平面向量高考试题含详细答案.docx
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平面向量高考试题含详细答案
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平面向量高考试题含详
细答案
平面向量高考试题精选
(一)
一.选择题(共14小题)
1.(2015河北)设D为△ABC所在平面内一点,前二3五,则()
a.b-ad^ab--1ac
C・AD^AB-^ACD-AD^AB
2.(2015福建)已知蓝_Ll?
,IAB|=^5IAC|=t»若P点是aABC所在平面内一点,且由二色:
高,则说•沃的最大值等于()
A.13B.15C.19D.21
3.(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形,AB=6,而|=4,若点M、N满足丽二3筋,DN=2NC»则赢•而二()
A.20B.15C.9D.6
4.(2015安徽)ZiABC是边长为2的等边三角形,已知向量二,E满足获二2三,
AC=2a+b,则下列结论正确的是()
A.b=1B.a_LbC.ab=lD.(4a+b)-LBC
5.(2015陕西)对任意向量』、b,下列关系式中不恒成立的是()
A.|a'-bl|a|Ib|B,W|gT引|
C.(a+b)"=a+bD.(0+b)=a--K
6.(2015重庆)若非零向量三,E满足a二,且(/E)J_(3^-2b),则W与E的夹角为()
A.—B.—C.更D.n424
7.(2015重庆)已知非零向量型匕满足।b=4|,,且&_L(2a+b)则
目与b的夹角为()
A.—B.—C.空D.3236
8.(2014湖南)在平面直角坐标系中,0为原点,A(-1,0),B(0,V3),
C(3,0),动点D满足CD|=1,5>1]OA+OB+OD的取值范围是()
A.[4,6]B.[V19-1,^Gl9+1]C.[2^3,2近]D.[V?
-1,祈+1]
9.(2014桃城区校级模拟)设向量彳,1W满足后|二后|二1,a-b=-y
,则|W|的最大值等于()
A.2B.V3C.V2D.1
10.(2014天津)己知菱形ABCD的边长为2,NBAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,BE=Xbc,DF=nDC,若近帚1,CECF=贝lj入+h=()
3
A.1B.2c.至D.工23612
11.(2014安徽)设W,E为非零向量,E=24,两组向量高,工,―高和y,不’了3'y4,均由2个石和2个b排列而成,若47]+7^2+三门+总了4所有可能取值中的最小值为4|之二则』与己的夹角为()
A.空B.2Lc.2D.0336
12.(2014四川)平面向量短(1,2),1(4,2),^ma+b(mGR),且《与
1的夹角等于《与E的夹角,则m二()
A.-2B.-1C.1D.2
13.(2014新课标I)设D,E,F分别为aABC的三边BC,CA,AB的中点,贝U
eb+fc=()
A.ADB.工丽C.BCD.或?
22
14.(2014福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,0为平行四边形ABCD
所在平面内任意一点,则林十根十江+而等于()
A.OMB.2OMC.3而D.4OT
二.选择题(共8小题)
15.(2013浙江)设有、石为单位向量,非零向量百x[+y7px、yeR.若
£、7;的夹角为30°,则厚的最大值等于.
12Ib|
16.(2013北京)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足布二人亚+乩疝(1W入W2,OWuWl)的点P组成,则D的面积
为.
17.(2012湖南)如图,在平行四边形ABCD中,AP1BD,垂足为P,且AP=3,则屈.
18.(2012北京)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则DE■通的值为.
19.(20H天津)已知直角梯形ABCD中,AD〃BC,ZADC=90°,AD=2,BOI,P是腰DC上的动点,则回十3而|的最小值为.
20.(2010浙江)已知平面向量五,百《声下)满足隋H,且无与百-五的夹角为120°,则1五【的取值范围是.
21.(2010天津)如图,在中,AD_LAB,而二如而,国|二1,则AC'<15=.
22.(2009天津)若等边aABC的边长为2慑,平面内一点M满足在J连+盆,
63
则而■福.
三.选择题(共2小题)
23.(2012上海)定义向量5[二(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx,函数f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”为0比二(a,b)(其中0为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
(1)设g(x)=3sin(x+—)+4sinx,求证:
g(x)WS;2
(2)已知h(x)=cos(x+a)+2cosx,且h(x)ES,求其“相伴向量”的模;
(3)已知M(a,b)(bWO)为圆C:
(x-2)"y』上一点,向量面的“相伴函数”f(x)在x=x。
处取得最大值.当点M在圆C上运动时,求tan2x。
的取值范围.
2°
24.(2007四川)设R、邑分别是椭圆号+yZl的左、右焦点.
(I)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且西■配二-/求点P的作标;
(II)设过定点M(0,2)的直线1与椭圆交于不同的两点A、B,且NA0B为锐角(其中0为坐标原点),求直线1的斜率k的取值范围.
