2017年中考突破复习题型专项(八)解直角三角形的实际应用题.doc
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题型专项(八) 解直角三角形的实际应用题
类型1 仰角、俯角问题
1.(2016·湘西)测量计算是日常生活中常见的问题,如图,建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB,从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°,观测旗杆底部B点的仰角为45°.(可用的参考数据:
sin50°≈0.8,tan50°≈1.2)
(1)若CD=20米,求建筑物BC的高度;
(2)若旗杆的高度AB=5米,求建筑物BC的高度.
解:
(1)∵∠BDC=45°,
∴DC=BC=20m.
答:
建筑物BC的高度为20m.
(2)设DC=BC=xm,根据题意,得
tan50°===1.2,
解得x=25.
答:
建筑物BC的高度为25m.
2.(2016·深圳)某兴趣小组借助无人飞机航拍校园,如图,无人飞机从A处飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°.B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)
解:
过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BH⊥水平线于点H.
∵∠ACH=75°,∠BCH=30°,AB∥CH,
∴∠ABC=30°,∠ACB=45°.
∵AB=4×8=32(m),
∴AD=CD=AB·sin30°=16m,
BD=AB·cos30°=16m.
∴BC=CD+BD=(16+16)m.
∴BH=BC·sin30°=(8+8)m.
答:
这架无人飞机的飞行高度是(8+8)m.
类型2 方位角问题
3.(2016·临沂)一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向,距离灯塔20海里的A处,它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处?
(参考数据:
≈1.732,结果精确到0.1)
解:
过点A作AC⊥PC于点C,则∠APC=60°,∠BPC=45°,AP=20,
在Rt△APC中,
∵sin∠APC=,
∴AC=20·sin60°=10.
在△PBC中,∠BPC=45°,
∴△PBC为等腰直角三角形.
∴BC=PC=10.
∴AB=AC-BC=10-10≈7.3(海里).
答:
它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处.
4.(2014·南充)马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我两艘专业救助船A,B同时收到有关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上,在救助船B的西北方向上,船B在船A正东方向140海里处.(参考数据:
sin36.5°≈0.6,cos36.5°≈0.8,tan36.5°≈0.75,≈1.414)
(1)求可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离;
(2)若救助船A,救助船B分别以40海里/时,30海里/时的速度同时出发,匀速直线前往搜救,试通过计算判断哪艘船先到达P处.
解:
(1)过点P作PE⊥AB于点E,由题意知,∠PAE=36.5°,∠PBA=45°,
设PE为x海里,则BE=PE=x海里,
∵AB=140海里,∴AE=(140-x)海里.
在Rt△PAE中,tan∠PAE=,即=0.75,解得x=60.
∴可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离为60海里.
(2)在Rt△PBE中,PE=60海里,∠PBE=45°,
则BP=PE=60≈84.8(海里),
B船需要的时间为≈2.83(小时),
在Rt△PAE中,sin∠PAE=,
∴AP=PE÷sin∠PAE=60÷0.6=100(海里).
∴A船需要的时间为100÷40=2.5(小时).
∵2.83>2.5,∴A船先到达.
5.(2016·达州)如图,在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C,灯塔C距码头的东端N有20km.一轮船以36km/h的速度航行,上午10:
00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向,上午10:
40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向,且与灯塔C相距12km.
(1)若轮船照此速度与航向航向,何时到达海岸线?
(2)若轮船不改变航向,该轮船能否停靠在码头?
请说明理由.(参考数据:
≈1.4,≈1.7)
解:
(1)延长AB交海岸线l于点D,过点B作BE⊥海岸线l于点E,过点A作AF⊥l于点F.
∵∠BEC=∠AFC=90°,∠EBC=60°,∠CAF=30°,
∴∠ECB=30°,∠ACF=60°.∴∠BCA=90°.
∵BC=12,AB=36×=24,∴AB=2BC.
∴∠BAC=30°,∠ABC=60°.
∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°,
∴∠BDC=∠BCD=30°.∴BD=BC=12.
∴t==(小时)=20分钟.
∴轮船照此速度与航向航向,上午11:
00到达海岸线.
(2)该轮船能停靠在码头.理由:
∵BD=BC,BE⊥CD,∴DE=EC.
在Rt△BEC中,∵BC=12,∠BCE=30°,
∴BE=6,EC=6≈10.2.
∴CD=20.4.
∵20<20.4<21.5,
∴轮船不改变航向,轮船可以停靠在码头.
类型3 坡度、坡角问题
6.(2016·济宁)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1∶1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面AC的坡度为1∶.
(1)求新坡面的陂角α;
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?
请说明理由.
解:
(1)∵新坡面的坡度为1∶,
∴tanα=tan∠CAB==.
∴∠α=30°.
答:
新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要拆除.理由:
过点C作CD⊥AB于点D,则CD=6,
∵坡面BC的坡度为1∶1,新坡面的坡度为1∶,
∴BD=CD=6,AD=6.
∴AB=AD-BD=6-6<8.
∴文化墙PM不需要拆除.
7.(2016·天水)如图所示,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°,已知OA=200米,山坡坡度为(即tan∠PAB=),且O,A,B在同一条直线上,求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度.(侧倾器的高度忽略不计,结果保留根号)
解:
过点P作PE⊥OB于点E,PF⊥CO于点F,
在Rt△AOC中,AO=200,∠CAO=60°,
∴CO=AO·tan60°=200.
设PE=x米,
∵tan∠PAB==,
∴AE=3x.
在Rt△PCF中,∠CPF=45°,CF=200-x,PF=OA+AE=200+3x,
∵PF=CF,
∴200+3x=200-x.
解得x=50(-1).
答:
电视塔OC的高度是200米,所在位置点P的垂直高度是50(-1)米.
类型4 与实际生活相关的问题
8.(2016·娄底)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁,大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图),图乙是从图甲引申出的平面图,假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°,拉索CD与水平桥面的夹角是60°,两拉索顶端的距离BC为2米,两拉索底端距离AD为20米,请求出立柱BH的长.(结果精确到0.1米,≈1.732)
解:
设DH=x米,
∵∠CDH=60°,∠H=90°,
∴CH=DH·tan60°=x.
∴BH=BC+CH=2+x.
∵∠A=30°,
∴AH=BH=2+3x.
∵AH=AD+DH,
∴2+3x=20+x.
解得x=10-.
∴BH=2+×(10-)=10-1≈16.3(米).
答:
立柱BH的长约为16.3米.
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