专题11相交线与平行线章末重难点题型举一反三人教版.docx

专题11相交线与平行线章末重难点题型举一反三人教版.docx

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专题11相交线与平行线章末重难点题型举一反三人教版

专题1.1相交线与平行线章末重难点题型

【人教版】

【直击考点】

【典例分析】

【考点1点到直线的距离】

【方法点拨】从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

【例1】（2019春•厦门期末）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法错误的是（　　）

A．点A到直线BC的距离为线段AB的长度

B．点A到直线CD的距离为线段AD的长度

C．点B到直线AC的距离为线段BC的长度

D．点C到直线AB的距离为线段CD的长度

【分析】根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析即可．

【答案】解：

∵∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC

根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析：

A：

点A到直线BC的距离为线段AC的长度，而不是线段AB的长度，故A错误．

故选：

A．

【点睛】本题考查了点到直线的距离的基本概念，属于基础题型，难度不大．

【变式1-1】（2019春•雨花区期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中正确的是（　　）

①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．

A．①④③⑥B．①④⑥C．②③D．①④

【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．

①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．

【答案】解：

∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，故①正确；

AC与DC相交不垂直，故②错误；

点A到BC的垂线段是线段AC，故③错误；

点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；

线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；

线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑥正确．

故选：

B．

【点睛】本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．

【变式1-2】（2019春•娄星区期末）如图所示，点A到BC所在的直线的距离是指图中线段（　　）的长度．

A．ACB．AFC．BDD．CE

【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．

【答案】解：

点A到BC所在直线的距离是线段AF的长度，

故选：

B．

【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的定义是解题关键．

【变式1-3】（2019春•天河区校级月考）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有（　　）

①线段CD的长度是C点到AB的距离；②线段AC是A点到BC的距离；

③AB＞AC＞CD；④线段BC是B到AC的距离；⑤CD＜BC＜AB．

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】根据垂直的定义，点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．

【答案】解：

①线段CD的长度是C点到AB的距离，正确；

②线段AC的长度是A点到BC的距离，错误；

③AB＞AC＞CD，正确；

④线段BC的长度是B到AC的距离，错误；

⑤CD＜BC＜AB，正确；

故选：

B．

【点睛】本题考查的是点到直线的距离、垂直的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．特别注意点到直线的距离指的是点到直线的垂线段的长度，互相垂直指夹角为90°．

【考点2相交线的交点问题】

【方法点拨】3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝

n（n﹣1）个交点．

【例2】（2019秋•旌阳区校级月考）在同一平面内的n条直线两两相交，最多共有36个交点，则n＝（　　）

A．7B．8C．9D．10

【分析】从简单情形考虑：

分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．

【答案】解：

2条直线相交最多有1个交点；

3条直线相交最多有1+2个交点；

4条直线相交最多有1+2+3个交点；

5条直线相交最多有1+2+3+4个交点；

6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点；

…

所以n条直线相交最多有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）＝

个交点；

由题意得

＝36，

解得n＝9．

故选：

C．

【点睛】此题考查图形的变化规律，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．

【变式2-1】（2019秋•鄄城县期末）两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么7条直线最多（　　）

A．28个交点B．24个交点C．21个交点D．15个交点

【分析】根据题意，结合图形，发现：

3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝

n（n﹣1）个交点．

【答案】解：

∵7条直线两两相交：

3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，而3＝

×2×3，6＝

×3×4，10＝1+2+3+4＝

×4×5，

∴七条直线相交最多有交点的个数是：

n（n﹣1）＝

×7×6＝21．

故选：

C．

【点睛】此题主要考查了图形变化类，此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．

【变式2-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）同一平面内两两相交的四条直线，最多有m个交点，最少有n个交点，那么mn是（　　）