平面向量高考试题精选
(一)
参考答案与试题解析
一.选择题(共14小题)
1.(2015河北)设D为AABC所在平面内一点,前二3五,则()
a.b-ad^ab
解:
由己知得到如图
由丽二亚+而」5+!
说=靠K(AC-AB)=而《正;故选:
A.
2.(2015福建)已知而_Ll?
,IAB|=^5IAC|=t»若P点是aABC所在平面内一点,且由二,广高,则说•记的最大值等于()
A.13B.15C.19D.21解:
由题意建立如图所示的坐标系,
可得A(0,0),B(X0),C(0,t),t
Apg=(1-b-4),PC=(-1,t-4),t
•二而•奇-(1-1)-4(t-4)=17-(-l+4t),
当且仅当f即号时取等号,
・二而•司的最大值为13,故选:
A.
3.(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形,屈二6,瓦|=4,若点M、N满
足而二3筋,DN=2NC,则麻■疝二()
A.20B.15C.9D.6
解:
:
四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足方二3筋,而二2正,
:
•-虹],
:
AM•1极=AM(M-处)=AT-M•AN,
氤二密+|ab*ad巧师二,
—♦—*,jqr2-•—*
M・用上布-JAIT・AD,
AB=6,ADI=4,
AM•而q斌--^AD2=12-3=9
故选:
C
4.(2015安徽)ZiABC是边长为2的等边三角形,已知向量二,E满足标二2三,
AC=2a+b,则下列结论正确的是()
A.b=1B.a_LbC.ab=lD.(4a+b)_LBC
解:
因为已知三角形ABC的等边三角形,a»b满足AC=2a+b»又
AC=AB+BC,
所以a=~^AB,b=BC>乙
所以|E|二2,a-b=lX2Xcosl20°=-1,
4a-WXlX2Xcosl20°=-4,铲=4,所以心用+铲二。
,即(自+Z)*),即
(4a+b)•BC=0»所以(4a+b)1而
故选D
5.(2015陕西)对任意向量三、E,下列关系式中不恒成立的是()
A.|a'-bl|a|ib|B,W|gT引|
C.(a+b)-=a+b-D.(a+b)([-=a~b'
解:
选项A」E确,•;a"b:
=abcos,
乂cosWl,/.a•biab恒成立;
选项B错误,由三角形的三边关系和向量的几何意义可得I:
-El2||W|-
Ib|;
选项C正确,由向量数量积的运算可得U+E)2=!
a+b选项D正确,由向量数量积的运算可得(W+E)(Z-E)二故选:
B
6.(2015重庆)若非零向量之,E满足a二为2E,且(3
则4与E的夹角为()
A.—B.—C.在D.n
424
解:
(a-b)-L(3a+2b),二•(”b)(3a+2b)-0,
R|J3□-2b"~ab=0,
ri1■一♦■——f-fQ-
即nV3万-2b
3
一―2k2
……一百百头丁
3
即Va,1>>二工,4
故选:
A
7.(2015重庆)已知非零向量小匕满足I讨二41&,且
目与b的夹角为()
A.—B.—C.空D.立3236
解:
由已知非零向量不,匕满足:
2二4;&-且&_1(2&十
a,b的夹角为°,
所以a(2&+b)=°,即2下十总曰8s8=。
,所以cos。
所以8尹;3
a--b,
a■b)-L(3才2b),
P(2a+b)则
b),设两个非零向量
二-工0G[o,
2
故选C.
8.(2014湖南)在平面直角坐标系中,。
为原点,A(-1,0),B(0,V3),
C(3,0),动点D满足CD|=1,RlJOA+OB+OD的取值范围是()
A.[4,6]B.EV19-hV19+11C.[26,26]D.[诉-1,Vr+1]
]解:
•・•动点D满足|而=1,C(3,0),
・二可设D(3+cos0,sin。
)(He[0,2n)).
又A(-1,0),B(0,扬,
OA+OB+OD33(2+cos8,”号周口8).
JOA+OB+OD=4(2+cosg)气(J5+sin8)24科公-8+2“5sin8二
J8+2V?
sin(8+0),(其中sin(l>=卷,cos(I))
V-l^sin(8+6)Wl,
/.(^7-1)2=8-2A/7
sin(0+6)三8+2后(夜+1)?
、
IOA+0B+OD的取值范围是EV7-1,Vt+1].
故选:
D.
9.(2014桃城区校级模拟)设向量彳,1W满足后|二|百二1,。
箕-5
A.2B.V3C.V2D.1
解:
:
|0|二|b|二1,a•b=_
・・・W,E的夹角为120°,।।a
设水工,而兀,0C二c则瓦,CB=b-c
如图所示
则NA0B=120°;ZACB=60°
ZA0B+ZACB-1800
AA,0,B,C四点共圆
•AB=b-a
••2-*21—t2
••AB=b_2apb+a=3
AB=Vs
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R二一峰—二2sinZACB
当0C为直径时,模最大,最大为2
故选A
10.(2014天津)己知菱形ABCD的边长为2,NBAD=120°,点E、F分别在边
BC、DC上,XBC,DF=UDC,若油於1,CEC?
