线面平行性质.docx
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线面平行性质.docx
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线面平行性质
考试范围:
xxx;考试时间:
100分钟;命题人:
xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一.选择题(共14小题)
1.如图,各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1,M,N分别为线段A1B,B1C上的动点,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有( )
A.1条B.2条C.3条D.无数条
2.如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M是平面A1B1C1D1内一点,且BM∥平面ACD1,则tan∠DMD1的最大值为( )
A.
B.1C.2D.
3.已知α,β表示平面,a,b表示直线,则a∥α的一个充分条件是( )
A.a⊥β,α⊥βB.α⊥β=b,a∥bC.a∥b,b∥αD.α∥β,a⊂β
4.已知直线a和平面α,那么a∥α的一个充分条件是( )
A.存在一条直线b,a∥b,b⊂αB.存在一条直线b,a⊥b,b⊥α
C.存在一个平面β,a⊂β,α∥βD.存在一个平面β,a⊥β,α⊥β
5.已知两条直线a,b和平面α,若b⊂α,则a∥b是a∥α的( )
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
6.已知平面α∥平面β,直线m⊂平面α,那么直线m与平面β的关系是( )
A.直线m在平面β内B.直线m与平面β相交但不垂直
C.直线m与平面β垂直D.直线m与平面β平行
7.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
8.设α、β、γ是三个不同的平面,a、b是两条不同的直线,给出下列4个命题:
①若a∥α,b∥α,则a∥b;②若a∥α,b∥β,a∥b,则α∥β;③若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β;④若a、b在平面α内的射影互相垂直,则a⊥b.其中正确命题是( )
A.③B.④C.①③D.②④
9.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m
10.直线a∥平面α的一个充分条件是( )
A.存在一条直线b,b∥α,a∥bB.存在一个平面β,a⊂β,α∥β
C.存在一个平面β,a∥β,α∥βD.存在一条直线b,b⊂α,a∥b
11.已知两条直线a,b,两个平面α,β,则下列结论中正确的是( )
A.若a⊂β,且α∥β,则a∥αB.若b⊂α,a∥b,则a∥α
C.若a∥β,α∥β,则a∥αD.若b∥α,a∥b,则a∥α
12.已知直线a,b,平面α,β,则a∥α的一个充分条件是( )
A.a⊥b,b⊥αB.a∥β,β∥αC.b⊂α,a∥bD.a∥b,b∥α,a⊄α
13.平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
14.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
②若α⊥γ,β⊥α,则γ∥β;
③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β;
④若m、n是异面直线,m⊥α,m∥β,n⊥β,n∥α,则α⊥β
其中真命题是( )
A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④
第Ⅱ卷(非选择题)
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人
得分
二.填空题(共3小题)
15.如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是 .
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;
②BC∥平面A′DE;
③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值.
16.空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则BC与AD的位置关系是 ;四边形EFGH是 形;当 时,四边形EFGH是正方形.
17.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β;
④若m、n是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则α∥β
上面四个命题中,其中真命题有 .
评卷人
得分
三.解答题(共8小题)
18.在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M,N,E分别是AB,PC,AD的中点,平面EMN交PD于F.
(1)求证:
MN∥平面PAD;
(2)求证:
MN∥EF.
19.已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且EH∥FG.求证:
EH∥BD.
20.如图1,在等腰梯形ABCD中,BC∥AD,BC=
AD=2,∠A=60°,E为AD中点,点O,F分别为BE,DE的中点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,使得平面A1BE⊥平面BCDE(如图2).
(Ⅰ)求证:
A1O⊥CE;
(Ⅱ)求直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值;
(Ⅲ)侧棱A1C上是否存在点P,使得BP∥平面A1OF?
若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
21.已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且EH∥FG.求证:
EH∥BD.
22.如图:
E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点,平面α过EH分别交BC、CD于F、G.
求证:
EH∥FG.
23.在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又∠CAD=30°,PA=AB=4,点N在线段PB上,且
.
(Ⅰ)求证:
BD⊥PC;
(Ⅱ)求证:
MN∥平面PDC;
(Ⅲ)设平面PAB∩平面PCD=l,试问直线l是否与直线CD平行,请说明理由.
24.空间四边形ABCD,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E、F、G、H.求证:
四边形EFGH为平行四边形.
25.已知α∩β=a,β∩γ=m,γ∩α=b,且m∥α,求证:
a∥b.
参考答案与试题解析
一.选择题(共14小题)
1.如图,各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1,M,N分别为线段A1B,B1C上的动点,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有( )
A.1条B.2条C.3条D.无数条
【分析】任取线段A1B上一点M,过M作MH∥AA1,交AB于H,过H作HG∥AC交BC于G,过G作CC1的平行线,与CB1一定有交点N,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有无数个.
