完整版高等数学期末复习考试之常微分方程部分doc.docx
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第11章常微分方程习题课
一.内容提要
1.基本概念
含有一元未知函数y(x)(即待求函数)的导数或微分的方程,称
为常微分方程;其中出现的y(x)的最高阶导数的阶数称为此微分方
程的阶;使微分方程在区间I上成为恒等式的函数y(x)称为此
微分方程在I上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;
若n阶微分方程的解中含有n个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用n个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为
一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出y,y,,y(n1)在同一点
x0处的值)时,称为初值问题.
2.一阶微分方程y
f(x,y)的解法
(1)对于可分离变量方程dy
(x)
(y),
dx
先分离变量(当
(y)
0
时)得
dy
(x)dx,
ψ(y)
再两边积分即得通解
dy
(x)dxC.
(y)
dy
f
y
x
(2)对于齐次方程dx
作变量代换
y
即y
xu,可将其化为可分离变量的方程
分
x
u
离变量后,积分得
du
dxC再以y
代替u便得到齐次方
f(u)u
x
x
1/19
程的通解.
(3)形如dy
f(
ax
by
c)的方程,
dx
a1x
b1y
c1
①若c,c1均为零,则是齐次方程;
②若c,c1不全为零,则不是齐次方程,但
当a
b
k时,只要作变换v
a1xb1y,即可化为可分离
a1
b1
变量的方程dv
b1
f(kv
c)
a1;
dx
v
c1
当
a
b
时,只要作平移变换
X
x
x0
即
a1
b1
Yy
y0
x
X
x0
(其中(x0,y0)是线性方程组
axby
c
0
的惟一
yYy0
a1xb1yc1
0
解),便可化为齐次方程
dY
f(aX
bY).
dX
a1X
b1Y
(4)全微分方程
若方程P(x,y)dx
Q(x,y)dy0之左端是某个二元函数
u
u(x,y)的全微分,则称其为全微分方程,显然u(x,y)
C即为通
解,而原函数u(x,y)可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.
通常用充要条件
P
Q
来判定P(x,y)dxQ(x,y)dy
0是否
yx
为全微分方程.对于某些不是全微分方程的
P(x,y)dxQ(x,y)dy0,可乘上一个函数(,x,y)使之成为全微分
方程
P(x,y)dxQ(x,y)dy0
2/19
(注意到当(x,y)0时P(x,y)dx
Q(x,y)dy
0与原方程同解),
并称
(,x,y)为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可
通过观察得到.
(5)一阶线性微分方程y
p(x)yQ(x)的通解公式
当Q(x)不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程
;当Q(x)
恒为零,时,即yp(x)y
0称为一阶线性齐次微分方程
这是一个
可分离变量的方程,易知其通解为Y
Ce
p(x)dx
;由此用“常数变易
法”即可得到非齐次微分方程的通解
ye
p(x)dx(C
Q(x)ep(x)dxdx).
(6)对于Bernoulli方程y
p(x)y
Q(x)yn(n
0,1
),只需作变换
zy
1
n
即可化为一阶线性方程
dz
(1
n)p(x)z
(1
n)Q(x).
dx
3.高阶方程的降阶解法
以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:
(1)对于方程y(n)
f(x),令zy(n
1)化为z
f(x);在实际求解中,
只要对方程连续积分
n次,即得其通解
y
dx
f(x)dxC1xn
1
Cn1xCn.
n次
(2)对于y
f(x,y)(不显含y),作变换P
y,则y
P,于是
化一阶方程P
f(x,P);显然对y(n)
f(x,
y(n1))可作类似处理.
(3)对于y
f(y,y)(不显含x),作变换P
y
则y
PdP,于是
dy
可化为一阶方程PdP
f(y,P).
dy
3/19
4.线性微分方程解的结构
(1)线性齐次微分方程解的性质
对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.
(2)线性齐次微分方程解的结构
若y1,y2,,yn是n阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其
通解为
Yc1y1c2y2cnyn.
(3)线性非齐次微分方程解的结构
线性非齐次微分方程的通解y,等于其对应的齐次方程的通解
Y与其自身的一个特解y
之和,即y
Y
y.