=-X则入+U=()
3
A.1B.C.iD.-L
23612
解:
由题意可得若必?
二(AB+BE)(AD+DF)=而・!
5+而■而+丽・!
5+丽・而=2X2Xcosl20°+AB,口AB+入ADAD+入ADH期-2+4u+4入+入uX2X2Xcosl20°=4入+4u-2人口-2=1,
・・・4入+4u-2Xy=3①.
I•I•I♦I♦I•I.I'I♦'I•'I•'
CECF=-EC(-FC)=EC-FO(1-入)BC(1-u)DC=(1-入)AD(1-u)AB
二(1-入)(1-u)X2X2Xcosl20°=(1-X-u+Xu)(-2)=-2,3
即-入-u+人口=-2②.3-
由①②求得入+H二旦~6
故答案为:
36
11.(2014安徽)设W,E为非零向量,E=24,两组向量高,言,京,高和打,丫2’13’14’均由2个石和2个b排列而成,若4打十三九+^^^+京兀!
所有可能取值中的最小值为4|』)则』与己的夹角为()
A.空B.三C.三D.0336
解:
由题意,设1与E的夹角为a,
分类讨论可得
a'cosQ=43;满足题意,此时cosa=2.
・•.法与e的夹角为卫.
故选:
B.
12.(2014四川)平面向量全(1,2),良(4,2),c=ma+b(m^R),且W与
W的夹角等于W与E的夹角,则m=()
A.-2B.-1C.1D.2
解:
:
向量奈(b2),b=(4,2),
/•cFma+tF(m+4,2m+2),
又,/W与』的夹角等于工与E的夹角,
—>—>—>—>
•c.0_c・b
|c|・|aI|c|-|bI
—>—>—>—>•c-a_c
•irrM+2(2nr+2)_4(irrH)+2(2in+2)
Vs2V5'
解得m=2.
故选:
D
13.(2014新课标I)设D,E,F分别为aABC的三边BC,CA,AB的中点,贝ije5+fc=()
61,♦,♦'1♦'
A.ADB.工ADC.BCD.工BC
22
【解答】解:
TD,E,F分别为aABC的三边BC,CA,AB的中点,
/.EB+FC=(EF+FB)+(FE+EC)二而十丽」(AB+AC)=AD,
2
故选:
A
14.(2014福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,0为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则瓦+而+加+而等于()
A.OMB.2ONC.3OMD.4OT
解:
:
。
为任意一点,不妨把A点看成0点,则币+而+而+而M+瓦+标+15,
VM是平行四边形ABCD的对角线的交点,.丁十亚十标+/2正=4质
故选:
D.
二.选择题(共8小题)
15.(2013浙江)设有、,为单位向量,非零向量正x^+y7;,x、y£R.若最、£的夹角为30°,则。
的最大值等于2.
12|b|
解:
:
式、W为单位向量,式和耳的夹角等于30°,••・7?
・£=1X1> .非零向量yxq+yc? ,,•b={x? +2xy与▼言+,7x? +而xy+y、, ・lx]由一IJ二I! ]1z, ।b।7x2+V3xy+y2Vx2+«xy+y2+ (2)? 故当干一当时,卡举得最大值为2, 故答案为2. 16.(2013北京)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D 由所有满足近二人乱十乩蕊(1W入W2,0WuW1)的点P组成,则D的面积为 解: 设P的坐标为(x,y),则 : 与二入标+乩疝, 14会-当-142 JJ 心⑵1),叱(1,2),AP=(x-1,y+1), f解之得产1二八+2乩 ••TW入W2,OWuWl,,点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域,得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C(4,2),D(6,3),E(5,1),F(3,0) **ICFI(4-3)2+(2-0) 点E(5,1)到直线CF: 2x-y-6=0的距离为三吉9L” V55 ・•・平行四边形CDEF的面积为S=|CF|XcUx咨3,即动点P构成的平面区域5 D的面积为3故答案为: 3 17.(2012湖南)如图,在平行四边形ABCD中,AP1BD,垂足为P,且AP=3,则点-AC"18. 【解答】解: 设AC与BD交于点0,则AO2A0 VAP±BD,AP=3,在RtZXAPO中,A0cosZ0AP=AP=3 ACcosZ0AP=2AOXcosZ0AP=21AP=6, 由向量的数量积的定义可知,屈APACcosZPA0=3X6=18 故答案为: 18 18.(2012北京)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则 而■废的值为1. 【解答】解: 因为DE・C即DE・DA二成|,|X|cos<和・XAX? , 故答案为: 1 19.(2011天津)已知直角梯形ABCD中,如〃BC,ZADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则向+3丽I的最小值为5. 