《概率论与数理统计》习题答案复旦大学出版社5.docx
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《概率论与数理统计》习题答案复旦大学出版社5
习题五
1.一颗骰子连续掷
4次,点数总和记为
X.估计P{10 4 【解】设Xi 表每次掷的点数,则 X Xi i 1 E(Xi ) 1 1 1 1 1 1 7 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 2 E(Xi2) 121 221 32 1 42 1 521 621 91 6 6 6 6 6 6 6 2 从而 D(Xi)E(Xi2)[E(Xi)]291 7 35. 6 2 12 又X1,X2,X3,X4独立同分布. 4 4 7 从而E(X) E( Xi) E(Xi) 4 14, 2 i 1 i 1 4 4 35 35 D(X) D( Xi) D(Xi) 4 12 . i 1 i 1 3 所以 35/3 P{10X 18}P{X| 14|4}421 0.271, 2.假设一条生产线生产的产品合格率是 0.8.要使一批产品的合格率达到在 76%与84%之间的概率不小于 90%,问这批产品至少要生产多少件? 1 1,若第i个产品是合格品, 【解】令Xi 0,其他情形. 而至少要生产 n件,则i=1,2,⋯,n且 X1,X2,⋯,Xn独立同分布,p=P{Xi=1}=0.8. 现要求n,使得 n Xi i 1 0.84} 0.9. P{0.76 n 即 n 0.76n 0.8n Xi 0.8n 0.84n 0.8n i1 P{ }0.9 n 0.8 0.2 n 0.8 0.2 n0.8 0.2 由中心极限定理得 0.84n 0.8n 0.76n 0.8n 0.9, 0.16n 0.16n 整理得 n 查表 n 1.64, 0.95, 10 10 n≥268.96, 故取n=269. 3.某车间有同型号机床200部,每部机床开动的概率为 0.7,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能 15个单位.问至少供应多少单位电 能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量, 应先确定此车间同时开动的机床数目最大值 m,而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过 m的概率为95%, 2 于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目,则X~B(200,0.7), E(X)140,D(X)42, m 140 0.95P{0Xm}P(Xm) . 42 查表知 m140 m=151. 1.64, 42 所以供电能 151×15=2265(单位). 20 4.一加法器同时收到 20个噪声电压Vk(k=1,2,⋯,20),设它们是相互独立的随机变量,且都在区间( 0,10)上服从均匀分布 .记V= Vk,求P{V k 1 >105}的近似值. 100 【解】易知: E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,⋯,20 12 由中心极限定理知,随机变量 20 Vk20 5 Z k1 V205 近似的 100 100 ~N(0,1). 20 20 12 12 3 V205 105205 于是P{V105}P 10 100 20 20 12 12 V 100 0.387 1 (0.387) 0.348, P 10 20 12 即有 P{V>105}≈0.348 5. 有一批建筑房屋用的木柱,其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100根,问其中至少有 30根短于3m的概率是多少? 【解】设100根中有X根短于3m,则X~B(100,0.2 从而 P{X 30} 1P{X30} 1 30 100 0.2 100 0.2 0.8 1 (2.5) 10.9938 0. 6. 某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于 75人治愈, 就接受这一断言,否则就拒绝这一断言. (1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8,问接受这一断言的概率是多少? (2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7,问接受这一断言的概率是多少? 1, 第i人治愈, i1,2, 100. 【解】Xi 其他. 0, 4 100 令XXi. i1 (1)X~B(100,0.8), 100 75 100 0.8 Xi P{ 75} 1 P{X 75} 1 0.8 0.2 i 1 100 1 (1.25) (1.25) 0. (2)X~B(100,0.7), 100 75 100 0.7 Xi P{ 75} 1 P{X 75} 1 0.7 0.3 i 1 100 1 5 (1.09) 0.1379. ()1 21 7.用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为 0.05的产品中,任取 1000件,其中有 20件废品的概率. 【解】令1000件中废品数X,则 p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05), E(X)=50,D(X)=47.5. 故 P{X 20} 1 20 50 1 30 47.5 47.5 6.895 6.895 1 30 4.5 6 6.895 10. 6.895 5 8. 1,⋯,T30 服从参数λ=0.1[单位: (小时)-1]的指数分布,其使用情况是第一个损坏第二个立即使用,以此类推 . 设有30个电子器件.它们的使用寿命T 令T为30个器件使用的总计时间,求 T超过350小时的概率. 【解】E(Ti) 1 1 D(Ti) 1 100, 10, 2 0.1 E(T) 1030 30D(T) 3000 故 P{T 350} 1 350 300 1 5 (0.913) 0.1814. 1 3000 30 9. 上题中的电子器件若每件为 a元,那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95%的概率保证够用(假定一年有 306个工作日,每个工作日为 8小时). 