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中国古代数学文化

　　在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中一朵绚丽的奇葩。

其中，尤以数学中的神秘数字以及与文学作品的美妙联系最为生动。

下面撷取数学文化大观园中的几朵小花，与各位读者共赏。

　　神秘数字及其排列与所表达的宇宙图式

　　自人类产生以来，随着人对宇宙万物感知能力的提高，人的认识活动就开始集中在描绘一幅可以解释万物生成与宇宙变化的世界图像上。

自然界万物的衍生、演化与消逝唤起了古人最初的想象力、感悟力和理解力。

在中国古代重复更迭、纷然杂陈、丰富多变、神秘莫测和千奇百怪的原始印象与构图中，数学文化是最早发展起来的表现形式之一。

数字很早就成为古人阐释其神秘世界图像的基本工具。

在古人眼里，某个数字并不仅仅是这个数字本身抽象实在的数学意义（即表示数目和比较大小或多少），而是这个数字蕴含的神秘意义。

在古人看来，一个数字，尤其是一些特殊的数字，是能够穷理究微、探索宇宙本原、洞悉万物变化的神奇符号。

它具有一种不可捉摸、难以控制的神秘力量。

　　在中国古代自然主义思想的代表作《大戴礼记》中，数字及各类数字的联系被用来刻画生物物种的数量和生物出生的时间。

在《山海经》中，天地与万物的大小和距离都给出了十分具体的数字。

在《淮南子?

坠形训》中，人与动物的妊娠时间与数字的变化被穿凿在一起:

“天一、地二、人三，三三而九，九九八十一;一主日，日数十，日主人，人故十月而生;三九二十七，七主星，星主虎，虎故七月而生。

”在国家管理方面，数术更有其神圣的地位。

孔子在追述尧舜禹禅让的故事时，提到他们对继位者所说的一句话“天之历数在尔躬”，清楚地表明谁掌握了天地运行数，谁就能治理好国家。

在自然哲学思想方面，老子的“道生一，一生二，二生三，三生万物”是最典型的道――数――物三重先后次序分明的自然图式。

　　数字及其符号的组合变化被淋漓尽致地运用于中国古代最重要和最具代表意义的著作《周易》当中。

其中卦辞和艾辞的复杂变化都是通过数字有规律的排列变化实现的。

以阴阳两种符号组成八卦，分别代表地、山、水、风、雷、火、泽、天八种自然物及其位置结构。

再由八卦两两相行，衍生出六十四卦，再从六十四卦的组合中推出三百八十四交，用于表示世间万物的数目。

这种庞大有序的符号图式构成了中国古代对宇宙与人进行解说的系统化与数字化的占卜体系。

《周易》中蕴含着宝贵的“取象运数”的思想方法，其主旨是在广泛收集自然现象的基础上，运用数字及其变化来进行计算和推测。

这是人类把朴素唯物论的观察方法与饱含主观想象色彩的数字方法相结合的最初尝试。

《周易》思想体系一个鲜明的特征就是把事物的变化限定在能够把握的数字的所有可能的组合之中，利用数字间的内在规律对事物的运行进行规范和预测。

　　《周易》问世之后，其数字化刻画世界图像的思想被不断地阐发，并经历了复杂的演化。

汉代学者所著《乾凿度》就以《周易》为蓝本对数字化的天地构成及其演化进行了新的勾勒。

到了五代末年和北宋初年，随着陈传用象数学解说《周易》，象数学逐渐兴起并成为某些理学家借以表述自己观点的主要形式。

其中代表人物之一就是撰写《皇极经世书》的邵雍。

在这部书中，邵雍把其思想体系建立在象数学理论与方法基础上，力图构造一个包括宇宙、自然、社会、人生在内的完整而又庞杂的体系。

其中，道生数、数生万物的老子自然哲学思想被进一步发挥:

“道生一，一为太极;一生二，二为两仪;二生四，四为四象;四生八，八为八卦;八生六十四，六十四具而后天地之数备焉。

”

　　在中国古代宇宙生成图像和人类起源图像的刻画中，神秘的数字符号“河图”与“洛书”占据着极其重要的位置。

在神话传说中，大禹治水时制“九畴”和伏羲画“八卦”都受到过“河图”、“洛书”的启发。

在《易传?

