物理光学梁铨廷版习题答案.docx

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物理光学梁铨廷版习题答案

第一章光的电磁理

论

1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为

Ex=0，Ey=0，

Ez=

，（各量

均用国际单位），求电磁

波的频率、波长、周期和

初相位。

解：

由Ex=0，Ey=0，

Ez=

，则频率

υ===0.5×

1014Hz，周期T=1/υ

=2×10-14s，初相位φ0=+

π/2（z=0，t=0），振幅

A=100V/m，

波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。

1.2.一个平面电磁波可

以表示为Ex=0，

Ey=

，Ez=0，

求：

（1）该电磁波的振

幅，频率，波长和原点

的初相位是多少？

（2）

波的传播和电矢量的振

动取哪个方向？

（3）与

电场相联系的磁场B的

表达式如何写？

解：

（1）振幅A=2V/m，

频率υ=

Hz，波长λ

原点的初相位φ0=+π/2；

（2）传播沿z轴，振动

方向沿y轴；（3）由

B=，可得

By=Bz=0，Bx=

3）相速度v=0.65c，所

折射率n=

1.3.一个线偏振光在玻

璃中传播时可以表示为

Ey=0，Ez=0，

Ex=

，试求：

（1）光的频率；

（2）波

长；（3）玻璃的折射率。

解：

（1）υ===5

×1014Hz；

（2）λ

1.4写出：

（1）在yoz平

面内沿与y轴成θ角的

方

向传播的平面波的复振

幅；

（2）发散球面波和汇

聚球面波的复振幅。

解：

（1）由

，可得

2）同理：

发散球面波

，

汇聚球面波

1.5一平面简谐电磁波在

真空中沿正x方向传播。

。

其频率为Hz，电

场振幅为14.14V/m，如果，其中

该电磁波的振动面与xy

平面呈45o，试写出E，B

表达式。

解：

，其=。

=

中

=1.6一个沿k方向传播的

平面波表示为E=

=，试求

k方向的单位矢。

解：

1.9证明当入射角=45o

时，光波在任何两种介质

分界面上的反射都有

。

证明：

oo

oo

设空气和玻璃的折射率

分别为和，先由空气

入射到玻璃中则有

，再由

玻璃出射到空气中，有

流反射率

流透射率

1.10证明光束在布儒斯

特角下入射到平行平面

玻璃片的上表面时，下表

面的入射角也是布儒斯

特角。

证明：

由布儒斯特角定义，

θ+i=90o，

即得证。

1.11平行光以布儒斯特

角从空气中射到玻璃

上，求：

（1）能和；

（2）能和。

解：

由题意，得

，

又为布儒斯特角，则=①

②得，

1）0，

（2）由，可

得，

同理，=85.2。

1.12证明光波在布儒斯

特角下入射到两种介质

的分界面上时，，

其中。

证明：

，又根

据折射定律

，得

，

则，其中

，得证。

1.17利用复数表示式求

两个波

和

的合成。

为布儒斯特角，所

，

1.18两个振动方向相同。

的单色波在空间某一点1.20求如图所示的周期

产生的振动分别为性三角波的傅立叶分析

和表达式。

。

解：

由图可知，

若Hz，

V/m，8V/m，，

，，求

该点的合振动表达式。

解：

（m

为奇数）

所以

1.21试求如图所示的周

期性矩形波的傅立叶级

数的表达式。

解：

由图可知，

，所以

1.22利用复数形式的傅所以

里叶级数对如图所示的

周期性矩形波做傅里叶

分析。

解：

由图可知，

1.23氪同位素放电管

发出的红光波长为

605.7nm，波列长度约

为700mm，试求该光波的

波长宽度和频率宽度。

解：

由题意，得，波列长

度，

由公式

又由公式以频率宽度

解：

由时间相干性的附加

光程差公式

