全国高中物理竞赛专题十五相对论.docx
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全国高中物理竞赛专题十五相对论
专题十五
相对论基础
【基本知识】
1、力学的相对性原理
对于描述力学规律来说,
所有惯性系都是等价的,
这就是力学
的相对性原理,亦称伽利略性相对性原理。
①在任何两个惯性系中做同一个力学实验都会得到相同的实验结果.
②用任何力学实验都无法将两个惯性系区分开.
③对于描述力学现象,所有的惯性系都是平权的.
2、伽利略变换
伽利略变换是建立在经典时空观基础上的不同参考系之间的时空变换
关系,设有两惯性参考系
S和S'相对做匀速直线运动,在每一参考系中取一直角坐标系,
令两坐标系各对就轴相互平行,开始时两坐标系的原点
O和O'重合,并设S'系相对于S
系以速度u沿x轴正方向运动,某一事件在S系的时空坐标为(x,y,z,t)
,在S'
系的时空坐标为(x',y',z',t'),它们之间的变换关系为
x'
x
ut
x
x'ut'
y'
y
y
y'
z'
z
z
z'
t'
t
t
t'
经典力学时空观的最显著特点:
一是时空是分离的,时间是绝对的;二是时间度和空间度与物质运动无关.
3、狭义相对论的基本原理
1905年爱因斯坦发表了狭义相对论的第一篇论文《论动体的电动力学》提出了狭义相
对论的两个基本原理:
⑴狭义不变原理物理定律在所有惯性系中都是相同的,所有的惯性
系都是等价的;⑵光速不变原理在所有惯性系中,真空中光速等于恒定值,它不依赖惯性系之间的运动,也与光源、观察者的运动无关.
力学相对性原理与狭义相对性原理区别:
力学相对性原理也称伽利略相对性原理,它指出了牛顿力学规律在所有惯性系中都相同,在所有惯性系中力学规律具有相同的数学表述形
式,也称具有协变性,爱因斯坦相对性原理指出,所有物理定律在所有惯性系中都相同,对于物理规律的数学描述,所有惯性系都是等价的,在两个原理中、后者包括了前者,后者又是前者的推广,比如,对于机械能守恒定律,根据力学相对性原理,相对所有惯性系都是成立的;根据爱因斯坦相对性原理,它相对于所有惯性系也都成立,但对麦克斯韦方程来说,
根据力学相对性原理,它不具有协变性,根据爱因斯坦相对性原理,它具有协变性,对所有惯性系都适用.
4、洛伦兹坐标变换
设惯性系S和S',x轴,x'轴重合,y轴、y'和z轴、z'轴相互平行;S'以匀速u
沿x轴相对于S运动;S、S'中的观测者以同样的“钟”和“尺”来计量时间和距离,都S、
S'以重合的那一瞬间2作为计时的零点,同一事件在S系和S'系中的时空坐标(x,y,z,t)和
(x',y',z',t')之间应满足如下的线性变换关系
x'
(xut)
x
(x'
ut')
y'
y
y
y'
z'
z
z
z'
t'
(t
ux)
t
(t'
u
x')
c2
或
c2
1
1
u2
式中
c2
①当S、S'间的相对速度u
c时,
1洛伦兹变换还为伽利略变换,可见伽利略变
换只是相对速度远小于光速时洛伦兹变换的近似形式.
②定义两事件(x1,y1,z1,t1)与(x2,y2,z2,t2)的间隔为
s2c2(t
2
t)2(x
x)2
(y
2
y)2
(z
z)2
1
2
1
1
2
1
由洛伦兹变换很容易证明:
不同参考系中两事件的时空间隔保持不变.
间隔是将时间和空间
统一起来的一个概念.
5、爱因斯坦速度变换
由洛伦兹坐标变换可以导出各惯性系之间的速度变换,设
(x,y,z,t)和(x',y',z',t')分别表示
同一运动质点在
S系和S'系中的时空坐标,
(vx,vy,vz)和(v'x,v'y,v'z)分别表示质点在S
系和S'系中的速度,速度变换为
x
x
u
x
x
u
ux
ux
1
1
c2
c2
y
u
或
y
u
y
u
y
u
y
y
1
1
c
2
c
2
z
zu
z
z
u
u
z
u
z
1
1
c2
c2
⑴利用相对论的速度变换式考虑一个极限情况,对于光在真空中的传播,设
v'xc,此时
有vx
c,在S'系中光速是c,在S系中光速也是c,这正是光速不变原理的体现.
⑵若S'系和S系间的相对速度远小于光速,即
u
c,而且质点的运动速度远小于光速,
则vx
c或vx'c,上述相对论速度变换关系又重新回到经典的伽利略速度变换关系.
6、同时的相对性
在一个参考系内同时发生的事件,
在另一参考系内却不是同时发生的,
这就是同时的相对
性.