系辞上》有“河出图，洛出书，圣人则之”的说法。

《论语》、《墨子》、《庄子》、《大戴礼记》中都提到过“河图”、“洛书”。

何谓“河图”、“洛书”，史学界尚有争议。

据李约瑟考证，《庄子》是最先把数与图联系起来，提出“洛书”的九个数的。

　　据著名数学史家钱宝琮考证，东汉末郑玄在对《乾凿度》中的“太一取其数以行九宫，四正四维皆合于十五”这一说法的注解中提出“九宫数”，并在对《易传?

系辞上》中“天数五、地数五，五位相得而各有合”这一说法的注解中提出了“天地生成之数”，并各有数图相配，称为九宫数图和天地生成数图。

　　北宋时，理学家开始用天地生成数图和九宫数图来解释“河图”与“洛书”。

朱熹在《周易本义》中，把“河图”、“洛书”标于卷首，对应于天地生成数和九宫数，连同伏羲八卦次序图和伏羲六十四卦次序图一起，河洛起源说由此被发展为象数学。

李约瑟也把九宫数与天地生成数对应于洛书与河图。

　　但钱宝琮认为“河图”、“洛书”并不是天地生成数与九宫数。

关于“河洛”的不同说法，更增加了其神秘色彩。

不管史实如何，“河洛”、“八卦”、“九畴”等都是带有强烈神话色彩的数学符号，它们都是以某种巫术的象征性来表达其对世界的看法与认识的。

这些数学符号是中国古代符号数字学的原始形态。

比起语言神话、图腾和艺术等形式来说，这些具有初步抽象化的象数符号是一种较高级的巫术话语。

　　在神秘文化的语境中，数的含义明显地超越并偏离了科学意义上的数概念，它是浸透着丰富的巫术精神的一套信息符号系统。

虽然有些理学家，如朱熹的弟子蔡沉认为数与物可以联系起来，数规定着万物的起始与终结，但数不是纯粹意义上的科学的数，而是笼罩在河洛、八卦等经典神话下的神秘数。

　　“河洛”、“八卦”、“九畴”等神秘数理符号及其衍生形式对中国古代数学的发展与认识论的定位有相当深刻的影响。

从狭义的角度看，这些神秘的数理符号直接导致了中国古代数学家在两千五百年前就开始了对幻方的研究，并在相当长的历史时期内使中国在组合数学领域位居世界前列。

杨辉、丁易东、程大位、张潮等数学家都曾在这一领域有不同程度的贡献。

从广义角度看，“河洛”等数理符号对不同时期的数学思想都有很深的影响。

被誉为中国传统数学理论体系奠基人的刘徽，在其名著《九章算术注》原序中清楚地表明了数的产生与八卦的神秘渊源:

“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六交之变。

暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。

记称隶首作数，其详未之闻也。

按周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。

”刘徽的上述数学思想几乎完全沿袭了《易传》中有关数理的论点。

宋代数学家秦九韶在其《数书九章》自序中表达了其数学思想的来源与数学的作用:

“爱自河图、洛书?

]发秘奥，八卦、九畴错综精微，极而至于大衍、皇极之用，而人事之变无不该，鬼神之情莫能隐矣。

”秦九韶把大衍法同奇偶相生思想和《周易》思想有意揉合在一起。

“大衍求一术”这一有关卜筮的例题被秦九韶放在全书之首，清楚地表明其浓重的数学神秘主义思想。

　　程大位是明代杰出的数学家，著有《算法统宗》（1593年）。

程大位生活的年代属中国古代数学史的末期。

在接下来的17世纪，随着耶稣会传教士来到中国，西方数学开始传入。

所以，程大位的数学思想是中国古代数学末期的代表。

程大位在《算法统宗》卷首画有龙马负图、河图图和洛书图。

在河图图和洛书图下，程大位分别解释了河图对伏羲画八卦及洛书对大禹治水制九畴的作用。

在《算法统宗?

