自由落体运动与竖直上下抛运动.docx
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自由落体运动与竖直上下抛运动
自由落体运动与竖直上、下抛运动
一、教法建议
【抛砖引玉】
1.关于“自由落体运动”的教学
学生在高一已经学过“自由落体运动”,但因当时是在讲述“牛顿运动定律”之前学习的,因此只限于运动学描述──自由落体是一种初速为零的匀加速运动.对于“重力加速度”只给出数值,而未说明成因.
升到高三以后,再次学习“自由落体运动”有两项目的要求:
一是在高一原有的基础上进行补充提高;另一是给学习竖直上、下抛运动打下基础.
在教学过程中,我们建议教师采用复习提问®启发引导的方式,使学生对下列两个方面加深理解,以达到补充提高和打好基础的目的:
一方面是教师在提问启发的基础上总结出G=mg是牛顿第二定律F=ma的一种特殊情况(当F=G时,a=g),从而使学生理解:
重力是使物体产生重力加速度的原因.然后再复习当υ0=0、a=g时的自由落体的运动学规律──υt=gt、S=
gt2、υt=
.
另一方面要使学生更深入地掌握“自由落体运动”的概念和条件.教师首先说明:
“自由落体运动”是物体只受重力作用从静止开始下落的运动,因此当物体除了受重力以外若还受其它力时,既使是从静止开始下落也不是自由落体运动.由于人们生活在空气之中,所以在日常生活中所见的下落物体因受空阻力,严格地说都不是自由落体.然后教师再通过提问、讨论、总结的方式,使学生从理论上掌握可视为“自由落体运动”的近似条件.(参阅后面的“指点迷津”)
最后教师出几个可忽略空气阻力和不可忽略空气阻力的落体习题让学生解答,通过练习和对此使学生既复习巩固了概念,又提高了解题能力.
2.关于“竖直下抛运动”的教学
想对而言,“竖直下抛运动”比“竖直上抛运动”容易.(因为下抛不存在“最大高度”、“上升时间”等问题)
讲授“坚直下抛运动”,可按下列四个步骤进行:
第一步,说明“竖直下抛运动”与“自由落体运动”的主要区别──υ0≠0,且υ0的方向竖直向下.
第二步,说明“竖直下抛运动”是一种初速不为零的、竖直向下的匀加速直线运动──由于重力加速度g与初速度υ0同向,所以是加速运动.
第三步,将a=g代入高一学过的初速不为零的匀变速运动公式,导出“竖直下抛”的运动学公式──υt=υ0+gt,S=υ0t+
gt2,υ2t-υ20=2gs.
第四步,出几个练习题,培养学生理论联系实际的能力.
3.关于“竖直上抛运动”的教学
第一步,说明“竖直上抛运动”与“竖直下抛运动”的主要区别──υ0竖直向上.
第二步,说明“竖直上抛运动”是一种竖直向上的匀减速直线运动──由于g与υ0的方向相反,所以是减速运动.
第三步,将a=-g代入高一学过的变速运动公式中导出“竖直上抛”的运动学公式──υt=υ0-gt,S=υ0t-
gt2,υ2t-υ20=-2gS.(说明:
因为g与υ0反向,若以υ0为正,则取-g代入.在用上列公式解题时,只需将g值代入而不需再考虑正负了.)
第四步,将υt=0代入υt=υ0-gt,可导出t=
,这就是竖直上抛物体达到最大高度所用的时间(简称“上升时间”);将导出的“上升时间”代入S=υ0t-
gt2=υ0
-
g(
)2=
-
=
,这就是以υ0竖直上抛的物体所能达到的最大高度(简称“最大高度”).
第五步,指导学生作几个灵活性和综合性较高的习题,以提高解题的能力.
【指点迷津】
下列各问题对学生有启发、解疑和加深理解的作用,也可供老师课堂提问时参考.
1.在日常生活中,可视为“自由落体”的近似条件是什么?