1.24某种激光的频宽

Hz，问这

种激光的波列长度是多

少？

解：

由相干长度

，所以波

列长度

第二章

光的干涉及其应用

2.1在与一平行光束垂直

的方向上插入一透明薄

片，其厚度

，折射率

，若光波波长为500nm，

试计算插入玻璃片前后

光束光程和相位的变化。

2.2在杨氏干涉实验中，

若两小孔距离为0.4mm，

观察屏至小孔所在平面

的距离为100cm，在观察

屏上测得的干涉条纹间

距为1.5cm，求所用光波

的波。

解：

由公式，得光

波的波长

2.3波长为589.3nm的钠

光照射在双缝上，在距双

缝100cm的观察屏上测量

20个干涉条纹的宽度为

2.4cm，试计算双缝之间

的距离。

解：

因为干涉条纹是等间

距的，所以一个干涉条纹

的宽度为。

又

由公式，得双缝间

距离

少？

解：

因为两束光相互独立

传播，所以光束第10

级亮条纹位置

光束第10级亮条纹位

置，所以间距

2.4设双缝间距为1mm，

双缝离观察屏为1m，用钠

光照明双缝。

钠光包含波

长为nm和

两种单色

光，问两种光的第10级

亮条纹之间的距离是多

2.5在杨氏双缝干涉的双

缝后面分别放置

和，厚

度同为t的玻璃片后，原

来中央极大所在点被第5

级亮纹所占据。

设

nm，求玻璃片厚

度t以及条纹迁移的方向。

解：

由题意，得

所以

条纹迁移方向向下。

2.6在杨氏双缝干涉实验

装置中，以一个长30mm

的充以空气的气室代替

薄片置于小孔前，在观

察屏上观察到一组干涉

条纹。

继后抽去气室中空

气，注入某种气体，发现

屏上条纹比抽气前移动

了25个。

已知照明光波

波长为656.28nm，空气折

射率，试

求注入气室内的气体的

折射率。

解：

设注入气室内的气体

的折射率为，则

2.7杨氏干涉实验中，若

波长=600nm，在观察屏

上形成暗条纹的角宽度

为，

（1）试求杨氏

干涉中二缝间的距离？

（2）若其中一个狭缝通

过的能量是另一个的4倍，

试求干涉条纹的对比

度？

解：

角宽度为

所以条纹间距

由题意，得所以干涉对比度

2.8若双狭缝间距为

0.3mm，以单色光平行照

射狭缝时，在距双缝1.2m

远的屏上，第5级暗条纹

中心离中央极大中间的

间隔为11.39mm，问所用

的光源波长为多少？

是

何种器件的光源？

解：

由公式

，所以

此光源为氦氖激光器。

2.12在杨氏干涉实验中，

照明两小孔的光源是一

个直径为2mm的圆形光源。

光源发光的波长为500nm，

它到小孔的距离为1.5m。

问两小孔可以发生干涉

的最大距离是多少？

解：

因为是圆形光源，由

公式，

则

2.13

相干面积。

月球到地球表面的

距离约为km，月

球的直径为3477km，若把

月球看作光源，光波长取500nm，试计算地球表面上的

2.14

解：

相干面积

若光波的波长宽度

为，频率宽度为，

试证明：

。

式中，

和分别为光波的频率

和波长。

对于波长为

632.8nm的氦氖激光，波

长宽度为

，试计算它的频

率宽度和相干长度。

解：

证明：

由

，则有

（频率增大时

波长减小），取绝对值得

证。

相干长度

频率宽度

Hz。

632.9在图2.22（a）所示的平行平板干涉装置中，

若平板的厚度和折射率

分别为和

角为，光的波长

。

因此，视场

，问通过望远

镜能够看见几个亮纹？

解：

设能看见个亮纹。

从中心往外数第个亮纹

对透镜中心的倾角，成

为第N个条纹的角半径。

设为中心条纹级数，

为中心干涉极小数，令

（,

），从中心往外数，

第N个条纹的级数为

（为平行平板周围介质

的折射率）

对于中心点，上下表面两

支反射光线的光程差为

，则

两式相减，可得

，利用折射

定律和小角度近似，得

，因

此，有12条暗环，11条

亮环。

632.10一束平行白光垂直

