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(30套)2018年全国各地高考数学模拟试题附答案汇总(761页)
2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分
1.(5分)设复数Z满足(1+i)Z=i,则|Z|=( )
A. B. C. D.2
【解答】解:
由(1+i)Z=i,得Z=,
∴|Z|=.
故选:
A.
2.(5分)已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0},B={y|y=x2+1},则A∩B=( )
A.[﹣1,3] B.[﹣3,2] C.[2,3] D.[1,3]
【解答】解:
A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},
B={y|y=x2+1}={y|y≥1},
则A∩B={x|1≤x≤3}=[1,3],
故选:
D
3.(5分)函数f(x)=+ln|x|的图象大致为( )
A. B. C. D.
【解答】解:
当x<0时,函数f(x)=,由函数y=、y=ln(﹣x)递减知函数f(x)=递减,排除CD;
当x>0时,函数f(x)=,此时,f
(1)==1,而选项A的最小值为2,故可排除A,只有B正确,
故选:
B.
4.(5分)《九章算术》是我国古代第一部数字专著,是《算经十书》中最重要的一种,成于公元一世纪左右,它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最简练有效的应用数学,“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法,按其算理流程有如图所示程序框图,若输入的a、b分别为96、42,则输出的i为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解答】解:
由程序框图可知:
当a=96,b=42时,满足a>b,则a=96﹣42=54,i=1
由a>b,则a=54﹣42=12,i=2
由a<b,则b=42﹣12=30,i=3
由a<b,则b=30﹣12=18,i=4
由a<b,则b=18﹣12=6,i=5
由a>b,则a=12﹣6=6,i=6
由a=b=6,输出i=6.
故选:
C.
5.(5分)如果实数x,y满足关系,又≥λ恒成立,则λ的取值范围为( )
A.(﹣∞,] B.(﹣∞,3] C.[,+∞) D.(3,+∞)
【解答】解:
设z==2+,
z的几何意义是区域内的点到D(3,1)的斜率加2,
作出实数x,y满足关系对应的平面区域如图:
由图形,可得C(,),
由图象可知,直线CD的斜率最小值为=,
∴z的最小值为,
∴λ的取值范围是(﹣∞,].
故选:
A.
6.(5分)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【解答】解:
由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥,
四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2,
圆锥的底面半径是1、高是2,
∴所求的体积V==,
故选:
B.
7.(5分)已知等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则的值为( )
A.3 B.5 C.9 D.25
【解答】解:
根据题意,等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,
则有a6==15,
则q==5,
则==q2=25;
故选:
D.
8.(5分)已知F是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:
设F(c,0),渐近线方程为y=x,
对称点为F'(m,n),
即有=﹣,
且•n=•,
解得m=,n=﹣,
将F'(,﹣),即(,﹣),
代入双曲线的方程可得﹣=1,
化简可得﹣4=1,即有e2=5,
解得e=.
故选:
C.
9.(5分)函数f(x)在定义域R内可导,若f(1+x)=f(3﹣x),且当x∈(﹣∞,2)时,(x﹣2)f(x)<0,设a=f(0),b=f(),c=f(3),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a
【解答】解:
∵f(1+x)=f(3﹣x),
∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(3)=f
(1).
当x∈(﹣∞,2)时,(x﹣2)f′(x)<0,
∴f′(x)>0,即f(x)单调递增,
∵0<<1,
∴f(0)<f()<f
(2),
即a<b<c,
故选:
D.
10.(5分)已知函数f(x)=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣,且f(x1)•f(x2)=﹣16,则|x1+x2|的最小值为( )
A. B. C. D.
【解答】解:
f(x)=asinx﹣2cosx
=sin(x+θ),
由于函数f(x)的对称轴为:
x=﹣,
所以f(﹣)=﹣a﹣3,
则|﹣a﹣3|=,
解得:
a=2;
所以:
f(x)=4sin(x﹣),
由于:
f(x1)•f(x2)=﹣16,
所以函数f(x)必须取得最大值和最小值,
所以:
x1=2kπ+或x2=2kπ﹣,k∈Z;
所以:
|x1+x2|的最小值为.
故选:
C.
11.(5分)对于向量a,b,定义a×b为向量a,b的向量积,其运算结果为一个向量,且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ(其中θ为向量a与b的夹角),a×b的方向与向量a,b的方向都垂直,且使得a,b,a×b依次构成右手系.如图,在平行六面体ABCD﹣EFGH中,∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°,AB=AD=AE=2,则=( )
A.4 B.8 C. D.
【解答】解:
据向量积定义知,向量垂直平面ABCD,且方向向上,设与所成角为θ.
∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°,
∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上.
作EI⊥AC于I,则EI⊥面ABCD,∴θ+∠EAI=.
过I作IJ⊥AD于J,连EJ,由三垂线逆定理可得EJ⊥AD.
∵AE=2,∠EAD=60°,∴AJ=1,EJ=.
又∵∠CAD=30°,IJ⊥AD,∴AI=.
∵AE=2,EI⊥AC,∴cos∠EAI==.