(4)线性非齐次微分方程的叠加原理
1
设yk(k
1,2,,m)是方程
y(n)
p1(x)y(n1)
pn1(x)y
pn(x)y
fk(x)
m
的解,则
yk
是方程
k
1
y(n)
p1(x)y(n1)
m
pn1(x)y
pn(x)y
fk(x)
k1
的解.
2
若实变量的复值函数u(x)iv(x)是方程
y(n)
p1(x)y(n1)
pn1(x)y
pn(x)yf1(x)if2(x)
的解,则此解的实部u(x)是方程
y(n)p1(x)y(n1)pn1(x)ypn(x)yf1(x)
的解;虚部v(x)是方程
4/19
y(n)p1(x)y(n1)pn1(x)ypn(x)yf2(x)
的解.
(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系
线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.
5.常系数线性微分方程的解法
(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”
1写出y(n)
p1y(n1)
pn1ypny
0的特征方程
rn
p1rn1
pn1rpn
0,
并求特征根;
2根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见
下表)
特征根r
为
给出通解中的
单实根
1
项:
Cerx
k重实根
k项:
erx(C1
C2x
Ckxk1)
一对单复根
2
项:
ex(C1cosx
C2sinx)
r1,2
i
一对k重复根
2
k项:
ex[(C1
C2x
Ckxk
1)cos
x
r1,2
i
(D1
D2x
Dkxk
1)sin
x]
(2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解
1对于f(x)Pm(x)ex,应设特解
yxkQm(x)exxk(a0xma1xm1am1xam)ex,
其中k等于为特征根的重数(0kn),a0,a1,L,am是待定系数.
将y代入原方程,可定出a0,a1,L,am,从而求得y.
5/19
2对于f(x)
ex[Pl(x)cos
x
Pssin
x]
(
0),应设特解
y
xkex[Rm(x)cosx
Tm(x)sin
x],
其中k等于
i
为特征根的重数(0
k
n),Rm(x),Tm(x)是
2
待定的mmax{l,s}
次多项式.将y
代原方程,即可定出
Rm(x),Tm(x),从而求得y.
或因为f(x)ex[Pl(x)cos
xPs(x)sin
x]
Re
ex(Pl(x)
iPs(x))(cos
x
isinx)
ReQm(x)e(
i)x
(其中Qm(x)
Pl(x)
iPs(x)是m
max{l,s}次的复系数多项式).
对于方程
y
(n)
1
(n1)
L
p
n1
y
n
y
Qm(x)e(
i)x
py
p
可设其特解
Y
xkZm(x)e(
i)x,
(Zm(x)是m次待定复系数多项式,k等于
i
为特征根的
重数),将Y
xkZm(x)e(
i)x代入方程
y(n)
p1y(n
1)
L
pn
1y
pny
Qm(x)e(
i)x
中,可定出Zm(x),于是Y
xkZm(x)e(
i)x,从而原方程的特解
yReY.
3o特例
当f(x)exPl(x)cosx或f(x)exPl(x)sinx时,设YZl(x)e(i)x,将其代入
y(n)p1y(n1)Lpn1ypnyPl(x)e(i)x,
6/19
求得Y,则原方程的一个特解yReY或yImY.
6.Euler方程的解法
(1)形如
xny(n)p1xn1y(n1)pn1xypnyf(x)
的线性变系数微分方程称为Euler方程,是一种可化为常系数的变系数微分方程.
(2)解法
只需作变换xet,即tlnx,即可将其化为常系数线性微分
方程.
若引入微分算子Dd,则
dt
xyDy,x2yD(D1)y,,xny(n)D(D1)(Dn1)y,
于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.
7.应用常微分方程解决实际问题的一般步骤
(1)在适当的坐标系下,设出未知函数yy(x),据已知条件写出相关的量;
(2)根据几何、物理、经济及其它学科的规律(往往是瞬时规律或局部近似规律)建立微分方程;
(3)提出定解条件;
(4)求定解问题的解;
(5)分析解的性质,用实践检验解的正确性.
7/19
二.课堂练习(除补充题外,均选自复习题12)
1.填空题
22
(1)已知y1ex及y2xex是方程y4xy(4x22)y0的解,
2
则其通解为ex(C1C2x).
222
解:
因y1ex,y2xex都是解,且线性无关,故ex(C1C2x)是通
解.
