高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修11整理.docx
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高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修11整理
2017-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修1-1
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§2充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
古时候有个卖油郎叫洛孝,一天他在卖油回家的路上捡到30两银子,回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主.当洛孝把银子还给失主时,失主却说自己丢了50两银子,叫洛孝拿出自己私留的20两银子.两人为此争执不休,告到县衙,县官听了两人的供述后,把银子判给洛孝,失主含羞离去.
设:
A:
洛孝主动归还所拾银两.
B:
洛孝无赖银之情.
C:
洛孝拾到30两银子,失主丢失50两银子.
D:
洛孝所拾银子不是失主所丢.
问题1:
县官得到结论B的依据是什么?
它是B的什么条件?
提示:
A,充分条件.
问题2:
县官由C得出什么结论?
它是C的什么条件?
提示:
D,必要条件.
充分条件和必要条件
如果“若p,则q”形式的命题为真命题,即p⇒q,称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件。
充要条件
已知:
p:
前年在伦敦举行第30届夏季奥运会.
q:
前年是2012年.
问题1:
“若p,则q"为真命题吗?
p是q的什么条件?
提示:
是真命题,充分条件.
问题2:
“若q,则p”是真命题吗?
p是q的什么条件?
提示:
是真命题,必要条件.
问题3:
p是q的什么条件?
q是p的什么条件?
提示:
充要条件,充要条件.
充要条件
(1)如果既有p⇒q,又有q⇒p,通常记作p⇔q,则称p是q的充分必要条件,简称充要条件.
(2)p是q的充要条件也可以说成:
p成立当且仅当q成立.
(3)如果p,q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题.
(4)若p⇒q,但q⇒/p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
(5)若p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的既不充分也不必要条件.
充分条件与必要条件的判断,即对命题“若p,则q”与“若q,则p”进行真假判断,若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件;若是两真则p是q的充要条件;若是两假则p是q的即不充分又不必要条件.
充分条件、必要条件的判断
[例1] 下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:
a,b,c三数成等比数列,q:
b=
;
(2)p:
y+x>4,q:
x>1,y〉3;
(3)p:
a〉b,q:
2a〉2b;
(4)p:
△ABC是直角三角形,q:
△ABC为等腰三角形.
[思路点拨] 可先看p成立时,q是否成立,再反过来若q成立时,p是否成立,从而判定p,q间的关系.
[精解详析]
(1)若a,b,c成等比数列,则b2=ac,b=±
,则p⇒/q;若b=
,当a=0,b=0时,a,b,c不成等比数列,即q⇒/p,故p是q的既不充分也不必要条件.
(2)y+x〉4不能得出x>1,y〉3,即p⇒/q,而x〉1,y>3可得x+y〉4,即q⇒p,故p是q的必要不充分条件.
(3)当a〉b时,有2a〉2b,即p⇒q,当2a>2b时,可得a>b,即q⇒p,故p是q的充要条件.
(4)法一:
若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形,即p⇒/q;若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形,即q⇒/p,故p是q的既不充分也不必要条件.
法二:
如图所示:
p,q对应集合间无包含关系,故p是q的既不充分也不必要条件.
[一点通]
充分必要条件判断的常用方法:
(1)定义法:
分清条件和结论,利用定义判断.
(2)等价法:
将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断.
(3)集合法:
设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.
①若AB,则p是q的充分不必要条件;
②若BA,则p是q的必要不充分条件;
③若A=B,则p是q的充要条件;
④若A⃘B且B⃘A,则p是q的既不充分又不必要条件.
1.设集合A={x|
≤0},集合B={x||x-2|≤1},那么“m∈A"是“m∈B”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析:
集合A={x|0≤x<3},集合B={x|1≤x≤3},则由“m∈A”得不到“m∈B”,反之由“m∈B”也得不到“m∈A”,故选D。
答案:
D
2.对任意实数a,b,c给出下列命题:
①“a=b”是“ac=bc"的充要条件;
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;
③“a〉b”是“a2〉b2"的充分条件;
④“a〈5”是“a〈3"的必要条件.
其中,真命题的序号是________.
解析:
①由a=b可得ac=bc。
但ac=bc时不一定有a=b,故①为假命题;②由“a+5为无理数”可得“a为无理数”,由“a为无理数”可得“a+5为无理数”,②为真命题;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,③为假命题;④“由a<5”不能得“a<3",而由“a〈3”可得“a<5”,④为真命题.
答案:
②④
3.指出下列各组命题中p是q的什么条件,q是p的什么条件,并说明理由.
(1)p:
|x|=|y|,q:
x=y;
(2)在△ABC中,p:
sinA>
,q:
A>
.
解:
(1)因为|x|=|y|⇒x=y或x=-y,但x=y⇒|x|=|y|,所以p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.
(2)因为0<A<π时,sinA∈(0,1],且A∈(0,
]时,sinA单调递增,A∈[
,π)时,sinA单调递减,所以sinA>
⇒A>
,但A>
⇒/sinA>
。
所以p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件。
充要条件的证明和求解
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),
求证:
数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1。
[思路点拨] 本题可分充分性和必要性两种情况证明,即由q=-1推证数列{an}为等比数列和由数列{an}满足Sn=pn+q(p≠0且p≠1)为等比数列推证q=-1。
[精解详析] (充分性)当q=-1时,a1=S1=p-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且n=1时也成立.于是
=
=p(p≠0且p≠1),即{an}为等比数列.
(必要性)当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
因为p≠0且p≠1,所以当n≥2时,
=
=p,可知等比数列{an}的公比为p.
故
=
=p,即p-1=p+q,求得q=-1.
综上可知,q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件.
[一点通]
充要条件的证明问题,要证明两个方面,一是充分性,二是必要性.为此必须要搞清条件,在“A是B的充要条件"中,A⇒B是充分性,B⇒A是必要性;在“A的充要条件是B”中,A⇒B是必要性,B⇒A是充分性.
4.不等式x2-ax+1〉0的解集为R的充要条件是____________.
解析:
若x2-ax+1>0的解集为R,则Δ=a2-4〈0,即-2〈a〈2。
又当a∈(-2,2)时,Δ〈0,可得x2-ax+1〉0的解集为R,故不等式x2-ax+1〉0的解集为R的充要条件是-2〈a〈2。
答案:
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- 高中数学 第一章 常用 逻辑 用语 充分 条件 必要条件 北师大 选修 11 整理