新高考数学一轮复习 第01章 11 集 合.docx
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新高考数学一轮复习第01章11集合
§1.1 集 合
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集:
若对于任意的x∈A都有x∈B,则A⊆B;
(2)真子集:
若A⊆B,且A≠B,则AB;
(3)相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B;
(4)∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的所有元素组成的集合
{x|x∈A,且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A,或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集
{x|x∈U,x∉A}
∁UA
概念方法微思考
1.若一个集合A有n个元素,则集合A有几个子集,几个真子集.
提示 2n,2n-1.
2.从A∩B=A,A∪B=A中可以分别得到集合A,B有什么关系?
提示 A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × )
(4)若P∩M=P∩N=A,则A⊆(M∩N).( √ )
题组二 教材改编
2.若集合A={x∈N|x≤
},a=2
,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
答案 D
3.已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},满足条件的集合B有________个.
答案 4
解析 因为(A∪B)⊇B,A={a,b},所以满足条件的集合B可以是{c},{a,c},{b,c},{a,b,c},所以满足条件的集合B有4个.
4.设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁UA)∪B=________.
答案 (-∞,0)∪[1,+∞)
解析 因为∁UA={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁UA)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞).
题组三 易错自纠
5.(多选)已知集合A={x|x2-2x=0},则有( )
A.∅⊆AB.-2∈A
C.{0,2}⊆AD.A⊆{y|y<3}
答案 ACD
解析 易知A={0,2},A,C,D均正确.
6.已知集合A={1,3,
},B={1,m},若B⊆A,则m=________.
答案 0或3
解析 因为B⊆A,所以m=3或m=
.即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知m≠1,所以m=0或3.
7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________.
答案 0或1或-1
解析 易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M,
∴N=∅或N=M,∴a=0或a=±1.
集合的含义与表示
1.已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.6D.9
答案 C
解析 当x=0时,y=0;当x=1时,y=0或y=1;
当x=2时,y=0,1,2.
故集合B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B中有6个元素.
2.已知集合A=
,则集合A中的元素个数为( )
A.2B.3C.4D.5
答案 C
解析 因为
∈Z,且x∈Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.
3.给出下列四个命题:
①{(x,y)|x=1或y=2}={1,2};
②{x|x=3k+1,k∈Z}={x|x=3k-2,k∈Z};
③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集;
④设2021∈{x,
,x2},则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为3.
其中正确的命题是________.(填序号)
答案 ②③④
解析 ①中左边集合表示横坐标为1,或纵坐标为2的所有点组成的集合,即x=1和y=2两直线上所有点的集合,右边集合表示有两个元素1和2,左、右两集合的元素属性不同.②中3k+1,3k-2(k∈Z)都表示被3除余1的数,易错点在于认为3k+1与3k-2中的k为同一个值,对集合的属性理解错误.③中集合有4个元素,其真子集的个数为24-1=15(个).④中x=-2021或x=-
,满足条件的所有x组成的集合为{-2021,-
},其真子集有22-1=3个.所以②③④正确.
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点:
一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
特别提醒:
含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.
集合间的基本关系
例1
(1)集合M=
,N=
,则两集合M,N的关系为( )
A.M∩N=∅B.M=N
C.M⊆ND.N⊆M
答案 D
解析 由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则x=k+1(k∈Z),当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+
(k∈Z),∴N⊆M,故选D.