【解答】解:
如图,任取线段A1B上一点M,过M作MH∥AA1,交AB于H,过H作HG∥AC交BC于G,
过G作CC1的平行线,与CB1一定有交点N,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有无数个.
故选:
D.
【点评】不本题考查了空间线面位置关系,转化思想,属于中档题.
2.如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M是平面A1B1C1D1内一点,且BM∥平面ACD1,则tan∠DMD1的最大值为( )
A.
B.1C.2D.
【分析】根据题意,连接A1C1,B1D1,交于点M,点M满足条件,通过证明得出A1C1∥平面ACD1,BM∥平面ACD1,得出点M在直线A1C1上时,都满足BM∥ACD1;
从而求出tan∠DMD1的最大值.
【解答】解:
如图所示,
正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,连接A1C1,B1D1,交于点M,则点M满足条件;
证明如下,连接BD,交AC于点O,连接BM,OD1,
则A1A∥C1C,且A1A=C1C,
∴四边形ACC1A1是平行四边形,
∴AC∥A1C1,
又AC⊂平面ACD1,且A1C1⊄平面ACD1,
∴A1C1∥平面ACD1;
同理BM∥D1O,BM∥平面ACD1,
∴当M在直线A1C1上时,都满足BM∥ACD1;
∴tan∠DMD1=
=
=
是最大值.
故选:
D.
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题,也考查了推理与运算能力的应用问题,是综合性题目.
3.已知α,β表示平面,a,b表示直线,则a∥α的一个充分条件是( )
A.a⊥β,α⊥βB.α⊥β=b,a∥bC.a∥b,b∥αD.α∥β,a⊂β
【分析】根据A、B、C三个选项都不能排除a⊂α,而选项D,根据线面平行的性质可知正确,从而得到结论.
【解答】解:
选项A,a⊥β,α⊥β⇒a∥α或a⊂α
选项B,α⊥β=b,a∥b⇒a∥α或a⊂α
选项C,a∥b,b∥α⇒a∥α或a⊂α
A、B、C三个选项都不能排除a⊂α,
选项D,根据线面平行的性质可知正确
故选:
D.
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,以及面面垂直的性质、面面平行的性质等有关知识,同时考查了空间想象能力,属于基础题.
4.已知直线a和平面α,那么a∥α的一个充分条件是( )
A.存在一条直线b,a∥b,b⊂αB.存在一条直线b,a⊥b,b⊥α
C.存在一个平面β,a⊂β,α∥βD.存在一个平面β,a⊥β,α⊥β
【分析】A、直线a可能在α内B、直线a可能在α内C、由面面平行的性质定理判断D、直线a可能在α内.
【解答】解:
A、直线a在α内时,不正确
B、直线a在α内时,不正确
C、面面平行的性质定理知正确
D、直线a在α内时,不正确
故选:
C.
【点评】本题主要考查在应用定理或常见结论时一定要条件全面,提醒学生做题量考虑要具体全面.
5.已知两条直线a,b和平面α,若b⊂α,则a∥b是a∥α的( )
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
【分析】我们先判断a∥b⇒a∥α与a∥α⇒a∥b的真假,然后利用充要条件的定义,我们易得到a∥b是a∥α的关系.
【解答】解:
当b⊂α是
若a∥b时,a与α的关系可能是a∥α,也可能是a⊂α,即a∥α不一定成立,故a∥b⇒a∥α为假命题;
若a∥α时,a与b的关系可能是a∥b,也可能是a与b异面,即a∥b不一定成立,故a∥α⇒a∥b也为假命题;
故a∥b是a∥α的既不充分又不必要条件
故选:
D.
【点评】本题考查的知识点是充要条件,直线与平面平行关系的判断,先判断a∥b⇒a∥α与a∥α⇒a∥b的真假,然后利用充要条件的定义得到结论是证明充要条件的常规方法,要求大家熟练掌握.
6.已知平面α∥平面β,直线m⊂平面α,那么直线m与平面β的关系是( )
A.直线m在平面β内B.直线m与平面β相交但不垂直
C.直线m与平面β垂直D.直线m与平面β平行
【分析】根据线面平行的性质得到直线m与平面β没有公共点,由线面平行的定义可得.
【解答】解;因为平面α∥平面β,直线m⊂平面α,
所以直线m与平面β没有公共点,
所以直线m∥平面β;
故选:
D.
【点评】本题考查了面面平行的性质以及线面平行的判定,运用了线面平行的定义,属于基础题.
7.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
【分析】对于①,可以构造面面平行,考虑线面平行定义;对于②,考虑线面平行的判定及定义;对于③,可以用线面平行的定义及判定定理判断;对于④,用线面平行的判定定理即可.