自由落体的运动学条件是:
υ0=0,a=g.若要满足υ0=0,就要求物体在运动前处于静止平衡状态.因此物体在运动前至少同时受到两个力的作用──一个是重力,另一个是与重力大小相等、方向相反的支持力.(同学们注意:
这一对是作用于同一物体上的平衡力)这个支持力可来源于人手、悬线、托板……也可来源于果树枝条对生长于其上的苹果的作用……一旦这个支持力停止作用,物体就会失去平衡开始运动.在日常生活中,这个条件容易满足.
若要满足a=g,就要求物体在运动过程中只受重力mg作用.在日常生活中,我们常见的落体大多是在空气中运动的,因此就会存在着空气阻力和空气浮力,对于体积大、密度小或空心的物体空气的阻力和浮力都是不能忽略的.只有当落体的体积小、密度大且实心,它所受的阻力和浮力远小于重力时(即阻力和浮力可以忽略不计),才可视为“自由落体”,这就是所要求的近似条件.
2.对于不满足近似条件的落体应如何处理有关的运动问题?
设落体所受的空气阻力和浮力总和为f,则据牛顿第二定律mg-f=ma,可计算出a,然后代入高一学过的运动学公式中就可求出答案.(说明:
对于质点力学而言,可以不考虑浮力.但如果研究的对象是很轻的空心球体或羽毛、棉花团之类的落体,浮力就不能忽略了.)
3.对于不可忽略空气阻力和空气浮力的“竖直下抛”和“竖直上抛”运动的问题应如何处理?
总的来说,不能直接套用在“抛砖引玉”中列出的“竖直下抛”和“竖直上抛”的运动公式.应当根据牛顿第二定律åF=ma先求出a,再代入高一所学的一般的匀变速直线运动公式求解.处理“竖直下抛”问题比较容易,因为空气阻力和空气浮力都竖直向上,与重力方向相反。
处理“竖直上抛”问题时应当注意,空气阻力向下与重力同向、空气浮力向上与重力反向.
4.为什么“竖直上抛”问题比“竖直下抛”问题复杂?
第一、因为“竖直上抛”问题涉及到“上升时间”和“最大高度”,因为往往具有一定的灵活性.
第二、因为“竖直上抛”的物体达到最大高度后,若无外力阻挡,它将自动按落体的规律返回,因此往往具有一定的综合性.
二、学海导航
【思维基础】
例题1.一石子从高处A点自由落下,经B点到C点.已知石子过B点时的速度是过C点时速度的
,B、C间的距离是7米:
,求A、C间的距离.(g取10m/s2)
思维基础:
形象直观的画图分析方法有利于启发思维.我们先作本题的示意图2-1.(注:
因为是自由落体,所以υ0=υA=0)由A到C是自由落体运动,可用υ2C=2gSAB;由B到C虽然也是全部自由落体的一段,但石子过B点时已有速度υB了,所以不能乱套自由落体公式,而要用υ2C-υ2B=2gSBC求解.υA=0·A
解题过程:
∵υ2C=2gSAB
∴SAB=
①υB=
·BSAC=?
∵υ2C-υ2B=2gSBC
υ2C-
=2gSBCSBC=7m
υ2C-
υ2C=2gsBCυC·C
υ2C=2gsBC图2—1
υ2C=
②
将已知SBC=7m和g=10m/s2代②式:
υ2C=
=320(m2/s2)
将解出的υ2C=320m2/s2和g=10m/s2代入①式:
SAC=
=16(m)
答案:
A、C间的距离为16米.
例题2.将物体竖直向上抛出后,能正确表示其速率υ随时间t变化关系的图线是如图2—2中所示的A、B、C、D中的哪种?
υυυυ
0t0t0t0t
(A)(B)(C)(D)
图2—2答:
[]
思维基础:
“竖直上抛运动”是一种匀减速直线运动,在上升过程中速率υ逐渐减小,当减到υ=0时,物体也就达到了最大高度.接下来,物体就开始作自由落体运动,速率υ逐渐增大.(注:
物体上升时,速度υ的方向是向上的;物体下落时,速度
υ是向下的.但是本题写明是“速率”υ,所以看图线时,只需看υ大小的变化,而不必考虑方向的变化.)