总说》中，程大位再次肯定了数的神秘来源:

“数何肇？

其肇自图书乎？

伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物。

”可见，即使到了明代，数学观念与认识论始终停留在远古神话的神秘幽谷之中，未有任何突破。

综观整个中国古代数学史，“河洛说”与“八卦九畴”在数学家心目中一直占有神圣至尊的主导地位，的确值得深思。

　　神秘数字的现代形式在当代中国仍有很大的市场，如幸运数字和不吉利数字等，表现在车牌号、电话号码等一系列载体中，这里不赘述。

　　古代与数字有关的诗歌欣赏

　　与数字神秘主义的形而上色彩以及附带的沉重感相比，在中国古代，数字与文学的联姻则要轻松欢快许多。

由于数字与古人的现实生活和精神生活密切相关，因此中国古典诗词里面，有不少是数字题材的内容。

以下举些例子加以欣赏。

　　1.宋代女诗人朱淑贞的《断肠谜》，用猜谜的形式得出数字：

　　下楼来，金钱卜落；问苍天，人在何方；恨王孙，一直去了；詈冤家，言去难留；悔当初，吾错失口；有上交，无下交；皂白何须问；分开不用刀；从今莫把仇人靠；千里相思一撇消。

　　这首诗每一句都是一个字谜，连起来就是一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。

虽然个别谜面略显艰涩，但是，其斟字酌句的技巧和良苦用心还是跃然纸上。

把谜面与谜底两相对比，让人恍然大悟之后有会心的一笑。

　　2.相传汉代司马相如官拜中郎将后，萌生休妻之意，就给妻子卓文君写了一封数字信：

“一二三四五六七八九十百千万。

”聪明的卓文君一眼便知，丈夫已无意于她（因为万之后没有“亿”字）。

悲愤的才女为表达自己的九曲回肠之意，按照上述数字写了下面的集规劝、正义与情意于一体的数字诗：

　　一别之后，二地悬念，只说是三四月，又谁知五六年，七弦琴无心弹，八行书不可传，九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千系念，万般无奈把君怨。

万语千言说不完，百无聊赖十倚栏，重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香，秉烛问苍天，六伏天人人摇扇我心寒，五月石榴如火，偏遇阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱。

忽匆匆，三月桃花随水转。

飘零零，二月风筝线儿断，噫！

郎呀郎，巴不得下世你为女来我为男！

　　传说司马相如接到书信后，感到十分羞愧，被这位才华横溢、多情多义的夫人的才气和情意所深深折服和打动。

遂回心转意，以高车驷马亲自返乡迎接卓文君入京，圆了白头到老的神话。

卓文君凭自己的才学挽救婚姻，不失为传世的佳话。

　　3.清人王士祯的《题秋江独钓图》，是有名的数字诗：

　　一蓑一笠一扁舟，一丈丝纶一寸钩；

　　一曲高歌一樽酒，一人独钓一江秋。

　　青岛崂山钓鱼台有一首奇特的数字诗：

　　一蓑一笠一髯翁，一丈长杆一寸钩；

　　一山一水一明月，一人独钓一海秋。

　　上述两首数字诗文字与诗意皆有共同之处，可见有相互借鉴之处。

而其数字特点是，全部用一作为数字连接词，很有意蕴。

　　4.宋朝理学家邵雍把一到十连接起来的《蒙学诗》：

　　一去二三里，烟村四五家，楼台六七座，八九十枝花。

　　四句诗把一到十全部串了起来，读起来朗朗上口，易记易懂，是儿歌与数学联袂的精品。

　　5.相传明朝时，有个穷秀才颇有才学。

但因当时科举场上徇私舞弊之风盛行，他屡试不中。

过了一年，又到开科考试了，他听说主考官廉洁奉公，任人唯贤，于是打点行装，赴京城再次应举。

路途遥远，秀才虽然日夜兼程，可当他到达京城时，考试已经结束。

秀才好说歹说，终于感动了主考大人，准他补考。

主考官出的题目，是要求他用一至十这十个数字作一联。

秀才听后，暗想，我就把自己一路颠簸和误考的原因说一说，以求得主考大人的谅解，便脱口说道：

　　“一叶孤舟，坐了二三个骚客，启用四桨五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。

”

　　主考官暗暗称奇：

“此生才学，确实不浅！

”接着，他又要求秀才从十至一作一联。

秀才想把这些年自己读书、应考的苦衷表一表，便朗声说：

　　“十年寒窗，进了九八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次，今天一定要中。

”