【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10,D(Ti)=100, E(T)=10n,D(T)=100n. n 306 810n Ti 0.95,即0.05 从而P{ 306 8} 10 n . i 1 故 0.95 10n 2448 1.64 n244.8 n272. 10 n n 所以需272a 元. 10. 对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长、 1 名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学 校共有400 名学生,设各学生参加会议的家长数相与独立,且服从同一分布 . (1)求参加会议的家长数 X超过450 的概率? (2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率. 【解】 (1)以Xi(i=1,2,⋯,400)记第i个学生来参加会议的家长数 .则Xi的分布律为 6 Xi 0 1 2 P 0.05 0.8 0.15 易知E(Xi i ⋯,400. =1.1),D(X)=0.19,i=1,2, 400 而X Xi,由中心极限定理得 i 400 Xi 4001.1 4001.1近似地 i X ~N(0,1). 400 0.19 4 19 4504001.1 于是P{X450}1P{X450}1 419 1(1.147)0.13 (2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数 .则Y~B(400,0.8) 340 400 0.8 P{Y340 (2.5)0.9938. 400 0.8 0.2 11.设男孩出生率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率? 【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数,则 X~B(10000,0.515 P{X≤5000}.由中心极限定理有 P{X 5000 10000 0.515 5000} (3)1(3)0.00135. 10000 0.515 0.485 12.设有1000个人独立行动,每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以95%概率估计,在一次行动中: 7 (1)至少有多少个人能够进入? (2)至多有多少人能够进入? 【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体( i=1,2,⋯,1000). 令 =X+X +⋯+X. Sn12 1000 (1) 设至少有m人能够进入掩蔽体,要求 P{m≤Sn≤1000}≥0.,95事件 m1000 0.9 Sn 900 {mSn} 0.9 0.1 . 1000 90 由中心极限定理知: P{m Sn}1P{Sn m}1 m1000 0.9 1000 0.9 0.95. 0.1 从而 m900 0.05, 90 故 m 900 1.65, 90 所以 m=900-15.65=884.35≈884人 (2)设至多有M人能进入掩蔽体,要求 P{0≤Sn≤M}≥0.95. P{Sn M 900 M} 90 0.95. 查表知M 900 =1.65,M=900+15.65=915.65 ≈916人. 90 8 13.在一定保险公司里有10000人参加保险,每人每年付 12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000元赔偿 费.求: (1) 保险公司没有利润的概率为多大; (2) 保险公司一年的利润不少于60000 元的概率为多大? 【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数,则 X~B(10000,0.006). (1)公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率为 P{X 120} 1 120 10000 0.006 10000 0.006 0.994 10000 0.006 0.994 1 60 1 1 1 2 (60/ 59.64 ) e2 59.64 59.64 2 59.64 0.0517 30.1811 0 e (2)因为“公司利润≥60000当”且仅当“0X≤≤60”于是所求概率为 P{0 X 60 10000 0.006 0 10000 0.006 60} 10000 0.006 0.994 10000 0.006 0.994 60 0.5. (0) 59.64 14.设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计. (2001研考)【解】令Z=X-Y,有 E(Z)0,D(Z)D(XY)D(X)D(Y)2D(X)D(Y)3. XP 9 所以 P{|Z E(Z)|6} P{|X D(X Y) 3 1 Y|6} 2 36 . 6 12 15. 某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占 20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数. (1)写出X的概率分布; (2)利用中心极限定理,求被盗索赔户不少于 14户且不多于30户的概率近似值. (1988研考) 【解】 (1)X可看作 100次重复独立试验中,被盗户数出现的次数,而在每次试验中被盗户出现的概率是 0.2,因此,X~B(100,0.2),故X的概率分布是 P{X k} C100k0.2k0.8100 k,k1,2, 100. (2)被盗索赔户不少于14户且不多于 30户的概率即为事件 {14≤X≤30}的概率.由中心极限定理,得 P{14 X 30} 30 100 0.2 14 100 0.2 100 0.2 0.8 100 0.2 0.8 (2.5) (1.5) 0.994[9.33] 16. 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的 .假设每箱平均重 50千克,标准差为 5 千克,若用最大载重量为 5吨的汽车承运,试利用中心极 限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于 0.977. 【解】设Xi(i=1,2,⋯,n)是装运i箱的重量(单位: 千
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