∴sinθ==cos∠EAI=,cosθ=.
故=||||sin∠BAD||cosθ=8××=,
故选D.
12.(5分)若存在实数x使得关于x的不等式(ex﹣a)2+x2﹣2ax+a2≤成立,则实数a的取值范围是( )
A.{} B.{} C.[,+∞) D.[,+∞)
【解答】解:
不等式(ex﹣a)2+x2﹣2ax+a2≤成立,
即为(ex﹣a)2+(x﹣a)2≤,
表示点(x,ex)与(a,a)的距离的平方不超过,
即最大值为.
由(a,a)在直线l:
y=x上,
设与直线l平行且与y=ex相切的直线的切点为(m,n),
可得切线的斜率为em=1,
解得m=0,n=1,
切点为(0,1),由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=ex的距离的最小值,
可得(0﹣a)2+(1+a)2=,
解得a=,
则a的取值集合为{}.
故选:
A.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分
13.(5分)已知等差数列{an}前15项的和S15=30,则a2+a9+a13= 6 .
【解答】解:
∵设等差数列的等差为d,{an}前15项的和S15=30,
∴=30,即a1+7d=2,
则a2+a9+a13=(a1+d)+(a1+8d)+(a1+12d)=3(a1+7d)=6.
故答案为:
6.
14.(5分)若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256,则该展开式中常数项的值为 1120 .
【解答】解:
由题意可知,2n=256,解得n=8.
∴=,其展开式的通项=,
令8﹣2r=0,得r=4.
∴该展开式中常数项的值为.
故答案为:
1120.
15.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f′(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的序号是 ②⑤
①f(x)<0恒成立;
②(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0;
③(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0;
④f()>f()
⑤f()<f()
【解答】解:
由导函数的图象可知,导函数f′(x)的图象在x轴下方,即f′(x)<0,故原函数为减函数,
并且是,递减的速度是先快后慢.所以f(x)的图象如图所示:
f(x)<0恒成立,没有依据,故①不正确;
②表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]异号,即f(x)为减函数.故②正确;
③表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]同号,即f(x)为增函数.故③不正确,
④⑤左边边的式子意义为x1,x2中点对应的函数值,即图中点B的纵坐标值,
右边式子代表的是函数值得平均值,即图中点A的纵坐标值,显然有左边小于右边,
故④不正确,⑤正确,综上,正确的结论为②⑤.
故答案为:
②⑤.
16.(5分)在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,M是直线DE上的动点.若△ABC的面积为2,则•+2的最小值为 2 .
【解答】解:
∵D、E是AB、AC的中点,
∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半,
∴S△ABC=2S△MBC,而△ABC的面积2,则△MBC的面积S△MBC=1,
S△MBC=丨MB丨•丨MC丨sin∠BMC=1,
∴丨MB丨•丨MC丨=.
∴•=丨MB丨•丨MC丨cos∠BMC=.
由余弦定理,丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨•丨CM丨cos∠BMC,
显然,BM、CM都是正数,
∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨•丨CM丨,
∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC
=2×﹣2×.
∴•+2≥+2×﹣2×
=2•,
方法一:
令y=,则y′=,
令y′=0,则cos∠BMC=,此时函数在(0,)上单调减,在(,1)上单调增,
∴cos∠BMC=时,取得最小值为,
•+2的最小值为2;
方法二:
令y=,
则ysin∠BMC+cos∠BMC=2,则sin(∠BMC+α)=2,
tanα=,
则sin(∠BMC+α)=≤1,
解得:
y≥,
则•+2的最小值为2;
故答案为:
2.
三、解答题
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=(3c﹣b)cosA.
(1)求cosA的值;
(2)若b=3,点M在线段BC上,=2,||=3,求△ABC的面积.
【解答】(本题满分为12分)
解:
(1)因为acosB=(3c﹣b)cosA,由正弦定理得:
sinAcosB=(3sinC﹣sinB)cosA,
即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA,可得:
sinC=3sinCcosA,
在△ABC中,sinC≠0,
所以.…(5分)
(2)∵=2,两边平方得:
=4,
由b=3,||=3,,可得:
,
解得:
c=7或c=﹣9(舍),
所以△ABC的面积.…(12分)
18.(12分)在如图所示的圆台中,AB,CD分别是下底面圆O,上底面圆O′的直径,满足AB⊥CD,又DE为圆台的一条母线,且与底面ABE成角.
(Ⅰ)若面BCD与面ABE的交线为l,证明:
l∥面CDE;
(Ⅱ)若AB=2CD,求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:
如图,在圆台OO′中,∵CD⊂圆O′,
∴CD∥平面ABE,
∵面BCD∩面ABE=l,∴l∥CD,
∵CD⊂平面CDE,l⊄平面CDE,
∴l∥面CDE;
(Ⅱ)解:
连接OO′、BO′、OE,则CD∥OE,
由AB⊥CD,得AB⊥OE,
又O′B在底面的射影为OB,
由三垂线定理知:
O′B⊥OE,∴O′
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