【解答】解:
对图①,构造AB所在的平面,即对角面,可以证明这个对角面与平面MNP,由线面平行的定义可得AB∥平面MNP.
对图④,通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP;
对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行;
故选:
B.
【点评】本题考查线面平行的判定,主要考虑定义、判定定理两种方法,同时运用面面平行的性质解决问题.
8.设α、β、γ是三个不同的平面,a、b是两条不同的直线,给出下列4个命题:
①若a∥α,b∥α,则a∥b;②若a∥α,b∥β,a∥b,则α∥β;③若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β;④若a、b在平面α内的射影互相垂直,则a⊥b.其中正确命题是( )
A.③B.④C.①③D.②④
【分析】根据直线与平面平行的判断定理及其推论对①、②、③、④四个命题进行一一判断;
【解答】解:
①a与b可以相交,故①错误;
②∵α与β可以垂直,故②错误;
③∵a⊥α,b⊥β,a⊥b,⇒α⊥β,故③正确;
④∵a、b在平面α内的射影互相垂直,a与b不一定是垂直的,有可能斜交,故④错误;
故选:
A.
【点评】此题考查直线与平面平行的判断定理:
公理二:
如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上
公理三:
三个不共线的点确定一个平面
推论一:
直线及直线外一点确定一个平面
推论二:
两相交直线确定一个平面,
这些知识要熟练掌握.
9.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m
【分析】根据题意,依次分析选项:
A,根据线面垂直的判定定理判断.C:
根据线面平行的判定定理判断.D:
由线线的位置关系判断.B:
由线面垂直的性质定理判断;综合可得答案.
【解答】解:
A,根据线面垂直的判定定理,要垂直平面内两条相交直线才行,不正确;
C:
l∥α,m⊂α,则l∥m或两线异面,故不正确.
D:
平行于同一平面的两直线可能平行,异面,相交,不正确.
B:
由线面垂直的性质可知:
平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故正确.
故选:
B.
【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理,也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查,属中档题
10.直线a∥平面α的一个充分条件是( )
A.存在一条直线b,b∥α,a∥bB.存在一个平面β,a⊂β,α∥β
C.存在一个平面β,a∥β,α∥βD.存在一条直线b,b⊂α,a∥b
【分析】根据直线与平面平行的判断定理及其推论对A、B、C、D四个选项进行一一判断;
【解答】解:
A、∵b∥α,a∥b,若a⊂α,则直线a不可能与平面α平行,故A错误;
B、∵a⊂β,α∥β⇒直线a∥平面α,故B正确;
C、∵a∥β,α∥β,若a⊂α,则直线a不可能与平面α平行,故C错误;
D、∵b⊂α,a∥b,若a⊂α,则直线a不可能与平面α平行,故D错误;
故选:
B.
【点评】此题考查直线与平面平行的判断定理:
公理二:
如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上
公理三:
三个不共线的点确定一个平面
推论一:
直线及直线外一点确定一个平面
推论二:
两相交直线确定一个平面,
这些知识要熟练掌握.
11.已知两条直线a,b,两个平面α,β,则下列结论中正确的是( )
A.若a⊂β,且α∥β,则a∥αB.若b⊂α,a∥b,则a∥α
C.若a∥β,α∥β,则a∥αD.若b∥α,a∥b,则a∥α
【分析】根据直线与平面平行的判断定理及其推论对A、B、C、D四个选项进行一一判断;
【解答】解:
A、∵α∥β,又a⊂β,∴a∥α故A正确;
B、∵b⊂α,a∥b,若a⊂α,则a不可能与α平行,故B错误;
C、∵a∥β,α∥β,若a⊂α,则结论不成立,故C错误;
D、∵b∥α,a∥b,若a⊂α,则结论不成立,故D错误;
故选:
A.
【点评】此题考查直线与平面平行的判断定理:
公理二:
如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上
公理三:
三个不共线的点确定一个平面
推论一:
直线及直线外一点确定一个平面
推论二:
两相交直线确定一个平面,
这些知识要熟练掌握.
12.已知直线a,b,平面α,β,则a∥α的一个充分条件是( )
A.a⊥b,b⊥αB.a∥β,β∥αC.b⊂α,a∥bD.a∥b,b∥α,a⊄α
【分析】A:
由线面位置关系可知直线a要能在平面内,B:
由线面位置关系可知直线a要能在平面内,C:
不符合线面平行的判定理,D:
由线面平行的判定理判断.
【解答】解:
A:
a⊥b,b⊥α,则a与平面平行或在平面内,不正确.
B:
a∥β,β∥α,则a与平面平行或在平面内,不正确.
C:
b⊂α,a∥b,则a与平面平行或在平面内,不正确.
D:
由线面平行的判定理知,正确.
故选:
D.
【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及判定定理,也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查,属中档题
13.平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
【分析】依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的,筛选出正确的.