(2)已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B={x∈N|0 答案 4 解析 由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4}. 又∵A⊆C⊆B,∴C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},∴有4个. (3)已知集合A={x|x2-2021x+2020<0},B={x|x 答案 [2020,+∞) 解析 由x2-2021x+2020<0,解得1 故A={x|1 又B={x|x 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 跟踪训练1 (1)已知集合A={x|y= },B={x|x=m2,m∈A},则( ) A.ABB.BA C.A⊆BD.B=A 答案 B 解析 由题意知A={x|y= }, 所以A={x|-1≤x≤1}. 所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1}, 所以BA,故选B. (2)已知集合A={x|(x+1)(x-6)≤0},B={x|m-1≤x≤2m+1}.若B⊆A,则实数m的取值范围为________. 答案 (-∞,-2)∪ 解析 A={x|-1≤x≤6}. ∵B⊆A,∴B=∅或B≠∅. 当B=∅时,m-1>2m+1,即m<-2.符合题意. 当B≠∅时, 解得0≤m≤ . 得m<-2或0≤m≤ . 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 例2 (1)(2019·日照模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x<2},则A∩B等于( ) A.(1,3)B.(1,3] C.[-1,2)D.(-1,2) 答案 C 解析 因为A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},B={x|x<2},所以A∩B=[-1,2). (2)(2020·沈阳检测)已知全集U={1,3,5,7},集合A={1,3},B={3,5},则如图所示的阴影区域表示的集合为( ) A.{3}B.{7}C.{3,7}D.{1,3,5} 答案 B 解析 由图可知,阴影区域为∁U(A∪B).由题意知,A∪B={1,3,5},U={1,3,5,7},则由补集的概念知, ∁U(A∪B)={7}.故选B. 命题点2 利用集合的运算求参数 例3 (1)已知集合A={x|x2-3x<0},B={1,a},且A∩B有4个子集,则实数a的取值范围是( ) A.(0,3)B.(0,1)∪(1,3) C.(0,1)D.(-∞,1)∪(3,+∞) 答案 B 解析 因为A∩B有4个子集,所以A∩B中有2个不同的元素,所以a∈A,所以a2-3a<0,解得0 (2)已知集合A={x|x A.a<1B.a≤1 C.a>2D.a≥2 答案 D 解析 集合B={x|x2-3x+2<0}={x|1 由A∩B=B可得B⊆A,作出数轴如图. 可知a≥2. 本例 (2)中,若集合A={x|x>a},其他条件不变,则实数a的取值范围是________. 答案 (-∞,1] 解析 ∵A={x|x>a},B={x|1 由B⊆A结合数轴观察(如图). 可得a≤1. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,可用Venn图表示;数集中的元素若是连续的,则可用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. 跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA等于( ) A.{1,6}B.{1,7} C.{6,7}D.{1,6,7} 答案 C 解析 ∵U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5}, ∴∁UA={1,6,7}. 又B={2,3,6,7},∴B∩∁UA={6,7}. (2)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x A.-12 C.a≥-1D.a>-1 答案 D 解析 在数轴上画出集合A,B(如图), 观察可知a>-1. 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中. (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素. 例1 对于集合M,定义函数fM(x)= 对于两个集合A,B,定义集合A△B={x|fA(x)·fB(x)=-1}.已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合A△B的结果为________. 答案 {1,6,10,12} 解析 要使fA(x)·fB(x)=-1,必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={1,6,10,12},所以A△B={1,6,10,12}. 例2 (多选)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈P,都有a+b,a-b,ab, ∈P(除数b≠0),则称P是一个数域,例如有理数集Q是数域,下列命题中正确的是( ) A.数域必含有0,1两个数 B.整数集是数域 C.若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域 D.数域必为无限集 答案 AD 解析 当a=b时,a-b=0, =1∈P,故可知A正确. 当a=1,b=2时, ∉Z不满足条件,故可知B不正确. 当M比Q多一个元素i时,则会出现1+i∉M,所以它也不是一个数域,故可知C不正确. 根据数域的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知D正确. 例3 已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”: A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素数字之和为( ) A.15B.16C.20D.21 答案 D 解析 由x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,得A={0,1,2,3}.因为A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},所以A*B中的元素有: 0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以A*B={1,2,3,4,5,6},所以A*B中的所有元素数字之和为21. 