设两事件在S
系中的时空坐标分别为
(x1,y1,z1,t1)与(x2,y2,z2,t2),在S'系中的时空
坐标分别为(x'1,y'1,z'1,t'1)与(x'2,y'2,z'2,t'2),则两个事件的时间间隔为
t't
'
(t
2
t)
u(x
x)
2
1
1
c2
2
1
上式表明
⑴在S系中同时但不同地发生的事件,在
S'系中并不同时.
⑵在S系中同时,同地发生的事件,在
S'系中一定同时.
⑶在S系中不同时,不同地发生的事件,在
S'系中可能同时.
⑷有因果关系的两个事件是通过某个信号相联系的,
只要信号的速度小于光速,
因果律就成
立,相对论保证了因果律成立,
有因果关系的两事件发生的时间次序是绝对的,
在任保参考
系中观察,不可能也不应该发生颠倒,
因果关系的两事件是完全独立的,
它们之间没有联系,
因此,两事件发生的时序是相对的,在不同参考系中测量,可以发生颠倒的现象.
7、时间延缓效应
在S系中,两事件发生在同一地点,其时间间隔
tt2t,S系观察两事件发生在
不同地点,时间间隔
t,由洛伦兹变换可得
t
t
。
同一地点发生两事件的时间
1u2
c2
间隔最小,称为固有时间,即运动的钟变慢了,从其他电像有相对运动的惯性系测量的两事
件时间间隔都延长了.
8、长度收缩效应
直尺沿
x
轴放置并随
S
系运动,
S
系中测得尺长
l0
x2
x1,S系观察者观察到尺在
运动,必须同时记下尺的两端的坐标
x1
和x2,测得
l
x2
x1,利用洛伦兹变换可得
u2
l12l0,相对物体为静止的惯性系中测得物体长度是最长的,称为物体的固有长度。
c
运动的物体在运动的方向上收缩。
9、光的多普勒效应
波源和接收者之间有相对运动,那么接收者接收到的频率和波源的频率不同,这种现象称作多普勒效应,接收频率为
1
2
0
1cos
式中,
vsc,vs为在接收者参考系中,某时刻光波波源的速度大小,
0为波源的振动
频率,为在接受者参考系中,光的传播方向与波源运动方向之间的夹角.
10、相对论质量
mm0
1v2c2
式中,m0为物体静止时的质量,称为静止质量,m为物体以速度v运动时的质量,上式称
为相对论质速关系,它揭示了物质与运动的不可分割性.
11、相对论动量
Pmvm0v
1v2c2
可以证明,利用这样的动量表示式,在洛伦兹变换下,能使动量守恒定律在所有的性参考系中都保持形式不变,当vc时,上式就化为经典力学的动量定义.
12、狭义相对论动力学方程
相对论动力学的基本方程可以写成
Fd(mv)mdvvdm
dtdtdt
⑴改变物体动量所要的力包括两项:
一个平行加速度dv/dt,用于改变速度。
另一个平行速
度v,用于改变质量,显然,Fma这一点在学习时应特别注意.
⑵由相对论动力学的基本方程可以得到下面的推论:
狭义相对论中,牛顿第一定律仍然成立.
⑶在狭义相对论中,牛顿第三定律不能成立,但动量守恒定律仍然成立,任何一个与外界无相互作用的系统,其动量守恒.
13、相对论动能EKmc2moc2,它表明质点的动能等于因运动而增加的质量
与光速平方的乘积.
14、相对论质能关系
Emc2
c2
m0
2
v
1
2
c
式中,
mc2
为物体静止时所具有的能量,
m
0
称为物体的静止质量.
0
15、相对论能量和动量关系
E2
E2
c2p
2
Emc2,E
mc2,pmv
0
,其中
0
0
【例题解析】
例1
已知隧道A1B1
的长度为L1,火车A2B2静止长为L2
,L2
L1。
(1)如图
(1)所示,
设火车A2B2以匀速率v驶进隧道,使得地面K系中观测者发现
A2与A1相遇时,B2与B1也相遇。
试求v值;
(2)引入随火车一起运动的
K',在K'系中的观测者必定认为
A2与A1先相遇,尔后
B2与B1相遇,试求期间的时间间隔
t2。
A
B1
解析
(1)K系中观测者发现火车的长度缩短得与隧
v
火车
道一样,是因为火车对K系是运动的,产生“尺缩效应”,
隧道
A
B
图
(1)
这时有关系L1
L21(v)2,故可知此时火车速度
c
v
c
1(L1)2;
L2
(2)对K'系而言,隧道以
v
向火车开来,隧道缩短了,
K'系中的观测者认为隧道长度
L'1L11(v)2
L12
,而火车长L2
,两者差距
L
L2
L'1,那么先后相遇所历时间应为:
c
L2
L
L22
L12
L22
L12
t
v
cL22
L12
C
例2
把电子的速度由0.9c
增加到0.99c.