投射到置于空气中的厚

度均匀的折射率为

的薄膜上，发现

反射光谱中出现波长为

400nm和600nm的两条暗

线，求此薄膜的厚度？

解：

光程差所以

632.11用等厚条纹测量玻

璃光楔的楔角时，在长

5cm的范围内共有15个亮

条纹，玻璃折射率

，所用单色光波

长，问此光楔

的楔角为多少？

解：

由公式，所以

楔角，

所以

2.18利用牛顿环测透镜

曲率半径时，测量出第10

个暗环的直径为2cm，若

所用单色光波长为500nm，

透镜的曲率半径是多

少？

解：

由曲率半径公式

2.19F-P干涉仪两反射镜

的反射率为0.5，试求它

的最大透射率和最小透

射率。

若干涉仪两反射镜

平板代替，最大透射率和

以折射率的玻璃

，则

所以，2.21有两个波长和，

在600nm附近相差

。

0.0001nm，要用F-P干涉

仪把两谱线分辨开来，间

2.20已知一组F-P标准具

隔至少要多大？

在这种

的间距分别为1mm和

情况下，干涉仪的自由光

120mm，对于

最小透射率又是多少？

（不考虑系统吸收）

解：

当反射率时，

由光强公式

可得最大透射率最小透射率

的入射光而言，

求其相应的标准具常数。

如果某激光器发出的激

光波长为632.8nm，波长

宽度为0.001nm，测量其

波长宽度时应选用多大

间距的标准具？

解：

谱范围是多少？

设反射

率。

解：

由分辨极限公式

，得

F-P干涉仪间隔

用？

（2）求此时可见光

区（390780nm）反射最

大的波长？

解：

（1）作用：

因为上下

表面光程差

，所以该

介质膜对的反射达到

最小，为增透膜；

（2）由

，可知，对波长

2.22在照相物镜上通常

镀上一层光学厚度为

（）的介质

膜。

问：

（1）介质膜的作

，反射最大的波长满足

，则

，取时则

符合条件的可见光的波

长分别为687.5nm和

458.3nm。

2.23在玻璃基片上镀两

层光学厚度为的介

质薄膜，如果第一层的折

射率为1.35，为了达到在

正入射下膜系对全增

透的目的，第二层薄膜的

折射率应为多少？

（玻璃

基片的折射率）

解：

由题意，得

，，

要使膜系对全增透，由

公式

第三章光的衍射与

现代光学

3.1波长的

单色光垂直入射到边长

为3cm的方孔，在光轴（它

通过方孔中心并垂直方

孔平面）附近离孔z处观

察衍射，试求出夫琅禾费

衍射区德大致范围。

解：

要求

，又，

所以

3.5在白光形成的单缝的

夫琅禾费衍射图样中，某

色光的第3级大与600nm

的第2极大重合，问该色

光的波长是多少？

解：

单缝衍射明纹公式：

时，，因

为与不变，当时，

3.6在不透明细丝的夫琅

禾费衍射图样中，测得暗

条纹的间距为1.5mm，所

用透镜的焦距为300nm，

光波波长为632.8nm。

问

细丝直径是多少？

解：

由，所以直径

即为缝宽

3.8迎面开来的汽车，其

两车灯相距，汽

车离人多远时，两车灯刚

能为人眼所分辨？

（假定

人眼瞳孔直径

光在空气中的有效波长

）。

解：

此为夫琅禾费圆孔衍

射，由公式，

所以

3.9在通常的亮度下，人

眼瞳孔直径约为2mm，若

视觉感受最灵敏的光波

长为550nm，问：

（1）人

眼最小分辨角是多大？

（2）在教室的黑板上，

画的等号的两横线相距

2mm，坐在距黑板10m处

的同学能否看清？

解：

（1）（夫

琅禾费圆孔衍射）

rad。

（2）

（场中心

3.7边长为a和b的矩孔

的中心有一个边长为

和的不透明屏，如图

所示，试导出这种光阑的

夫琅禾费衍射强度公式。

因为场中心强度

对应于

）为

其中

C为常数），所以

3.10人造卫星上的宇航

员声称，他恰好能分辨离

他100km地面上的两个点

光源。

设光波波长为

550nm，宇航员眼瞳直径

为4mm，这两个点光源的

距离是多大？

解:

由夫琅禾费圆孔衍射，

，所以

，环孔衍射

图样第一个零点的角半

径为

，

按照瑞利判据,天文望

远镜的最小分辨角就是

，与中心部分

没有遮挡的圆孔情形

（）相比较,分

辨本领提高了,即

3.11在一些大型的天文

望远镜中，把通光圆孔做

成环孔。

若环孔外径和内

径分别为a和a/2，问环

孔的分辨本领比半径为a

的圆孔的分辨本领提高

了多少？

解：

由

3.12若望远镜能分辨角

距离为rad的两

颗星，它的物镜的最小直

径是多少？

为了充分利

用望远镜的分辨本领，望远镜应有多大的放大

率？

即为能分辨的最靠近的

两直线在感光胶片上得

距离）。

⑵由，所以相对孔径

为所以放大率

3.13若要使照相机感光

胶片能分辨2的线距，

求：

（1）感光胶片的分辨

本领至少是每毫米多少

线？

（2）照相机镜头的

相对孔径至少有多

大？

（设光波波长为

550nm。

）

解：

⑴直线数

3.16计算光栅常数是缝

宽5倍的光栅的第0、1

级亮纹的相对强度。

解：

由题意，得，第

零级强度，

第0、1级亮纹相对强度

分别为

3.17一块光学玻璃对谱

线435.8nm和546.1nm的

折射率分别为1.6525和

1.6245。

试计算用这种玻

璃制造的棱镜刚好能分

辨钠D双线时底边的长度。

钠D双线的波长分别为

589.0nm和589.6nm。

解：

由公式，

（式中为棱镜分辨本领，

为棱镜底边长度，为

相对于波长的棱镜的折

射率，为相对于波

长的棱镜的折射

率,为色散率）

又同一种物质色散率不

变，则

，所

以用这种玻璃制造的棱

镜刚好能分辨钠D双线时

底边的长度

3.18在双缝夫琅禾费衍

射试验中，所用光波波长

=632.8nm，透镜焦距

=50cm，观察到两相邻亮

条纹之间的距离=1.5mm，

并且第4级亮纹缺级。

试

求：

（1）双缝的缝距和缝

宽；

（2）第1、2、3级亮

纹的相对强度。

解：

⑴多缝衍射的亮线条

件是，

，对上式两边取微分，

得到

当时，就是相强度公式

邻亮线之间的角距离。

并

，

且一般很小，，

第1、2、3级亮线的相对

故。

两相邻亮

线距离为强度为

。

所以

缝距=

mm=。

4级亮纹缺级，所

⑵第1、2、3级亮线分别

相应于=、、

。

由于=，所以当

=、、时，

分别有=、

、。

因此，

3.17一块宽度为5cm的光

栅，在2级光谱中可分辨

500nm附近的波长差

0.01nm的两条谱线，试求

这一光栅的栅距和500nm

的2级谱线处的角色散。

解：

由

（L为光栅宽度），所

光栅的色分辨本领

，所以光栅的

宽度

角色散

（一般角

很小，）

rad/mm

3.18为在一块每毫米

1200条刻线的光栅的1级

光谱中分辨波长为

632.8nm的一束氦氖激光

的膜结构（两个模之间的

频率差为450MH）z，光栅

需要有多宽？

解：

，又

=878mm。

3.19用复色光垂直照射

在平面透射光栅上，在

的衍射方向上能观察

到600nm的第二级主极大，

并能在该处分辨

的两条

谱线，但却观察不到

600nm的第三级主极大。

求：

（1）光栅常数，每

一缝宽；

（2）光栅的总

宽至少不得低于多少？

解：

⑴，所

以

光栅常数

mm=

mm。

，又

3.21一块每毫米500条缝

的光栅，用钠黄光正入射，

观察衍射光谱。

钠黄光包

mm=288m

含两条谱线，其波长分别

为589.6nm和589.0nm。

求在第二级光谱中这两

条谱线互相分离的角度。

解：

光栅公式

m。

3.20一束波长

的平行光，

垂直射到一平面透射光

栅上，在与光栅法线成

的方向观察到该光的

第二级光谱，求此光栅的

光栅常数。

解：

由，得

，mm=

mm，

所以

，同理

，所以第

二级光谱中这两条谱线

互相分离的角度

3.22一光栅宽50mm，缝

宽为0.001mm，不透光部

分宽为0.002mm，用波长

为550nm的光垂直照明，

试求：

（1）光栅常数d；

（2）能看到几级条纹？

有没有缺级？

解:

⑴

，

⑵

，所以第级亮纹为缺

级，又由，

解得，所以

，又

缺级，所以能看到9

级条纹。

3.23按以下要求设计一

块光栅：

①使波长600nm

的第二级谱线的衍射角

小于，并能分辨其

0.02nm的波长差；②色散

尽可能大；③第三级谱线

缺级。

则该光栅的缝数、

光栅常数、缝宽和总宽度

分别是多少？

用这块光

栅总共能看到600nm的几

条谱线？

解：

为使波长的二

级谱线的衍射角,

必须满足=

=mm，

根据要求②，尽可能小，

则=mm，

根据要求③，光栅缝宽

mm，

再由条件④，光栅缝数

至少有

⑴求光束垂直于槽面入射时，对于波长

的光的分辨

所以光栅的总宽度至少

为

本领；⑵光栅的自由光谱

范围有多大？

解：

⑴光栅栅距为

，已知光栅

宽260mm，因此光栅槽数

光栅形成的谱线在

范围内，当

时，有

由，光栅

对500nm的闪耀级数为

，即第4级谱线对应

于衍射角实际

上不可能看见。

此外第3

级缺级,所以只能看见0,

±1,±2级共5条谱线。

3.24一块闪耀光栅宽

260mm，每毫米有300个

刻槽，闪耀角为。

，所

以分辨本领

；

⑵光栅的自由光谱范围

为

。

第四章光的偏振和

晶体透射出来的强度比时多少？

解：

4.4线偏振光垂直入射到

一块光轴平行于表面的

方解石波片上，光的振动

面和波片的主截面成

和角。

求：

⑴透射出

来的寻常光和非常光的

相对强度各为多少？

⑵

用钠光入射时如要产生

的位相差，波片的厚

度应为多少？

（

偏振器件

4.2一束部分偏振光由光

强比为的线偏振光和

自然光组成，求这束部分

偏振光的偏振度。

解：

设偏振光光强为

，自然光光强为

，（其中

，

），

所以偏振度

4.3线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光矢量的方向与晶体主截面成

，）

解：

⑴

；

⑵由

角，问o光和e光从

m。

4.5由自然光和圆偏振光组成的部分偏振光，通过

4.7有一块平行石英片是

沿平行光轴方向切出的。

要把它切成一块黄光的

波片，问这块石英片

应切成多厚？

石英的

，

，波长为

589.3nm解：

由

，所以厚度

一块波片和一块旋

转的检偏镜，已知得到的

最大光强是最小光强的7

倍，求自然光强占部分偏

振光强的百分比。

解：

设自然光和圆偏振光

的光强分别为和，则

部分偏振光的光强为

。

圆偏振光经过波片后

成为线偏振光，光强仍为

。

当线偏振光光矢的振

动方向与检偏器的透光

方向一致时，从检偏器出

射的光强最大，其值为

当其振动方向与透光方

向互相垂直时其值为零。

自然光通过波片后还

是自然光，通过检偏器后

光强为。

因此，透过

旋转的检偏器出射的最

大光强和最小光强分别

为，

，又题给

，因此

，所以，自然光

强占部分偏振光强的百

分比为

4.6在两个共轴平行放置

的透振方向正交的理想

偏振片和之间，有

一个共轴平行放置的理

想偏振片以云角速度

绕光的传播方向旋转。

设时偏振化方

向与平行，若入射到该

系统的平行自然光强为

，则该系统的透射光强

为多少？

解：

通过第一块、第二块

和第三块偏振片后，光强

分别为，

由于时偏振化

方向与平行，因此

，所以透射光强为

，可见，

最大光强为，最小光强

为0，出射光强的变化频

率为。

4.11为了决定一束圆偏

振光的旋转方向，可将

波片置于检偏器之前，

再将后者转到消光位置。

这时发现波片快轴的

方位是这样的：

它须沿着

逆时针方向转才能与

检偏器的透光轴重合。

问

该圆偏振光是右旋的还

是左旋的？

解：

是右旋圆偏振光。

因

为在以波片快轴为

轴的直角坐标系中，偏振

片位于Ⅱ、Ⅳ象限时消光，

说明圆偏振光经波片

后，成为位于Ⅰ、Ⅲ象限

的线偏振光，此线偏振光

由方向振动相对方向

振动有位相差的两线

偏振光合成。

而波片

使光和光的位相差增

加，成为，所以，进

相对方向振动就已有

位相差，所以是右旋圆偏

振光。

4.9下列两波及其合成波

是否为单色波？

偏振态

如何？

计算两波及其合

成波光强的相对大小。

波1：

；和

波2：

。

其中和均为

时间t的无规变化函数，

且常数

解：

波1是单色波，且

入波片前方向振动

显然，等相面和等幅面重

合，所以是均匀波。

又因

为位相差

，且和方向振动的

振幅相等，所以是右旋圆

偏振光。

对于波2，因为

常数，

为自然光，而相速

只与空间部分有关，虽然

常数，

但等相面和等幅面仍然

重合，故为均匀波。

波1和波2是不相干波，

因此由上述结果得合成

波是非单色光，是部分偏

振光，是均匀波。

光强度：

波1

；

波2

合成波

，因此，三个波

4.12一束右旋圆偏振光垂直入射到一块石英

波片，波片光轴平行于x

轴，试求透射光的偏振态。

如果换成波片，透射

光的偏振态又如何？

解：

右旋圆偏振光可视为

光矢量沿轴的线偏振光

和与之位相差为的光

矢量沿轴的线偏振光的

叠加。

⑴右旋圆偏振光入

射波片并从波片

出射时，光矢量沿轴的

线偏振光（o光）对光矢

量沿轴的线偏振光（e光）情况，决定出射光的偏振

的位相差应为

，故透射光为线偏

振光，光矢量方向与轴

成；

⑵右旋圆偏振光入射

波片并从波片出射时，

光矢量沿轴的线偏振光

（o光）对光矢量沿轴的

线偏