1.下列各组集合中表示同一集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 答案 B 2.已知集合M={x|x2-x-6=0},则下列表述正确的是( ) A.{-2}∈MB.2∈M C.-3∈MD.3∈M 答案 D 解析 ∵集合M={x|x2-x-6=0}. ∴集合M={-2,3},∴-2∈M,3∈M,故选D. 3.(2018·全国Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( ) A.9B.8C.5D.4 答案 A 解析 将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个. 故选A. 4.已知集合A={x∈N*|x2-3x-4<0},则集合A的真子集有( ) A.7个B.8个C.15个D.16个 答案 A 解析 ∵集合A={x∈N*|x2-3x-4<0}={x∈N*|-1 ∴集合A中共有3个元素,∴真子集有23-1=7(个). 5.已知集合M={x|x>4或x<1},N=[-1,+∞),则M∩N等于( ) A.(-∞,+∞)B.(-1,1)∪(4,+∞) C.∅D.[-1,1)∪(4,+∞) 答案 D 解析 因为M={x|x>4或x<1},N=[-1,+∞),所以M∩N=[-1,1)∪(4,+∞). 6.(2020·山东模拟)设集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B等于( ) A.{(1,1)}B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)}D.∅ 答案 C 解析 首先注意到集合A与集合B均为点集, 联立 解得 或 从而集合A∩B={(1,1),(-2,4)}. 7.(多选)已知集合A={x|-1 A.A∩B=∅ B.A∪B={x|-2≤x≤3} C.A∪∁RB={x|x≤-1或x>2} D.A∩∁RB={x|2 答案 BD 解析 ∵A={x|-1 ∴A∩B={x|-1 A∪B={x|-1 ∵∁RB={x|x<-2或x>2}, ∴A∪∁RB={x|-1 A∩∁RB={x|-1 8.(多选)已知集合A={x|x2-3x+2≤0},B={x|2<2x≤8},则下列判断不正确的是( ) A.A∪B=BB.(∁RB)∪A=R C.A∩B={x|1 答案 ABD 解析 因为x2-3x+2≤0,所以1≤x≤2,所以A={x|1≤x≤2}; 因为2<2x≤8,所以1 所以A∪B={x|1≤x≤3},A∩B={x|1 (∁RB)∪A={x|x≤2或x>3},(∁RB)∪(∁RA)={x|x≤1或x>2}. 9.设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=________. 答案 {1,3} 解析 ∵A∩B={1},∴1∈B. ∴1-4+m=0,即m=3. ∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}. 10.(2019·湖北黄石一中模拟)设集合M={y|y=2cosx,x∈[0,5]},N={x|y=log2(x-1)},则M∩N=________. 答案 {x|1 解析 ∵M={y|y=2cosx,x∈[0,5]}={y|-2≤y≤2},N={x|y=log2(x-1)}={x|x>1}, ∴M∩N={y|-2≤y≤2}∩{x|x>1}={x|1 11.设集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},若A∩B={-1,2},则a的值为________. 答案 -2或1 解析 ∵集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},A∩B={-1,2},∴ 或 解得a=-2或a=1. 经检验,a=-2和a=1均满足题意. 12.已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A中的元素为________.若集合B满足B⊆A,则集合B的个数是________. 答案 -1,0 4 解析 解方程x2+x=0得x=-1或x=0, 所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0}, 故集合A中的元素为-1,0. 因为集合B满足B⊆A, 所以集合B的个数为22=4. 13.(2020·青岛模拟)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=______,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5 由A∩B=(-1,n),可知m<1, 则B={x|m 14.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为________. 答案 (-∞,2] 解析 当a>1时,A=(-∞,1]∪[a,+∞),B=[a-1,+∞),当且仅当a-1≤1时,A∪B=R,故1 15.(多选)设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题中是真命题的有( ) A.集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集 B.若S为封闭集,则一定有0∈S C.封闭集一定是无限集 D.若S为封闭集,则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集 答案 AB 解析 两个复数的和、差、积仍是复数,且运算后的实部、虚部仍为整数, 所以集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集,A正确. 当S为封闭集时,因为x-y∈S,取x=y,得0∈S,B正确. 对于集合S={0},显然满足所有条件,但S是有限集,C错误. 取S={0},T={0,1},满足S⊆T⊆C,但由于0-1=-1不属于T,故T不是封闭集,D错误. 16.当两个集合有公共元素,且互不为对方的子集时,我们称这两个集合“相交”.对于集合M={x|ax2-1=0,a>0},N= ,若M与N“相交”,则a=________. 答案 1 解析 M= ,由 = ,得a=4,由 =1,得a=1. 当a=4时,M= ,此时M⊆N,不合题意; 当a=1时,M={-1,1},满足题意.
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