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灾情巡视路线的数学模型

灾情巡视路线的数学模型

组号38

组员赵龙

付成志

林光明

灾情巡视路线的数学模型

摘要

本文通过利用图论中一个典型的多旅行商问题的知识，并建立了模型，来解决实际生活中为考察灾情，寻求最佳路线的问题。

对于问题一：

首先，我们利用Matlab软件中的图论软件包求出图G中任意两点间的最短路，得到六条干树①,②,③,④,⑤,⑥.然后根据一定准则进行分组，构成三个子图，通过二边逐次修正法得到最佳H圈，最终解得该设计各组巡视路程分别为191.1公里、195公里和183.6公里，总路程为566.7公里，均衡度为5.70％。

各组具体路线如下：

组号

路线

总路程

路线总长度

（4,5）

O-M-25-20-21-K-18-I-15-I-16-17-22-23-24-N-26-27-28-P-O

191.1

569.7

6

O-2-5-6-7-8-E-8-E-9-F-10-F-12-H-14-13-G-11-J-19-L-6-5-2-O

195

（1,2,3）

O-2-3-D-4-D-3-C-B-34-35-32-30-Q-29-R-31-33-36-O

183.6

对于问题二：

我们利用问题一中得到的各组路线总长度为566.7㎞，以及各乡（镇）停留时间，根据组数=总时间/24（小时），可以初步分为4组。

确定分组数目之后，根据新的分组准则，我们得到的最优方案：

完成整个巡视工作需要23.21小时，时间均衡度为7.50％，路程均衡度为18.27％。

具体分组如下：

组号

路径

总路程（公里）

行驶时间（小时）

停留时间（小时）

巡回总时间（小时）

Ⅰ

O-2-3-D-4-D-C-1-B-34-35-32-31-33-A-R-O

157.4

4.50

17

21.50

Ⅱ

O-P-26-N-23-22-17-16-17-22-23-24-27-28-30-Q-29-R-O

181.4

5.18

17

22.18

Ⅲ

O-M-25-21-K-17-16-I-18-I-15-14-13-J-19-20-25-M-O

182.3

5.21

18

23.21

Ⅳ

O-2-5-6-L-6-7-11-G-H-12-F-10-F-9-E-8-E-7-6-5-2-O

193.5

5.52

17

22.52

对于问题三：

在巡视人员足够多的情况下，寻求完成巡视任务的最短时间。

首先我们找到离O点最远的H点，往返一次用时6.43小时；经过分析，当把巡视路线分为24组时，最短时间为6.43小时，作为最佳巡视方案。

（具体分组见表5）

对于问题四：

在借助问题一的基础上，我们分析得到要想不改变当T=2，t=1,v=35条件下的最佳巡视路线的情况下，必须满足以下条件：

1.69≤T≤2.31,0.69≤t≤1.69（单位：

小时）

关键词：

旅行商问题均衡度二边逐次修正法H圈

1.

问题重述

今年夏天该县遭受水灾。

为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。

巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。

（相关图见附录一）

本文需解决的问题有：

问题一：

若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。

问题二：

假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。

要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

问题三：

在上述关于T,t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。

问题四：

若巡视组数已定（如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。

2.模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

假设1：

每组从县政府同时出发，且行驶速度相同；

假设2：

行驶过程中汽车不会出现堵车、没油等现象，路况理想，并以匀速行驶；

假设3：

每组行驶的路线不固定，一组巡视完成后可以帮助另外一组；

假设4：

每组在整个巡视过程中，不考虑环境因素的影响；

2.2符号说明

G=（V、E）为已知给定图

G’=（V、E’）为以V为顶点集的完全图

V代表点集

E代表边集

x和y代表边上的顶点

为

的权i=1,2,3

代表两点之间的最短路程

为分组的实际路程均衡度

3.问题分析

此题研究的是某受灾县如何找出最佳巡视路线的数学建模问题，题中已给出该县公路网络图，要求在不同的已知条件下，求出灾情巡视的最佳方案。

我们进一步将问题转化，公路图中的每个村、乡（镇）以及县镇府所在地都看作图中的顶点，各个村、乡（镇）以及县镇府所在地之间的公路看作图的两个顶点之间的边，每条公路的长度看作边的权值，这样就成功的将公路图转化为了加权网络图，问题也就转化为了图论中一类旅行商问题（TSP），即寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。