解题思路:
根据前面的分析,物体先上升后下落,速率的变化应是υ0®υ®υ0,只有图线(D)反映出了这种现象,而其它三种图线都是不对的.(注:
在图线D中,图线与纵轴υ的交点,就表示物体上抛的初速度υ0的大小.)
答案:
[D]
【学法指要】
例题3.以υ0=20m/s的初速度从地面竖直向上抛出一个实心小铁球,问:
经过3秒钟小铁球距地面的高度是多少米?
(g取10m/s2,可以忽略空气阻力和浮力的影响.)
启发性问题:
1.题目中说“实心小铁球”的目的是什么?
2.你能说出这个小铁球在3秒钟的运动状态吗?
3.你会用几种方法解答这个问题?
4.在本单元的“抛砖引玉”中,我们所导出的竖直上抛运动的位移公式S=υ0t-
gt2是否考虑了矢量关系?
概括地说式中的S是位移还是路程?
位移和路程的数值是否永远相等?
分析与说明:
1.“实心小铁球”在空气中下落时所受的空气阻力和空气浮力远小于它所受的重力,这就表示满足了“自由落体”的近似条件.(其实在本题的括号中已说了“可以忽略……”,所以不提是实心小铁球也可以.这样写法主要是起复习巩固的作用.)
2.我们先运用前面导出的“上升时间”公式t=
,算出小铁球经2秒钟已达到最大高度,随后就以自由落体的状态下落了.所以在3秒钟内,小铁球的运动状态是──前2秒作竖直上抛运动,第3秒作自由落体运动.
3.本题可以用“分段法”和“位移法”两种方法求解,具体的解法详见后面解题过程中的“解法一”和“解法二”.
4.在竖直上抛运动位移公式S=υ0t+
gt2中,已经考虑了矢量关系.因为我们是在一般的匀变速直线运动的位移公式S=υ0t-
at2中以向上的υ0为正,而将向下的重力加速度以“-g”代入a处,g前负号就体现了矢量关系,所以式中的S也应是位移矢量,而不同于路程标量.位移和路程的数值并不是永远相等的(只有物体作方向不变的直线运动时位移和路程的数值才相等),在本题中,小铁球在3秒内运动的位移和路程就不相等!
解题过程:
解法一──“分段法”
设:
小铁球上升时间为t上,自由落下的时间为t下;上升的最大高度为h上,自由下落的距离为S下;经3秒钟小铁球距地面的高度为h.
则:
据前面导出的各“竖直上抛运动”的公式可以写出以下关系式
t上=
=
=2(s)
h上=
=
=20(m)
t下=3s-2s=1s
S下=
gt下2=
×10×12=5(m)
∴h=h上-S下=20m-5m=15m
答:
经3秒钟小铁球距地面的高度为15米.
解法二──“位移法”
将υ0、t、g的值直接代入“竖直上抛运动”的位移矢量式中可以解出:
S=υ0t-
gt2
=20×3-
×10×32
=60-45=15(m)
答:
经3秒钟小球距地面的高度为15米.
解后思考:
在3秒钟内小铁球通过的路程是多少?
(提示:
25米)
例题4.有一物体自44.1米高空从静止开始竖直匀加速落下,经4秒钟到达地面,求:
此物体到达地面时的即时速度υ4=?
启发性问题:
1.此物体的运动是“自由落体运动”吗?
2.此物体运动过程中的加速度是重力加速度吗?
如果不是应如何计算?
3.如果此物体在下落过程中受到重力以外恒定阻力的作用,你能求出此阻力的大小吗?
在求解时是否还需增加已知量?
分析与说明:
1.我们可以运用自由落体运动的位移公式先算一算自44.1米高空下落到地面所需的时间:
S=
gt2
t=
=3(s)
由此可知:
如果此物体作“自由落体运动”,只需要3秒钟就可到达地面.但是题目中的已知条件告诉我们需要4秒钟才能落到地面,可见此物体不作自由落体运动.
2.既然此物体不作自由落体运动,它在运动过程中的加速度也不是重力加速度.