所需能量为多少?
这时电子的质量增加多少?
解析
1
1
1
2.294
1
v2/c2
1
0.92
2
1
7.0888
1
0.992
E
k
mc2
mc2
mc2
(1)
E
E
0
0
(
)
故
E
k
k2
k1
mc2
2
1
0
(7.0888
2.294)
9.1
10
31
9
1016
3.93
1013J
m
(
2
1)mo
4.37
1030kg
例3在h0=6000m高层大气中产生一μ子,μ子以0.998c的速率向地面飞来,静止的
μ子的平均寿命为2106s,问在μ子衰变以前,能否到达地球表面?
解析地面上的观测者按经典理论计算,μ子走过的距离为
d1
t
0.998
3
1082
106
598.8m
d1
h0,因此,按μ子的平均寿命,它似乎不可能到达地面。
实际上
μ子的速率与光速
c可以比拟,必须考虑相对论效应。
μ子相对地面运动,在地面上的观测者看来,它的平均寿命
为
t地
t
2
106
31.6
106s
1(
)
2
1
0.9982
c
地面上的观测者所计算的μ子可飞行的距离为
d2
t地
0.9983108
31.6
106
9461m
d2
h0。
因此,按μ子平均寿命,它能够到达地面。
例4在地面上有一跑道长
100m,运动员从起点跑到终点,用时
10s,现从以速度0.
8c向前飞行的飞船中观测:
(1)跑道有多长?
(2)运动员跑过的距离和所用的时间为多少?
解析以地面参考系为
S系,飞船参考系为S'系。
(1)跑道固定在
S系中,原长l0
100m。
由于S'系相对S系高速运动,因而在
S'系
中观测,跑道长度为l
l0
1()2
1000.660m
c
x
t
t
2
x
(2)
x
,
t
c
1
(
)2
1(
c
)2
c
将x
100m,
t
10s和
0.8c代入以上两式,计算得
x
100
0.8
3
108
10
2.4
109
10
0.6
0.6
0.4
10m
计算结果中的负号表示在
S'系中观测,运动员是沿
x'负方向后退。
10
0.8
108
100
(3
108)2
10
16.6s
t
0.6
0.6
S中,有一个光子,沿x轴
例5(第19届复赛)在相对于实验室静止的平面直角坐标系
正方向射向一个静止于坐标原点
O的电子.在y轴方向探测到一个散射光子.已知电子的
静止质量为m0,光速为c,入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的
1/
10.
1.试求电子运动速度的大小v,电子运动的方向与x轴的夹角;电子运动到离原点距
离为L0(作为已知量)的
A点所经历的时间
t.
2.在电子以1中的速度v开始运动时,一观察者S相对于坐标系
S也以速度v沿S中
电子运动的方向运动
(即S相对于电子静止),试求S测出的OA的长度.
解析
(1)由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为
m0c2
1.10m0c
2
(1)
1(v2/c2)
由此可解得
v
0.21
0.417c
0.42c
(2)
1.10
入射光子和散射光子的动量分别为
p
h和p
h
,
c
c
方向如图所示。
电子的动量为
mv,m为运动电子的相对论质
量。
由动量守恒定律可得
光子散射方向
m0v
cos
h
(3)
电子
1
(v2/c2)
c
光子入射方向
m0v
h
A
sin
(4)
光子入射方向
1(v2/c2)
c
图
(2)
已知
h
h0.10m0c2
(5)
由
(2)、(3)、(4)、(5)式可解得
0.37mc2
/h
(6)
0
0.27m0c2/h
(7)
tan-1
arctan(27)
36.1
(8)
37
电子从O点运动到A所需时间为t
L0
2.4L0/c
(9)
v
(2)当观察者相对于S沿OA方向以速度v运动时,由狭义相对论的长度收缩效应得
LL01(v2/c2)
(10)
L0.91L0
(11)
例6(第21届复赛)子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命
0
2.0106s.宇
宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批
子,以v=0.99c的速度(c
为真空中的光速)
向下运动并衰变.根据放射性衰变定律,相对给定惯性参考系,若t=0
时刻的粒子数为N(0),
t时刻剩余的粒子数为
N(t),则有Nt
N0et,式中为相对该惯性系粒子的平均寿命.
若
能到达地面的
子数为原来的5%,试估算
子产生处相对于地面的高度
h.不考虑重力和地
磁场对子运动的影响.
解析
因子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命
0
2.0106s
根据时间膨胀效应,在地球上观测到的
子平均寿命为
,
0
1
vc2
代入数据得
=1.4×10-5s
相对地面,若
子到达地面所需时间为
t,则在t时刻剩余的
子数为
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- 全国 高中物理 竞赛 专题 十五 相对论
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