针对题中巡视过程中不同路线同时进行，延伸为图论中的多旅行商问题（MTSP）。

为了讨论方便，我们把经过图G的每个顶点正好一的圈，称为哈密顿圈简称H圈；

把经过每个顶点至少一次且权最小的闭通路称为最佳旅行商回路。

本问题是一个寻求最佳旅行商回路得问题，可转化为最佳H圈的问题。

方法是由给定的图G=（V、E）构造一个以V为顶点集的完全图G’=（V、E’），E’中每条边（x,y）的权等于顶点x与y在图G中最短路径的权，即

我们采用一种近似算法求出该问题的一个近似最优解，来代替最优解，算法如下：

步骤一;用图论软件包求出G中任意两个顶点间的最短路，构造完全图

步骤二：

输入图G’的一个初始H圈；

步骤三：

随机搜索出G’中若干个H圈，例如2000个；

步骤四：

对第2、3步所得的每个H圈，用二边逐次修正法[3]进行优化，得到近似最佳H圈；

步骤五：

在第三步求出的所有H圈中，找到权最小的一个，此即要找的最佳H圈的近似解。

5．问题一的解答

4.1模型一的建立

均衡度分析

我们把

称为该分组的实际路程均衡度。

a为最大

容许均衡度。

显然0≤

≤1，

越小，说明分组的均衡度越好。

确定一个a后，

与a满足条件（3）的分组是一个均衡分组。

条件（4）表示总巡视路程最短。

各乡村到县城的最短路劲图

从O点出发去其他点，要使路程较小应尽量走O点到该点的最短路。

故用利用Maltab软件中图论软件包编程求出O点到其余顶点的最短路（相关程序见附录二），这些最短路构成一棵以O点为树根的树，将从O点出发的树枝称为干树，见图1，从图中可以看出，从O点出发到其他点共有①,②,③,④,⑤,⑥.

图1O点到任意点的最短路线图

本文是分三组巡视，找出最佳巡视路线的数学模型问题。

要求在最短与均衡路线之间找到统一点，成为最佳方案。

即在图1中划分三个子图，在各图中找到最佳的路径。

根据实际工作经验即上述分析，在分组时应从以下准则：

准则一:

尽量使同一干树及其分枝上的点分在同一组；

准则二:

应将相邻的干支上点分在同一组；

准则三：

尽量将长的干枝与短的干枝分在同一组。

由上述分组准则，我们找到两种分组形式如下：

方案一：

（②,③，（④,⑤），（⑥,①）；

方案二：

（①,②），（③,④），（⑤,⑥）；

显然分组二的方法极不均衡，故考虑分组一。

对方案一中每组顶点的生成子图，用上述算法求出近似最优解及相应的巡视路线。

使用上述算法时，在每个子图所构造的完全图（见附录三）中，取一个尽量包含图1中树上的边的H圈作为其第2步输入的初始圈。

4.2综上所述得到问题一的模型

最短路程：

均衡度min

i=1,2,3,j=1,2,3

4.3模型一的求解

对方案一

通过耳边逐次修正法利用Matlab软件编程（相关程序见附录四）可得到以下各组路线图及总路程，如下表

表一

组号

路线

总路程

乡村的划分

路线总长度

Ⅰ（4,5）

O-M-25-20-21-K-18-I-15-I-16-17-22-23-24-N-26-27-28-P-O

191.1

5乡

13村

539.0

Ⅱ（6,1）

O-2-5-6-7-L-19-J-11-G-13-14-H-12-F-10-F-9-E-8-4-D-3-C-O

234.1

8乡

14村

Ⅲ（2,3）

O-1-B-34-35-32-30-Q-29-R-31-33-A-1-O

114.8

4乡

8村

该方案一的均衡度为

=

.75％

通过对以上结果的观察，我们发现按照方案一（②,③，（④,⑤），（⑥,①）的方式分组，得到的均衡度

高达50.75％，通过对表一进一步分析，Ⅱ组中乡（村）比Ⅲ多近一倍，故使总路程大较多，因此，将与Ⅲ组靠近的2,3，D,C分到Ⅲ中，重新组为方案三。

通过耳边逐次修正法利用Matlab软件编程（相关程序见附录四）可得到以下各组路线图及总路程，如下表二：

（单位：

㎞）

表二

组号

路线

总路程

乡村的划分

路线总长度

（4,5）

O-M-25-20-21-K-18-I-15-I-16-17-22-23-24-N-26-27-28-P-O

191.1

5乡

13村

569.7

6

O-2-5-6-7-8-E-8-E-9-F-10-F-12-H-14-13-G-11-J-19-L-6-5-2-O

195

6乡

11村

（1,2,3）

O-2-3-D-4-D-3-C-B-34-35-32-30-Q-29-R-31-33-36-O

183.6

6乡

11村

方案三具体路径如图二

图2改进后分组各族巡视路线

改进后的均衡度

=

％

4.4模型一的分析

从模型一得到结果（方案三）可看出，路程均衡度为

=5.7%＜10%，在允许的范围内，并且每一组所需要考察的乡（村）几乎相等，即每个组掌握各乡（村）情况较为均衡，符合实际生活中分派任务的情况，因此，方案三是非常合理的。

5问题二的解答

5.1问题二的分析与解答

由问题一我们得到了巡视路线改进后的各组路线总长度为566.7㎞。

已知巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时，且要求在24小时内完成巡视。

根据以上数据，我们初步估算分组情况如下：

组数=总时间/24（小时），而总时间=汽车行驶时间+各乡（镇）、村停留总时间。

即应分组数n

≈4.

Tj每一组的巡回总时间，Sj每一组巡回总路程,j=1,2,3,4

则可得到模型：

j=1,2,3,4

Tj=T*N1+N2+

＜24j=1,2,3,4

确定分组数目之后，再根据上述得到的图1中O到任意点的最短路线①,②,③,④,⑤,⑥.根据实际工作经验及上述分析，在分组时遵循以下准则准则；

准则一:

应确保每组在各乡（镇）、村停留时间大致相等；

准则二：

相邻且较短路线应划分到同一组；

根据以上准则可以得到两种方案：

（如表三、表四）

方案一：

表三

组号

路径

总路程（公里）

行驶时间（公里）

乡（村）停留时间（小时）

巡视总时间（小时）

Ⅰ

O-1-B-34-35-32-30-Q-29-R-31-33-A-1-O

123.9

3.53

16

19.53

Ⅱ

O-2-5-6-7-E-9-F-10-F-9-E-8-4-D-3-C-O

166.9

4.74

17

21.74

Ⅲ

O-M-25-21-20-L-19-J-13-14-H-12-G-11-E-7-6-5-2-O

167.2

4.77

18

22.77

Ⅳ

O-P-28-27-26-N-24-23-22-17-16-I-15—I-18-K-21-25-M-O

184.5

5.27

18

23.27

（注：

表中带底纹的字母与数字表示只经过不停留）

方案二：

表四

组号

路径

总路程（公里）

行驶时间（小时）

停留时间（小时）

巡回总时间（小时）

Ⅰ

O-2-3-D-4-D-C-1-B-34-35-32-31-33-A-R-O

157.4

4.50

17

21.50

Ⅱ

O-P-26-N-23-22-17-16-17-22-23-24-27-28-30-Q-29-R-O

181.4

5.18

17

22.18

Ⅲ

O-M-25-21-K-17-16-I-18-I-15-14-13-J-19-20-25-M-O

182.3

5.21

18

23.21

Ⅳ

O-2-5-6-L-6-7-11-G-H-12-F-10-F-9-E-8-E-7-6-5-2-O

193.5

5.52

17

22.52

（注：

表中带底纹的字母与数字表示只经过不停留）

5.2问题二的结果分析

5.2.1均衡度分析

根据上述准则，我们得到了两种方案：

在方案一中，每组在各乡（镇）、村停留的时间大致相等，通过分析，得出该方案的路程均衡度

a

32.57％,时间均衡度a

16.07％.