计算加速度的方法有两种──动力学方法用åF=ma求a;运动学方法用S=
at2或者υt=at求a.在本题中既不知质量m也不知阻力f,所以不能采用动力学方法.在本题中中末速度是未知欲求的,所以也不可能用υt=at求解.因此只能用S=
at2求a了.
3.当我们求出物体运动的加速度a以后,可以根椐牛顿第二定律求出阻力f:
mg-f=ma
f=mg-ma
但是可以看出:
欲求阻力还需要增加一个已知量──此物体的质量m.
求解过程:
此物体虽然不是“自由落体运动”,但仍是初速为零的匀加速直线运动,可用下式解题:
S=
at2
a=
=5.51(m/s2)
然后再根据υt=at可求出υ4:
υ4=at=5.51×4=22.04(m/s)
答:
取三位有效数字,此物体到达地面时的即时速度为22.0米/秒.
【思维体操】
例题5.在同一地点以相同的初速度υ0=49m/s先后竖直向上抛出两个石子,第二个石子比第一个石子晚抛出2秒,问:
第一个石子抛出后,经几秒钟两个石子在空中相遇?
(石子所受的空气阻力和空气浮力可忽略不计)
“准备活动”(解题所需的知识与技能)
这是一个二体对遇问题,首先需要分析两个石子的运动状态,然后再找出两个石子间的相互联系,才能顺利求解.
第一个石子竖直减速向上运动到最大高度,然后以自由落体状态下落;第二个石子尚未达到最大高度,在上升过程中就与返回的第一个石子相遇了.(第一个石子的运动虽然可分为上升和下落两个阶段,但我们可采用例题3中的“位移法”求解,就不必分段计算了.)
两个石子在空间相遇时距地面的高度h是相等的;它们运动的时间也是有关系的,如果设第一个石子运动的时间为t,则第二个石子运动的时间就应是(t-2)了.通过h和t就可把两个石子的关系式结合成联立方程,也就可以解出答案了.
“体操表演”(解题的过程)
设第一个石子运动的时间为t,则第二个石子运动的时间为(t-2);两个石子在空中相遇时的高度为h.
根据匀速直线运动的位移公式可写出下列二式:
h=υ0t-
gt2①
h=υ0(t-2)-
g(t-2)2②
①、②两式的右端相等.
υ0t-
gt2=υ0(t-2)-
g(t-2)2
υ0t-
gt2=υ0t-2υ0-
gt2+2gt-2g
化简整理后可得:
t=
=6(s)
答:
经6秒钟两石子在空中相遇.
“整理运动”(解题后的思考)
通过本题的解答可以看出:
“掌握物理规律”和“运用数学方法”是解答物理难题两个重要方面.
三、智能显示
【心中有数】
1.自由落体运动是初速度为零、加速度等于g的匀加速直线运动,其基本表达式为:
υt=gt
h=
gt2
υ2t=2gh
由上述关系式导出:
(1)物体在1秒末、2秒末、3秒末……的速度之比为
υ1:
υ2:
υ3:
……=1:
2:
3:
……
(2)物体在1秒内、2秒内、3秒内……的位移之比为
h1:
h2:
h3:
……=1:
4:
9:
……
(3)物体在第1秒内、第2秒内、第3秒内……的位移之比为
S1:
S2:
S3……=1:
3:
5……
2.竖直上抛运动的特点是:
上升阶段,物体做匀减速直线运动;下降阶段,物体做自由落体运动.基本表达式为:
υt=υ0-gt
h=υ0t-
gt2
υ2t=υ20-2gh
由上述最高点的瞬时速度υt=0,加速度仍为g,从抛出点最大高度的时间和上升高度为
t=υ0/g
hm=υ20/2g
(2)从抛出点到落回抛出点的时间和落回抛出点的瞬时速度为
t′=2υ0/g
υt=-υ0
【动脑动手】
(一)、选择题
1.物体从5m高处自由落下,被水平地板弹回后在2m高处被接住.则物体在上述运动过程中的路程和位移依次是:
A.7m,7mB.5m,2m
C.3m,3mD.7m,3m
2.对于自由落体运动,下列说法中正确的是
A.由静止开始下落的运动叫做自由落体运动
B.位移的大小在数值上与路程相等
C.在任意一段时间内,公式
都适用
D.在任意一段路程内,公式S=
gt2都适用
3.关于速度和加速度的关系,下列说法中正确的是
A.物体运动的速度越大,它的加速度也越大
B.物体速度的改变量越大,它的加速度也越大
C.物体速度改变得越快,它的加速度就越大
D.若运动物体在某一时刻速度等于零,它在这一时刻的加速度也一定等于零
4.甲物体的质量是乙物体质量的2倍,甲从H高处自由落下,乙从2H高处同时自由落下.下列说法中正确的是
A.下落过程中,甲的加速度比乙的加速度大
B.下落1s末,它们的速度相等
C.下落1m时,它们的速度相等
D.落地时,甲的速度是乙的速度的
倍
5.一石块从楼房阳台边缘处做自由落体运动,到达地面.把它在空中运动的时间分成相等的三段,如果它在第一段时间内的位移是1.2m,那么它在第三段时间内的位移是
A.1.2mB.3.6m
C.6.0mD.10.8m
6.物体从距地面某高处开始做自由落体运动,若下落前一半路程所用时间为t,则物体下落全程所用的时间为
A.