【解答】证明:
对于A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行.故A不对;
对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故B不对;
对于C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故C不对;
对于D,两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行,故D正确.
【点评】考查面面平行的判定定理,依据条件由定理直接判断.
14.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
②若α⊥γ,β⊥α,则γ∥β;
③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β;
④若m、n是异面直线,m⊥α,m∥β,n⊥β,n∥α,则α⊥β
其中真命题是( )
A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④
【分析】要求解本题,需要寻找特例,进行排除即可.
【解答】解:
①因为α、β是不重合的平面,m⊥α,m⊥β,所以α∥β;
②若α⊥γ,β⊥α,α、β、γ是三个两两不重合的平面,可知α不一定平行β;
③m∥α,n∥β,m∥n,αβ可能相交,不一定平行;
④因为mn两直线是异面直线,可知不平行,又因为m⊥α,m∥β,n⊥β,n∥α,可知α、β只能满足垂直关系.
故选:
D.
【点评】本题考查学生的空间想象能力,是基础题.
二.填空题(共3小题)
15.如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是 ①③ .
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;
②BC∥平面A′DE;
③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值.
【分析】根据已知结合等腰三角形三线合一,线面垂直及面面垂直的判定定理,可证得平面ABC⊥平面A′GF,进而根据面面垂直的性质可判断①;由A′与A,F两点重合时,BC⊂平面A′DE可判断②;当平面ABC⊥平面A′DE时,三棱锥A′﹣FED的高取最大值,三棱锥A′﹣FED的体积取最大值,可判断③.
【解答】解:
∵等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,
∴G为AF和DE的中点,且AF⊥DE于G点
则△A′DE与△FDE均为等边三角形,
∴A′G⊥DE且FG⊥DE
又∵A′G∩FG=G,A′G,FG⊂平面A′GF
∴DE⊥平面A′GF
又由DE⊂平面ABC
∴平面ABC⊥平面A′GF
故动点A′在平面ABC上的射影在两个平面的交线线段AF上;故①正确
由BC∥DE,当BC⊄平面A′DE,即A′与A,F两点不重合时,BC∥平面A′DE;
但A′与A,F两点重合时,BC⊂平面A′DE;故②错误
当平面ABC⊥平面A′DE时,三棱锥A′﹣FED的高取最大值,三棱锥A′﹣FED的体积取最大值.故③正确
故正确的命题有①③
故答案为:
①③
【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了直线与平面平行的判定,线面垂直,面面垂直的判定与性质,棱锥的体积,难度不大,属于基础题.
16.空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则BC与AD的位置关系是 异面直线 ;四边形EFGH是 平行四边 形;当 BD=AC,BD⊥AC 时,四边形EFGH是正方形.
【分析】利用反证法得到BC,AD是异面直线;利用三角形的中位线平行且等于底边的一半判断出EFGH的形状及有其形状判断出AC,BD的位置关系.
【解答】解:
假设BC,AD是共面直线,则A,B,C,D共面;
所以四边形ABCD是平面四边形与已知矛盾,
故BC,AD是异面直线,
∵E,F,分别是AB,BC的中点,
∴EF∥BD;EF=
BD;同理GH∥BD;GH=
BD;
所以四边形EFGH是平行四边形,
若四边形是正方形,则四边形是矩形且是菱形,则:
BD=AC,BD⊥AC.
故答案为:
异面直线;平行四边;BD=AC且BD⊥AC.
【点评】证明或判断两直线是异面直线常用反证法、三角形的中位线平行且等于底边的一半,属于中档题.
17.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β;
④若m、n是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则α∥β
上面四个命题中,其中真命题有 ①和④ .
【分析】利用直线与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定,对选项逐一判断即可.
【解答】解:
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;垂直同一条直线的两个平面平行,正确.
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;可能平面α和β相交,不正确.
③若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β;可能平面α和β相交,不正确.
④若m、n是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则α∥β,满足两个平面平行的判断,正确.
故答案为:
①④
【点评】本题考查平面与平面平行的判定,考查学生灵活运用知识的能力,是基础题.
三.解答题(共8小题)
18.在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M,N,E分别是AB,PC,AD的中点,平面EMN交PD于F.
(1)求证:
MN∥平面PAD;
(2)求证:
MN∥EF.
【分析】
(1)取CD中点O,连结NO、MO,则NO∥PD,MO∥AD,从而平面PAD∥平面MNO,由此能证明MN∥PAD.
(2)由平面PAD∥平面MNO,MN⊂平面MNO,MN⊂平面PAD,能证明MN∥EF.
【解答】证明:
(1)取CD中点O,连结NO、MO,
∵M,N,E分别是AB,PC,AD的中点,
∴NO∥PD
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- 关 键 词:
- 平行 性质