图中除直角外,还有相等的角吗?
请写出两对:
① ∠COE=∠BOF ;② ∠COP=∠BOP .
(2)如果∠AOD=40°.
①那么根据 对顶角相等 ,可得∠BOC= 40 度.
②因为OP是∠BOC的平分线,所以∠COP=
∠ BOC = 20 度.
③求∠BOF的度数.
【分析】
(1)根据同角的余角相等可知∠COE=∠BOF,利用角平分线的性质可得∠COP=∠BOP,对顶角相等的性质得∠COB=∠AOD.
(2)①根据对顶角相等可得.
②利用角平分线的性质得.
③利用互余的关系可得.
【解答】解:
(1)∠COE=∠BOF、∠COP=∠BOP、∠COB=∠AOD(写出任意两个即可);
(2)①对顶角相等,40度;
②∠COP=
∠BOC=20°;
③∵∠AOD=40°,
∴∠BOF=90°﹣40°=50°.
【点评】结合图形找出各角之间的关系,利用角平分线的概念,余角的定义以及对顶角相等的性质进行计算.
11.(2013秋•滦南县期末)如图,AO⊥BC,DO⊥OE,OF平分∠AOD,∠AOE=35°.
(1)求∠COD的度数;
(2)求∠AOF的度数;
(3)你能找出图中有关角的等量关系吗?
(写出3个)
【分析】
(1)∠COD=∠AOC+∠AOD,求出∠AOD即可,而∠AOD=∠DOE﹣∠AOE;
(2)根据∠AOF=
(∠DOE﹣∠AOE)可以求解;
(3)根据角平分线以及垂直的定义,即可求解.
【解答】解:
根据题意,
(1)∵AO⊥BC,DO⊥OE,
∴∠AOC和∠DOE是直角,
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=90°+(90°﹣35°)=145°;
(2)∵OF平分∠AOD,
∠AOF=
(∠DOE﹣∠AOE)=
(90°﹣35°)=27.5°.
(3)∵AO⊥BC,DO⊥OE,
∴∠AOC和∠DOE是直角,两角相等;
OF平分∠AOD,则∠AOF=∠DOF;
AO⊥BC,则∠AOB=∠AOC.(答案不唯一)
【点评】根据所给的条件,明确各角之间的关系是解题的关键.
12.(2013秋•泰兴市校级期末)如图,平面上有三点A、B、C.
(1)画直线AB,画射线BC(不写作法,下同);
(2)过点A画直线BC的垂线,垂足为G;过点A画直线AB的垂线,交射线BC于点H.
(3)线段 AG 的长度是点A到直线BC的距离,线段AH的长度是点 H 到直线 AB 的距离.
(4)线段AG、AH的大小关系为AG < AH.理由是:
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中, 垂线段最短 最短.
【分析】
(1)
(2)根据垂线的画法画图即可;
(3)根据点到直线的距离:
直线外一点到直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离填空;
(4)根据垂线段的性质:
垂线段最短可得答案.
【解答】解:
(1)
(2)如图所示:
(3)线段AG的长度是点A到直线BC的距离,线段AH的长度是点H到直线AB的距离.
(4)AG<AH.
理由是:
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
【点评】此题主要考查了垂线,以及垂线的性质,关键是正确画出图形,掌握点到直线的距离的定义.
13.(2014秋•贵港期末)如图,直线AB、CD相交于点O,∠BOD=40°,按下列要求画图并回答问题:
(1)在直线AB上方画射线OE,使OE⊥AB;
(2)分别在射线OA、OE上截取线段OM、ON,使OM=ON,连结MN;
(3)画∠AOD的平分线OF交MN于点F;
(4)直接写出∠COF和∠EOF的度数:
∠COF= 110 度,
∠EOF= 20 度.
【分析】
(1)根据题意化成OE⊥AB即可;
(2)用圆规作ON=OM,连接MN即可;
(3)作∠AOD的平分线即可得出答案;
(4)求出∠AOD,求出∠AOF,即可求出答案.
【解答】解:
(1)如图,射线OE;
(2)如图ON、OM,线段MN;
(3)如图OF平分∠AOD,交MN于点F;
(4)∠COF=110°∠EOF=20°,
理由是:
∵∠BOD=40°,
∴∠AOD=180°﹣40°=140°,
∵OF平分∠AOD,
∴∠AOF=
∠AOD=70°,
∴∠EOF=90°﹣70°=20°,
∵∠AOC=∠BOD=40°,
∴∠COF=70°+40°=110°,
故答案为:
110,20.
【点评】本题考查了角的有关计算和画图的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力.
14.(2014秋•四川校级期末)如图,直线AB.CD相交于点O,OM⊥AB,NO⊥CD.
(1)若∠1=∠2,求∠AOD的度数;
(2)若∠1=
∠BOC,求∠2和∠MOD.
【分析】由已知垂直直线可以得到直角:
∠BOM=∠AOM=∠NOD=∠CON=90°
(1)∠AOD=∠NOD+(90°﹣∠2);
(2)根据邻补角的定义来求∠2,根据图形和对顶角的定义来求∠MOD.
【解答】解:
∵OM⊥AB,NO⊥CD,
∴∠BOM=∠AOM=∠NOD=∠CON=90°
(1)∵∠1=∠2,
∴∠1=∠2=45°.
∴∠AOD=∠NOD+(∠AON﹣∠2)=90°+90°﹣45°=135°,即∠AOD的度数是135°;
(2)∵∠1+∠BOM=∠BOC,∠1=
∠BOC,
∴∠BOC=120°,
∴∠2=180°﹣∠BOC=60°.
∵∠BOD=∠2=60°,
∴∠MOD=∠MOB+∠BOD=90°+∠2=90°+60°=150°,即∠MOD=150°.
【点评】本题考查了垂线,对顶角、邻补角.本题利用垂直的定义,对顶角和互补的性质计算,要注意领会由垂直得直角这一要点.
15.(2013秋•泰兴市校级期末)如图,直线AB与CD相交于O,OE⊥AB,OF⊥CD,
(1)图中与∠COE互余的角是 ∠AOC,∠BOD ;图中与∠COE互补的角是 ∠BOF,∠EOD ;(把符合条件的角都写出来)
(2)如果∠AOC=
∠EOF,求∠AOC的度数.
【分析】
(1)根据直角和互余、互补的定义求出即可;
(2)设∠AOC=5x°,则∠EOF=13x°,求出∠EOC=∠AOF=90°﹣∠AOC=
(13x﹣5x)=4x,得出方程4x+5x=90,求出即可.
【解答】解:
(1)与∠COE互余的角是∠AOC,∠BOD;图中与∠COE互补的角是∠BOF,∠EOD,
故答案为:
∠AOC,∠BOD;∠BOF,∠EOD.
(2)∵∠AOC=
∠EOF,
∴
设∠AOC=5x°,则∠EOF=13x°,
∵OE⊥AB,OF⊥CD,
∴∠AOE=∠FOC=90°,
∴∠EOC=∠AOF=90°﹣∠AOC=
(13x﹣5x)=4x,
∴4x+5x=90,
∴x=10,
则∠AOC=5x°=50°.
【点评】本题考查了角的有关计算,垂线,互余、互补等知识点的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力.
16.(2013秋•盐都区期末)如图,已知,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOC=60°,过点O作OF⊥C
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- 相交 平行线 综合