tB.4t
C.2tD.2
t
7.自由下落的物体,自起点开始依次下落相等高度所经历的时间之比是
A.1:
2B.
:
2
C.1:
4D.(
+1):
1
8.物体由屋顶自由下落,经过最后2.0m所用时间是0.20s,则屋顶高度约为
A.6.1mB.7.2m
C.7.4mD.7.5m
9.观察者发现,每隔一定时间有一滴水从8m高的屋檐落下,当看到第五滴水刚要离开屋檐时,第一滴水正好落到地面,这时第二滴水离地的高度是
A.2.0mB.2.5m
C.3.0mD.3.5m
10.物体做竖直上抛运动,不计空气阻力.下列说法中正确的是
A.可以看作一个竖直向上的匀速直线运动和一个自由落体运动的合运动
B.物体在上升过程中,速度减小,加速度不变
C.物体到达最高点时,速度和加速度都为零
D.从抛出点到最高点的时间等于从最高点落回抛出点的时间
11.将物体以20m/s的初速度竖直上抛,当速度大小变为10m/s时所经历的时间可以是(g取10m/s2)
A.1sB.2s
C.3sD.4s
12.某人在高层楼的阳台外侧以20m/s的速度竖直向上抛出一个石块,石块运动到离抛出点15m处所经历的时间可以是(g取10m/s2)
A.1sB.2s
C.3sD.(2+
)s
13.将一物体竖直上抛,在图2—3中能正确表示其速率υ随时间t变化关系的图线是υυυυ
0t0t0t0t
ABCD图2—3
14.某人在静止的湖面上竖直上抛一石块,石块上升到最高点后自由下落,经过湖水并陷入湖底的淤泥中一段深度.不计空气阻力,取向上为正方向,在图2—4图象中,最能正确表示石块运动过程的速度──时间图线是
υυυυ
0t0t0t0t
ABCD
图2—4
15.一个从地面竖直上抛的物体,两次经过一个较低点A的时间间隔是TA,两次经过一个较高点B的时间间隔为TB,则A、B之间的距离是
A.g(T2A-T2B)/8B.g(T2A-T2B)/6
C.g(T2A-T2B)/4D.g(T2A-T2B)/2
16.从地面竖直上抛一物体A,同时在离地面某一高度处有另一物体B自由落下,两物体在空中同时到达同一高度h时速率为υ,则下列说法中正确的是
A.物体A竖直上抛的初速度和物体B落地时速度的大小相等,都是2υ
B.物体A、B在空中运动的时间相等
C.物体A能上升的最大高度和物体B开始下落时的高度相同
D.高度h一定是物体B开始下落时高度的一半
(二)、填空题
17.一物体从高处A点自由下落,经B点到C点,已知通过B点的速度是通过C点速度的3/4,BC间的距离是7m,g=10m/s2.则AC间的距离是m.
18.物体自由下落,将它下落的一段位移分为相等的三段,物体通过这三段的时间之比是;若将下落这段位移所需时间分为三等份,物体通过这相应三段的位移之比是.