(2)设一质量为m的物体,在空气中由静止开始下落.若空气阻力
为
Rk
v
则其下落的距离
s
所满足的微分方程是s
k
s
g,
m
初始条件是
s(0)
0,s(0)0.
解
:
因为F
ma而F
mg
k
v
v
s
a
s
故得方程
O
s(0)
mgk
s
ms
化简得s
k
s
g;
s(t)
m
在如图所示的坐标系下,初始条件为s(0)
0,s(0)0
.
s
(3)微分方程y
2y
y
6xex
的特解y
的形式为
x2(ax
b)ex
.
解:
因为特征方程为r2
2r
1
0,r1
r2
1
而
1是二重特征
根,故应设y
x2(ax
b)ex.
(4)若y1
x2,y2
x2
e2x,y3
x2
e2x
e5x都是线性非齐次微
分方程y
p(x)y
q(x)y
f(x)
的解,则其通解为
C1e2xC2e5xx2.
解:
由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可
8/19
知,Y1y2y1e2x,Y2y3y2e5x都是对应的齐次方程的解,
且线性无关,故对应的齐次方程的通解为
YC1Y1
C2Y2C1e2x
C2e5x;由非齐次方程解的结构得其通解
yYy1
C1e2x
C2e5x
x2.
(5)(补充)已知f(x)满足xf(x)
1
x
2f(t)dt,则f(x)
x2
t
1e2.
0
x
解:
两边对x求导得f(x)
xf
(x)
x2f(x),整理得
f
(x)
x
1f(x),
x
x2
lnc,即f(x)
x2
分离变量后积分得lnf(x)
lnx
ce2,x
0;
2
x
x1时
(1)
1
1
t2
1
(e
1
1
1
又当
f
2ce2d
t
c
21)
即ce
2
1ce
2
c
t
t
0
1,所以f(x)
x2
故c
1e2.
x
(6)(补充)设f(x)
有连续导数,且f(0)
1.若曲线积分
L
yf(x)dx
[f(x)
x2]dy与路径无关,则f(x)
3ex
2x
2.
解:
记P
yf(x),Q
f(x)
x2
.因为积分与路径无关,故有
P
Q
亦即
.它的通解为
y
x,即
f(x)
f(x)2x
f(x)
f(x)
2x
f(x)
dx
dx
c]
ex[
2xexdx
c]
2x
2
cex.
e
[2xe
dx
由f(0)
1
得c
3,于是f(x)
3ex
2x
2.
9/19
(7)(补充)已知y
y(x)在任意点x处的增量y
yx
其中
=o(x),
2
1
x
π
y(0)π,则y
(1)
πe4
.
解:
由题设知,dy
y
.
dx
1x2
分离变量得dy
dx
,积分得lny
arctanxC1,即yCearctanx.
y
1x2
π
由y(0)π得Cπ,故y
(1)πe4.
2.选择题
(1)函数yc1e2xc2(c1,c2为任意常数)是微分方程yy2y0
的
(A)通解.(B)特解.
(C)不是解.(D)解,但不是通解,也不是特解.
答(D)
解:
因为yc1e2xc2ce2x,经检验是解,但含有任意常数,故不是特解,又因为只含一个独立的任意常数,故也不是通解.
(2)微分方程y
2y
2sin2
2x,其特解形式为y
(A)A
Bcos4x
Csin4x.
(B)A
Bxcos4x
Cxsin4x.
(C)Ax
Bcos4x
Csin4x.
(D)Ax
Bxcos4x
Cxsin4x.
答(C)
解
:
y2y
2sin2
2x
1cos4x
特解为
y
y1y2.
因为
r
2
2
r
0
r
1
0,r
2
2而
0
是特征方程的单根
故应
设y1Ax;
而i
4i
不是特征方程根,故应设
y2
Bcos4x
Csin4x,因此y
y1y2
Ax
Bcos4xCsin4x.
(3)微分方程(2x
y)dy(5x
4y)dx是
(A)一阶线性齐次方程.(B)一阶线性非齐次方程.
(C)齐次方程.(D)可分离变量方程.
10/19
答(C)
解:
原方程可化为dy
5x
4y
5
4
y
x.
dx
2x
y
y
2
x
(4)(补充)具有特解y1
ex,y2
2xex,y3
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