　　主考官听罢，连连称妙，又出联求对，秀才皆能对答如流。

这一年的状元，就这样被这位穷秀才夺走了。

　　6.回文诗：

汉字的特点决定了中国回文诗的对仗工整和字句优美，以下举两例。

　　杨脯的回文诗：

明代著名的白族学者、诗人、民画家杨脯写有一首别具一体的回文诗，体现了数学中的对称性。

　　东西隔岸两林花，观尝同游胜景佳。

　　红蓼跃鱼金漾水，白苹宿柳玉堆山。

　　松边玉锁深云洞，柳外云横暮日斜。

　　钟扣每闻山寺远，峰高接汉耸飞霞。

　　此诗按白族音韵，用韵台律。

倒转来读，属东韵，更为工整。

即:

　　霞飞耸汉接高峰，远寺山闻每扣钟。

　　斜日暮横云外柳，洞云深锁玉边松。

　　山堆玉柳宿苹白，水漾金鱼跃蓼红。

　　佳景胜游同尝观，花林两岸隔西东。

　　广东高州县观山寺壁上刻有一回文诗：

　　悠悠绿水傍林偎，日落观山四望回。

　　幽林古寺孤明月，冷井寒泉碧映台。

　　鸥飞满浦渔舟泛，鹤伴闲亭仙客来。

　　游径踏花烟上走，流溪远棹一篷开。

　　倒读诗如下：

　　开篷一棹远溪流，走上烟花踏径游。

　　来客仙亭闲伴鹤，泛舟渔浦满飞鸥。

　　台映碧泉寒井冷，月明孤寺古林幽。

　　回望四山观落日，偎林傍水绿悠悠。

　　7.对联中的数字：

中国的对联，堪称中国文化的一绝。

其中不少都与数字有关：

（1）上联：

乾八卦，坤八卦，八八六十四卦，卦卦乾坤已定。

　　下联：

鸾九声，凤九声，九九八十一声，声声鸾凤和鸣。

　　此联巧用了两组重要数字成对，上联呼出乾坤、八卦等古代文化要素，下联用鸾凤和最大数字九应对。

运用数字的乘法法则，隐喻天地人相互和谐的美好意境，但对其中的象数主义色彩要有一些鉴别力。

（2）有些对联与猜谜有关，如上联：

二三四五，下联：

六七八九。

横联需要猜谜的，即缺衣

（一）少食（十）。

其中的讥讽意味十足，作联者贫困中不失幽默，让人钦佩。

　　（3）相传乾隆游山玩水时即兴出一下联，下联是：

“八方桥，桥八方，站在八方桥上观八方，八方，八方，八八方。

”征上联，应对有难度，特别是要反复使用数字。

纪晓岚随口对出了：

“万岁爷，爷万岁，跪倒万岁爷前呼万岁，万岁，万岁，万万岁！

”真是拍马溜须到了叫绝的程度。

　　最后值得一提的是，传承中国古代的数学文化精华，在当代，与数字有关的诗歌也不少。

如有一副赞赏教师的长联，

　　上联是“一支粉笔两袖清风，三尺讲台四季晴雨，加上五脏六腑七嘴八舌九思十想，教必有方滴滴汗水诚滋桃李芳天下”；

　　下联是“十卷诗赋九章勾股，八索文思七纬地理，连同六艺五经四书三字两雅一心，诲而不倦点点心血勤育英才泽神州”。

　　此联上联升序从一到十，下联降序从十到一，各用十个数目字排列，用字和排列均十分讲究，堪称当代对联的极品，极其生动地刻画出了教师的蜡烛风范和春蚕精神。

　　1953年，中国科学考察团出国考察。

考察间隙，数学家华罗庚曾出上联：

“三强韩魏赵”，让同行的钱三强、张钰哲、赵九章、贝时璋等科学家对下联。

上联“三强”是指韩国、魏国、赵国，它们是春秋战国时期的三个强国，同时“三强”又暗指在座的科学家钱三强。

众人一时难以对出。

最后华罗庚自己对出了下联：

“九章勾股弦”。

“九章”既指我国古代最早提出勾股弦定理的数学名著《九章算术》，同时又暗指同行的赵九章。

其中明喻和暗喻并行的意味，读者不难体会。