解: 如图,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系, 则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0) 设P(0,b)(OWbWa) 则应二(2,-b),(1,a-b), PA+3PB=(5,3a-4b) IPA+3PB|=^25+(Sa-4b)5 故答案为5. 20.(2010浙江)已知平面向量五,百(五#I/产下)满足隋H,且无与百-五的夹角为120°,则五的取值范围是(0,苧]. 解: 令用届与\ac=T,如下图所示: 则由叁耳-a, 又丁五与至-五的夹角为120。 ,・•・NABC=60° 日二萼sinCW竽 /.\~ae(0,芋] 故I云的取值范围是(0,军] 故答案: (0,孕 21.(2010天津)如图,在aABC中,AD_LAB,前二仙丽,|15|=b则正•/ V3_- 【解答】解: AC*AD=|ACHlADlcosZDAC, V|AD|=1,aAC*AD=|ACH|1d|cos/DAC二|AC|fos/DAC, **/BAC二*NDAC,二•cosZDAC=sinZBAC, AC*AD=|ACM1d|cosZDAC=IACI•cos/DK二|AC|sin/BAC, 在△ABC中,由正弦定理得变形得ACsinZBAC=BCsinB,sinBsinZBAC AC*AD=|ACH|AD|cosZDAC=IAC|•cos/DAC二|AC|sin/BAC,二BCsinB=|BC|・故答案为近. 22.(2009天津)若等边aABC的边长为2谯,平面内一点M满足而二与g+瑞, 63 则而•语-2. 解: 以C点为原点,以AC所在直线为x轴建立直角坐标系,可得 C(0,0),A(2V3,O)3B(V3,3), •••而二(西3),CA=(273,0), •・国洞+蓊挈I), ,M挈I), •*,MA=(*,-;),HB=(-孚’微)' 欣•藤(色,-i)(-区至)=-2.2222 故答案为: -2. 三.选择题(共2小题) 23.(2012上海)定义向量加二(a,b)的“相伴函数”为f(x) =asinx+bcosx,函数f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”为0况=(a,b)(其中0为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (1)设g(x)=3sin(x+—)+4sinx,求证: g(x)WS;2 (2)己知h(x)=cos(x+a)+2cosx,且h(x)£S,求其“相伴向量”的模; (3)已知M(a,b)(bWO)为圆C: (x-2)上一点,向量质的“相伴函数”f(x)在x=x。 处取得最大值.当点M在圆C上运动时,求tan2x。 的取值范围. 【解答】解: (1)g(X)=3sin(x+—)+4sinx=4sinx+3cosx,2 其'相伴向量'加二(4,3),g(x)£S. (2)h(x)=cos(x+a)+2cosx =(cosxcosci-sinxsin(i)+2cosx =-sinasinx+(cosa+2)cosx J函数h(x)的'相伴向量'OM=(-sina,cosQ+2). 则0M=7(-sind)—2+(cosQ+2)―^倔荻M• (3)0儿的'相伴函数'f(x)=asinx+bcosx[,2+b2sin(x+6), 整+b 当x+6=2kn+工,k《Z时,f(x)取到最大值,故xo=2kn+工-6,kez.22 tanx0=tan(2kn+--6)=cot6=32b .c_2tanx0_2Xb_2 tan2Xc5• …2y_q)就 ba° ,0)U(0, 也为直线0M的斜率,由几何意义知: 比[-遇aa3 0)U(0, 令m=—,则tan2x°二一^7,mW[—-,&3 当-亚WmVO时,函数tan2x0二—^单调递减,,0Vtan2x°Wj^31 JID-- IT 当OVmW当时,函数tan2x°二一^y单调递减,A-V3^tan2x0<0. 巾IT 综上所述,tan2x.£[-正,0)U(0,%]. 2° 24.(2007四川)设R、邑分别是椭圆号+丫2=1的左、右焦点. (1)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且而■配二-/求点P的作标; (II)设过定点M(0,2)的直线1与椭圆交于不同的两点A、B,且NAOB为锐角(其中。 为坐标原点),求直线1的斜率k的取值范围. 】解: (I)易知a=2,b=l,c心••・F[(-m,0),F20).设P(x,y)(x>0,y>0). 2 则西•丽二(一抵一心_y)(盯—x,-y)=x"/—3二一乂=+,二i, xr-4/=1x=l厉 联立,2,解得{2V5,P(匕耳). x工2-y=-片下2 百+y=1I4I2 (II)显然x=0不满足题设条件.可设1的方程为y=kx+2,设A(xi,y。 ,B x2 联立T*,=1=>x2H(kx+2)2=4=>(1+4*2)x2+i6kx+12=0 y=kx+2
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