同理可以得出，在方案二中，该方案的路程均衡度

a

时间均衡度a

7.50％。

统计结果

如表3

表五

时间均衡度

路程均衡度

方案一

16.07％

32.57％

方案二

7.50％

18.60％

显然，方案二较方案一在时间均衡度和路程均衡度均要小，单从均衡度角度来分析，方案二优于方案一，因此，方案一应为首选。

5.2.2结果分析

通过方案一与方案二巡回总时间的比较，方案一最长用时为23.27小时，方案二最长用时为23.21小时，均在所要求的24小时以内。

但方案二较方案一用时较短，单从这方面分析，方案二较好。

综上所述，我们分别从均衡度和巡视总用时长两方面进行了分析，方案二均较方案一好，因此，我们选择方案二。

6问题三的解答

6.1问题三的分析

依然根据问题一中求得的六条分支①,②,③,④,⑤,⑥，在巡视人员足够多的情况下，我们只关心如何使总巡视时间最短。

首先，找到离O最远的点H,经过H点且只在H点停留往返一次所需时间为6.43小时。

然后，在尽可能少分组且保证每组巡视时间不超过6.43小时的情况下通过人分析，进而得出一种较优解答。

6.2模型三建立与求解

通过分析巡视时间不超过6.43小时，即其各乡（村）组合最长巡回时间小于6.43小时。

可根据此得到以下模型：

Ti’=

*n1+n2*ti表示A—R,1—35的点，n1停留在乡的个

数，n2停留在村的个数

Ti’≤6.43

通过MATLAB编程得到个顶点到O的最短距离Di，即可能往返的时间

根据最短路径树图即Ti’≤6.43搜索可得到以下表六结果：

表六

路径

停留点

巡回时间

与H差

1

O-2-5-6-7-E-9-F-12-H-12-F-9-E-7-6-5-2-O

H

6.43

0

2

O-2-5-6-7-E-9-F-12-F-9-E-7-6-5-2-O

12,9

5.85

0.58

3

O-2-5-6-7-E-9-F-10-F-9-E-7-6-5-2-O

10,9

6.23

0.2

4

O-2-5-6-7-E-9-F-9-E-7-6-5-2-O

F,7

6.15

0.27

5

O-2-5-6-7-E-11-G-11-E-7-6-5-2-O

G

5.58

0.85

6

O-2-5-6-7-E-11-E-7-6-5-2-O

11,E

6.19

0.24

7

O-2-5-6-L-19-J-13-14-13-J-19-L-6-5-2-O

14,13

6.19

0.24

8

O-2-5-6-L-19-J-19-L-6-5-2-O

J,19

6.1

0.33

9

O-2-5-6-L-6-5-2-O

L,6,5

6.23

0.2

10

O-2-3-C-O

2,C

3.92

2.51

11

O-2-3-D-4-D-3-2-O

4,D,3

5.99

0.44

12

O-1-A-33-A-1-37-1-O

33,1,B

5.59

0.84

13

O-1-A-34-35-34-A-1-O

35,34,A

6.06

0.37

14

O-R-31-32-31-R-O

32,31,R

5.73

0.7

15

O-R-29-Q-30-Q-29-R-O

30,Q,29

6.04

0.39

16

O-P-26-N-23-22-23-N-26-P-O

22,23,26

5.8

0.63

17

O-P-26-N-24-N-26-P-O

24,N

5.5

0.93

18

O-P-26-27-28-P-O

27,28

5.66

0.77

19

O-M-25-21-K-18-I-15-I-18-K-21-25-M-O

15,18

6

0.43

20

O-M-25-21-K-18-I-18-K-21-25-M-O

I

5.49

0.95

21

O-M-25-21-K-17-16-17-K-21-25-M-O

16,17

5.49

0.94

22

O-M-25-21-K-21-25-M-O

K,21

5.5

0.93

23

O-M-25-21-25-M-O

20,25,M

6.19

0.24

7问题四的解答

本文讨论的是T，t和V改变对最佳巡视路线的影响，题中组数已定，则可以将由问题一中得到的方案二作为讨论，我们了解到当T=2小时，t=1小时，V=35公里/小时的时候得到路线，如下表5