A．1B．6C．8D．4

【分析】根据每三条不交于同一点，可得m，根据都交于同一点，可得n，根据乘方的意义，可得答案．

【答案】解：

每三条不交于同一点，得

m＝

＝6，

都交于同一点，得n＝1，

∴mn＝6，

故选：

B．

【点睛】本题考查了相交线，利用每三条不交于同一点，都交于同一点得出m，n是解题关键．

【变式2-3】（2019秋•江阴市校级月考）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：

两条直线相交，最多有一个交点；三条直线相交，最多有三个交点；四条直线相交，最多有6个交点，像这样，11条直线相交，最多交点的个数是（　　）

A．40个B．50个C．55个D．66个

【分析】根据题意，结合图形，发现：

3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝

n（n﹣1）个交点．

【答案】解：

∵10条直线两两相交：

3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，

5条直线相交最多有10个交点，而3＝

×2×3，6＝

×3×4，10＝1+2+3+4＝

×4×5，

∴11条直线相交最多有交点的个数是：

n（n﹣1）＝

×11×10＝55．

故选：

C．

【点睛】此题主要考查了图形变化类，此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．

【考点3同位角、内错角、同旁内角的判断】

【方法点拨】直线AB，CD被第三条直线EF所截。

这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：

*同位角：

没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；

*内错角：

没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；

*同旁内角：

没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；

【例3】（2019春•巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（　　）

A．∠3和∠5是同位角B．∠4和∠5是同旁内角

C．∠2和∠4是对顶角D．∠2和∠5是内错角

【分析】根据同位角，同旁内角，对顶角以及内错角的定义进行判断．

【答案】解：

A、∠3和∠5是同位角，故本选项不符合题意．

B、∠4和∠5是同旁内角，故本选项不符合题意．

C、∠2和∠4是对顶角，故本选项不符合题意．

D、∠2和∠5不是内错角，故本选项符合题意．

故选：

D．

【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．

【变式3-1】（2019春•西湖区校级月考）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（　　）

A．同位角、同旁内角、内错角

B．同位角、内错角、同旁内角

C．同位角、对顶角、同旁内角

D．同位角、内错角、对顶角

【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；

两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；

两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．

【答案】解：

根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知

第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．

故选：

B．

【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．

【变式3-2】（2019春•闵行区期中）如图，同位角共有（　　）对．

A．6B．5C．8D．7

【分析】根据同位角的概念解答即可．

【答案】解：

同位角有5对，∠4与∠7，∠3与∠8，∠1与∠7，∠5与∠6，∠2与∠9，∠1与∠3，

故选：

A．

【点睛】此题考查同位角，关键是根据同位角解答．

【变式3-3】（2019春•九龙坡区校级期中）如图，下列结论正确的是（　　）

A．∠4和∠5是同旁内角B．∠3和∠2是对顶角

C．∠3和∠5是内错角D．∠1和∠5是同位角

【分析】根据同旁内角，对顶角，内错角以及同位角的定义解答．

【答案】解：

A、∠4和∠5是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误．

B、∠3和（∠1+∠2）是对顶角，故本选项错误．

C、∠3和∠5是内错角，故本选项正确．

D、∠1和（∠1+∠2）是同位角，故本选项错误．

故选：

C．

【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

【考点4平行线公理及其推论】

【方法点拨】平行线公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

【例4】（2018春•城关区校级月考）下列说法中，正确的是（　　）

A．两条不相交的直线叫平行线

B．一条直线的平行线有且只有一条

C．若直线a∥b，a∥c，则b∥c

D．两条直线不相交就平行

【分析】根据平行线的定义判断A；

根据平行线的性质判断B；

根据平行公理的推论判断C；

根据两条直线的位置关系判断D．

【答案】解：

A、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；

B、一条直线的平行线有无数条，故本选项错误；

C、若直线a∥b，a∥c，则b∥c，满足平行公理的推论，故本选项正确；

D、在同一平面内两条直线不相交就平行，故本选项错误．

故选：

C．

【点睛】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．

【变式4-1】（2019春•张店区期末）已知在同一平面内，有三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则直线a与直线c之间的位置关系是（　　）

A．相交B．平行C．垂直D．平行或相交

【分析】根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可．

【答案】解：

∵在同一平面内，直线a∥b，直线b∥c，

∴直线c与直线a的位置关系是：

a∥c．

故选：

B．

【点睛】此题主要考查了平行公理的推论，熟练记忆推论内容是解题关键．

【变式4-2】（2019春•龙泉驿区期中）下列说法正确的是（　　）

A．a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c

B．a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c

C．a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c

D．a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c

【分析】根据“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”和“在同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”解答即可．

【答案】解：

A、正确，根据“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．

B、错误，因为“在同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”．

C、错误，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c则a⊥c；

D、错误，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c．

故选：

A．

【点睛】此题考查的是平行线的判定和性质定理，比较简单．

【变式4-3】（2019春•邱县期末）下列语句：

①不相交的两条直线叫平行线

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

相交和平行

③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行

④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行

⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行

正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】直接利用平行公理以及其推论分析得出答案．

【答案】解：

①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

相交和平行，正确

③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；

④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；

⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，

故选：

B．

【点睛】此题主要考查了平行公理及推论，正确把握定义是解题关键．

【考点5利用平行线的性质求角】

【方法点拨】两条直线平行则同位角、内错角相等，同旁内角互补.