19.自由下落的物体,最后5s内的位移恰好是前一段时间位移的3倍.则物体是从
m处开始下落的,下落全程所用时间是s,落地时的速率是m/s.(g取10m/s2)
20.以速度υ0竖直上抛A物体,ts后再从原地以速度υ0竖直上抛B物体.要使两物体在抛出点上方相遇,则时间t必须小于,相遇处离抛出点的高度h=.
(三)、计算题
21.水滴由屋檐自由下落,当它通过屋檐下高为1.4m的窗户时,历时0.2s.不计空气阻力,g取10m/s2.求窗台距屋檐的高度为多少?
22.将物体以初速度υ0竖直上抛,不计空气阻力,在到达最高点前0.5s内通过的路程是多少?
(g=10m/s2)
23.绳子的一端悬挂在天花板上,另一端自由下垂,某时刻绳子从悬点处脱落而自由下落.若整条绳子经过悬点正下方4m处一点的时间是
/5s,求绳子的长度.
24.一气球从地面由静止开始以2m/s2的加速度沿竖直方向匀加速上升,10s后从气球上掉下一物体,求再经过多少时间物体落回地面?
(g取10m/s2)
25.一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起,举双臂直体离开台面,此时其重心位于从手到脚全长的中点,跃起后重心升高0.45m达到最高点,落水时身体竖直,手先入水,在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计.从离开跳台到手触水面,他可用于完成空中动作的时间是多少?
(g取10m/s2,计算时可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点)
26.从离地面高度为H处物体甲自由下落,同时在它正下方的地面上物体乙以初速度υ0竖直上抛,不计空气阻力,两物体均看作质点.
(1)若要物体乙在上升过程与物体甲相遇,则物体竖直上抛的初速度υ0应该满足什么条件?
(2)若要物体乙在下落过程与物体甲相遇,则物体乙的初速度υ0应该满足什么条件?
【创新园地】
27.从某一高处先后落下两个钢球,两球用长度为34.3m的细绳相连,第一个球落下1s后,第二个球开始降落.若不计空气阻力,g=9.8m/s2.求第二个球落下后多长时间细绳刚好被拉直?
28.以初速度2υ0由地面竖直上抛物体A,在同一地点以初速度υ0竖直上抛另一物体B.要使两物体在空中相遇,求两物体抛出的时间间隔必须是什么条件?
第二章智能显示参考答案
第一单元
(一)、选择题
1.D2.B,C3.C4.B,C5.C6.A7.D
8.A9.D10.A,B,D11.A,C12.A,C,D13.B14C
15.A16.A,C
(二)、填空题
17.16m18.1:
(
-1):
(
-
),1:
3:
5
19.500m,10s,100m/s20.2υ0/g,(4υ20-g2t2)/8g
(三)、计算题
21.设窗台距屋檐的高度为h,水滴从屋檐运动到窗台的时间为t,根据自由落体公式h=
gt2
h-1.4=
g(t-0.2)2
解得:
t=0.8s,h=3.2m
22.物体在到达最高点前0.5s通过的距离与它从最高点自由下落0.5s内的距离相等,由h=
gt2,解得h=1.25m
23.设绳子长度为l,根据题意列出下列方程
4-l=
gt12
4=
gt22
t2-t1=
/5
由上述三式解得:
l=3m
24.设竖直向上为正方向,以气球为研究对象,在10s内气球上升的高度和10s末的速度分别为
h=
at12=100m
υt=at=20m/s
当物体脱离气球时,具有向上的初速度υ0=20m/s,做竖直上抛运动,到落地时位移S=-100m,由
S=υ0t2-
gt22
解得:
t2=2(1+
)s=6.9s
25.把运动员看作质量集中在重心的一个质点.设竖直向上为正方向从平台跃起时速度为υ0,从平台运动到最高点
υ2t=υ20-2gh
到达最高点时速度υt=0,解得初速度为υ0=3m/s
运动员从平台跃起到触水的过程中,位移S=-10m,时间为t
S=υ0t2-
gt2
-10=3t-
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