表七最佳巡视路线时的各组具体情况

组号

路线

总路程

巡回时间（小时）

（4,5）

O-M-25-20-21-K-18-I-15-I-16-17-22-23-24-N-26-27-28-P-O

190.1

28.5

5乡

13村

6

O-5-6-7-8-E-8-E-9-F-10-F-12-H-14-13-G-11-J-19-L-6-5-2-O

193

28.51

6乡

11村

（1,2,3）

O-2-3-D-4-D-3-C-B-34-35-32-30-Q-29-R-31-33-A-1-O

182.6

28.2

6乡

11村

按上述方法，同样我们得到此时的路程均衡度

，时间均衡度

为了方便讨论，我们不妨定义：

时间偏差=最长用时-最短用时，即此时时间偏差=28.51-28.2=0.31小时.题中要尽可能快的完成巡回，则采用单变量控制法分析。

假设每组巡回点个数不变时

V=35,t=1

T

1

1.5

2

2.5

3

Ⅰ

23.5

26

28.5

31

33.5

Ⅱ

22.51

25.51

28.51

31.51

34.51

Ⅲ

22.2

25.2

28.2

31.2

34.2

时间均衡度

5.5%

3.1%

1.1%

1.6%

3.2%

从上比表可分析出，随着T的变化时间均衡度也发生变化，只有当均衡度保持在1.1%以内才能保持点不变化，即最佳巡回路线不变，则不变时：

1.69≤T≤2.31。

同样方法分析t,得最佳巡回路线不变时，0.69≤t≤1.69。

8.模型的评价、改进及推广

8.1模型评价

优点：

模型操作性强，只要给出任意图G，及各边上的权值，就能够将一个复杂的图G分为若干个子图，大大的降低了解题的难度；

缺点：

考虑因素较为单一，模型中只考虑了路程与时间两种因素，忽略了现实生活中的很多重要指标，例如，人力资源，考察经费等。

缺失了这些信息，模型的实用性不强。

8.2模型改进

（1）在问题二中，要求巡视的总时间尽量最短，但求出来的结果往往不尽人意，每组完成的时间有时相距很大，我们可以让已经完成的那一组去帮助还未完成的那一组，从而可以缩短整体的巡视时间，达到近一步优化模型的目的。

（2）建模时可以考虑更多的因素，让模型实用性更强，比如说，如何让巡视过程中花费最小。

8.3模型推广

该问题为旅行商问题，可以应用的范围较广，只要是寻求最佳哈密顿圈，该模型均可以作为参考。

参考文献

[1]徐凤生，哈密顿图的判定算法，福建电脑，第2期23，2005；

[2]田贵超，黎明，韦雪洁.旅行商问题（TSP）的几种求解方法[J].计算机仿真，2006.8（8）：

153-157.

[3]杨秀文，陈振杰，李爱玲，田艳芳.利用矩阵翻转法求最佳H圈.后勤工程学院学报，第一期，2008

附录

附录一：

某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数

：

附录二：

输入两村（乡）之间的距离所构成的矩阵data，然后进行下面的操作

N1=sqrt（numel（data））;

num=N1*（N1-1）/2;

data1=zeros（num,3）;

k=1;

fori=1:

N1

forj=i+1:

N1

data1（k,1）=i;data1（k,2）=j;data1（k,3）=data（i,j）;k=k+1;

end

end

fori=N1:

-1:

1

forj=i-1:

-1:

1

data1（k,1）=i;data1（k,2）=j;data1（k,3）=data（i,j）;k=k+1;

end

end

fori=1:

52

[a,b]=grShortPath（data1,50,i）;//图论软件包里的函数（求完全图和最短路径）

b//县政府到所有村和乡的最佳路径

end

fori=1:

N1

a（i,i）=0;

end

a//完全图

附录三：

完全图：

1

2

3

4

…

50

51

52

53

1

0

14.2000

19.0000

39.9000

6.0000

16.1000

33.4000

18.3000

2

14.2000

0

4.8000

25.7000

8.2000

18.3000

36.2000

21.1000

3

19.0000

4.8000

0

20.9000

13.0000

23.1000

41.0000

25.9000

4

39.9000

25.7000

20.9000

0

33.9000

44.0000

61.9000

46.8000

5

22.5000

8.3000

13.1000

24.0000

16.5000

26.6000

44.5000

29.4000

6

32.2000

18.0000

22.8000

33.7000

26.2000

36.3000

54.2000

39.1000

7

39.5000

25.3000

23.3000

27.8000

33.5000

43.6000

61.5000

46.4000

8

54.7000

40.5000

38.5000

20.4000

48.7000

58.8000

76.7000