【例5】（2019春•涧西区校级月考）如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（　　）

A．28°B．22°C．32°D．38°

【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2＝∠AEC，代入求出即可．

【答案】解：

如图，延长AB交CF于E，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵∠1＝38°，

∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝22°，

∵GH∥EF，

∴∠2＝∠AEC＝22°，

故选：

B．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．

【变式5-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）

A．68°B．58°C．48°D．32°

【分析】因直尺和三角板得AD∥FE，∠BAC＝90°；再由AD∥FE得∠2＝∠3；平角构建∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．

【答案】解：

如图所示：

∵AD∥FE，

∴∠2＝∠3，

又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

又∵∠1＝32°，

∴∠3＝58°，

∴∠2＝58°，

故选：

B．

【点睛】本题综合考查了平行线的性质，直角，平角和角的和差相关知识的应用，重点是平行线的性质．

【变式5-2】（2018秋•襄汾县期末）如图，某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（　　）

A．20°B．25°C．35°D．50°

【分析】由题意可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由平行线的性质，即可得出∠CDE的度数．

【答案】解：

由题意得，AB∥DE，

如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，

∴∠BCF+∠ABC＝180°，

∴∠BCF＝180°﹣125°＝55°，

∴∠DCF＝75°﹣55°＝20°，

∴∠CDE＝∠DCF＝20°．

故选：

A．

【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．

【变式5-3】（2018秋•方城县期末）将AD与BC两边平行的纸条ABCD按如图所示折叠，则∠1的度数为（　　）

A．72°B．45°C．56°D．60°

【分析】根据折叠的性质得出∠C'EF＝62°，利用平行线的性质进行解答即可．

【答案】解：

∵一张长方形纸条ABCD折叠，

∴∠C'EF＝∠FEC＝62°，

∵AD∥BC，

∴∠1＝∠C'FB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，

故选：

C．

【点睛】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

【考点6平行线的判定】

【方法点拨】两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：

平行线判定定理1：

同位角相等，两直线平行

平行线判定定理2：

内错角相等，两直线平行

平行线判定定理3：

同旁内角互补，两直线平行

平行线判定定理4：

两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行

【例6】（2019春•西湖区校级月考）如图，下列条件：

①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（　　）

A．②③④B．②③⑤C．②④⑤D．②④

【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．

【答案】解：

①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；

②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；

③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；

④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；

⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．

故选：

C．

【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．

【变式6-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：

（1）∠3＝∠4；

（2）∠1＝∠2；

（3）∠A＝∠DCE；

（4）∠D+∠ABD＝180°．能判断AB∥CD的有（　　）个．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据平行线的判定判断即可．

【答案】解：

（1）∵∠3＝∠4，∴BD∥AC；

（2）∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；

（3）∵∠A＝∠DCE，∴AB∥CD；

（4）∵∠D+∠ABD＝180°，∴AB∥CD，

故选：

C．

【点睛】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定解答．

【变式6-2】（2019春•南关区校级月考）如图，下列条件，其中能判定AB∥CD的有（　　）

①∠1＝∠2；

②∠BAD＝∠BCD；

③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；

④∠BAD+∠ABC＝180°．

A．3个B．2个C．1个D．0个

【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．

【答案】解：

①∵∠1＝∠2，

∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；

②∠BAD＝∠BCD，不能判定AB∥CD；

③∵∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；

∴∠ABD＝∠CDB，

∴AB∥CD；

④∵∠BAD+∠ABC＝180°，

∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；

∴能判定AB∥CD的有1个，

故选：

C．

【点睛】本题考查了平行线判定：

同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．

【变式6-3】（2019春•吴江区期中）以下四种沿AB折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　　）

A．展开后测得∠1＝∠2

B．展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4

C．测得∠1＝∠2

D．测得∠1＝∠2

【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．

【答案】解：

A、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；

B、∵∠1＝∠2且∠3＝∠4，由图可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，

∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，

∴a∥b（内错角相等，两直线平行），

故正确；

C、测得∠1＝∠2，

∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，

∴不一定能判定两直线平行，故错误；

D、∠1＝∠2，根据同位角相等，两直线平行进行判定，故正确．

故选：

C．

【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理．

【考点7垂线段在生活中的应用】

【方法点拨】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

【例7】（2019秋•泰兴市期末）如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．

（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是　　．

（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是　　．

【分析】

（1）过A作AC⊥MN，AC最短；

（2）连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．

【答案】解：

（1）过A作AC⊥MN，根据：

垂线段最短．

（2）连接AB交MN于D，根据是：

两点之间线段最短．

【点睛】此题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．

【变式7-1】（2019秋•北仑区期末）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

【分析】

（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；

（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．

【答案】解：

（1）∵两点之间线段最短，

∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．

（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．

“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．

【点睛】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用．

【变式7-2】（2019春•召陵区期中）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．

（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；

（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；

（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．

【分析】

（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．

（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．

（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．

【答案】解：

如图所示

（1）沿AB走，两点之间线段最短；

（2）沿AC走，垂线段最短；

（3）沿BD走，垂线段最短．

【点睛】根据具体的问题正确判断出是点到点的距离还是点到线的距离是解答问题的关键．

【变式7-3】（2019秋•延庆县