微分方程2.docx
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微分方程2
常微分方程数值解法
§1引言
§2欧拉法和改进的欧拉法
§3龙格-库塔法
§4阿当姆斯方法
§1引言
在高等数学里我们已经接触过常微分方程,对于一些典型的常微分方程,有求解析解的基本方法,但多数情况下,遇到的问题比较复杂,此时,只能利用近似方法求解,一般有两种近似方法。
实际求解的常微分方程,大多是定解问题┉┉满足指定条件的特解
本章讨论常微分方程,数值解的最简单问题┉┉一阶方程初值问题,即函数f(x)满足下列微分方程和初值条件:
在几何问题是(6-1)表现为一簇曲线,称(6-1)的积分曲线,初值问题(6-1)(6-2)就是要求一条过(x0,y0)的积分曲线
方程的精确解y(x)称为积分曲线。
方程是否有解,解是否唯一?
定理1对初值问题(6-1)(6-2),若f(x,y)在区域G={a≤x≤b,|y|<∞}
内连续,且关于y满足李普希兹条件,即存在常数L,使|f(x,y1)-f(x,y2)|≤L|y1-y2|(6-3)
对G中任意两个y1,y2均成立,其中L是与x,y无关的常数,则初值问题(6-1)(6-2)在(a,b)内存在唯一解,且解是连续可微的。
设f(x,y)在带形区域R:
{a≤x≤b,-∞<y<+∞}上为x,y的连续函数,且对任意的y满足李普希茨(Libusize)条件
|f(x,y1)-f(x,y2)|≤L|y1-y2|
其中(x,y1)、(x,y2)∈R,L为正常数。
在求初值问题(6-1)(6-2)的数值解时,我们通常采用离散化方法,求在自变量x的离散点a=x0<x1<x2<…<xn=b
上的准确解y(x)的近似值
y0,y1,y2,…,yn
常取离散点x0,x1,x2,…,xn为等距,即
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