函数定义域值域求法全十一种.docx

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函数定义域值域求法全十一种

实用标准

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1

求函数y

x2

2x

15

|x

3|

8

的定义域。

解：

要使函数有意义，则必须满足

x2

2x

15

0

①

|x

3|

80

②

由①解得

x

3或x

5。

③

由②解得

x

5

或x

11

④

③和④求交集得

x

3

且x

11或x>5。

故所求函数的定义域为

{x|x

3且x

11}

{x|x

5}。

例2

求函数y

sinx

1

的定义域。

16

x2

解：

要使函数有意义，则必须满足

sinx

0

①

16

x2

0

②

由①解得

2k

x

2k

，k

Z

③

由②解得

4x

4

④

由③和④求公共部分，得

4

x

或0

x

故函数的定义域为

（4，]

（0，]

评注：

③和④怎样求公共部分？

你会吗？

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函

数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域。

（2）其解法是：

已知

f（x）的定义域是［a，b］求f[g（x）]的定义域是解

a

g（x）

b，

即为所求的定义域。

例3

已知f（x）的定义域为［－

2，2］，求f（x2

1）的定义域。

解：

令

2x2

1

2，得

1x2

3，即

0x2

3，因此0

|x|

3，从而

3x

3，故函数的定义域是

{x|

3x

3}。

（2）已知f[g（x）]的定义域，求

f（x）的定义域。

其解法是：

已知

f[g（x）]的定义域是［a，b］，求f（x）定义域的方法是：

由

a

x

b，求

g（x）的值域，即所求

f（x）的定义域。

例4

已知f（2x

1）的定义域为［1，2］，求f（x）的定义域。

解：

因为

1x

2，2

2x

4，3

2x

15。

即函数f（x）的定义域是{x|3

x

5}。

三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为

R，求

参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5

已知函数y

mx2

6mxm

8的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：

函数的定义域为

R，表明mx2

6mx8

m0，使一切x∈R都成立，由x2项

文档大全

实用标准

的系数是m，所以应分m=0或m

0进行讨论。

解：

当m=0时，函数的定义域为R；

当m

0时，mx2

6mx

m

8

0是二次不等式，其对一切实数

x都成立的充要条件

是

m

0

（6m）2

4m（m

8）

0

0

m

1

综上可知0

m

1

。

评注：

不少学生容易忽略

m=0的情况，希望通过此例解决问题。

例6

已知函数f（x）

kx

7

的定义域是R，求实数k的取值范围。

4kx

kx2

3

解：

要使函数有意义，则必须

kx2

4kx3≠0恒成立，因为f（x）的定义域为

R，即

kx2

4kx3

0无实数

3

①当k≠0时，

16k2

4

3k

0恒成立，解得0k

；

②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

4

综上k的取值范围是0

k

3

。

4

四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：

设矩形一边为

x，则另一边长为1（a

2x）于是可得矩形面积。

1（a

1ax

2

yx

2x）

x2

2

2

x2

1ax。

2

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

x0

x

0

1（a

2x）

0

a

2x

0

2

0

x

a

。

2

x21ax，定义域为（

0，a）。

故所求函数的解析式为

y

2

2

例8

用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为

2x，

求此框架围成的面积

y与x的函数关系式，并求定义域。

解：

由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。

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实用标准

因为CD=AB=2x，所以CD

x，所以AD

L

AB

CD

L

2xx，

x2

2

2

故y

2x

L

2x

x

2

2

（2

）x2

Lx

2

根据实际问题的意义知

2x

0

L

L

2x

x

0

x

0

2

2

故函数的解析式为

y

（2

）x

2

Lx，定义域（

，

L

）。

2

0

2

五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9

已知f（x）的定义域为［

0，1］，求函数F（x）

f（x

a）

f（x

a）的定义域。

解：

因为f（x）的定义域为［

0，1］，即0x

1

。

故函数F（x）的定义域为下列不等式组

的解集：

0

x

a

1，即

a

x

1

1

a

0

x

a

1

a

x

a

即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知

（1）当

1

a0

F

x

）的定义域为

{x|

a

x

1a}

；

2

时，（

1

（2）当0

a

x

1

a}；

时，F（x）的定义域为{x|a

1

2

1

（3）当a

或a

时，上述两区间的交集为空集，此时

F（x）不能构成函数。

2

2

六、隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域

隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。

因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10求函数

y

log2（

x2

2x

3）的单调区间。

解：

由

x2

2x

3

0，即x2

2x3

0，解得

1x

3。

即函数y的定义域为

（－1，3）。

函数y

log2（

x2

2x

3）是由函数y

log2t，t

x2

2x3复合而成的。

t

x2

2x

3

（x

1）2

4，对称轴

x=1，由二次函数的单调性，可知

t

在区间

（

，1]上是增函数；在区间

[1，

）上是减函数，而y

log2t在其定义域上单调增；

（

1，3）

（，1]

（1，1]，（1，3）

[1，）

[1，3），所以函数y

log2（x2

2x

3）在区

间（

1，1]上是增函数，在区间

[1，3）上是减函数。

函数值域求法十一种

1.直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

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实用标准

1

y

例1.求函数x的值域。

1

0

∴x

显然函数的值域是：

（,0）（0,）

例2.求函数y

3

x的值域。

解：

∵x0

x0,3x3

故函数的值域是：

[,3]

2.配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3.求函数yx22x5,x[1,2]的值域。

解：

将函数配方得：

y（x1）2

4

∵x[1,2]

由二次函数的性质可知：

当x=1时，ymin

4，当x

1时，ymax8

故函数的值域是：

[4，8]

3.判别式法

1

x

x2

y

x2的值域。

例4.求函数

1

解：

原函数化为关于x的一元二次方程

（y1）x2（y1）x0

（1）当y

1时，x

R

（1）2

4（y1）（y

1）0

1

3

解得：

2

y

2

（2）当y=1时，x

1

1,3

0，而

22

1,3

故函数的值域为22

例5.

求函数y

x

x（2x）的值域。

解：

两边平方整理得：

2x2

2（y1）xy2

0

（1）

∵x

R

∴

4（y1）2

8y

0

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实用标准

解得：

12y12

但此时的函数的定义域由x（2x）

0，得0x2

2x2

2（y1）xy2

0

在实数集R有实根，

由0，仅保证关于x的方程：

而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程

（1）有实根，由0

1,3

求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为22。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵0x2

yx

x（2

x）

0

ymin

0,y1

2代入方程

（1）

2

2

24

2

x1

[0,2]

解得：

2

22242

即当x12时，

原函数的值域为：

[0,12]

注：

由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4.反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函

数的值域。

3x4

例6.求函数5x6值域。

x

46y

解：

由原函数式可得：

5y3

则其反函数为：

y

4

6y

，其定义域为：

x

3

5x

3

5

3

故所求函数的值域为：

5

5.函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主

来确定函数的值域。

ex

1

y

1的值域。

例7.求函数ex

exy1

解：

由原函数式可得：

y1

∵ex0

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y1

∴y1

实用标准

0

解得：

1y1

故所求函数的值域为（1,1）

例8.求函数y

cos

x

sinx

3的值域。

解：

由原函数式可得：

ysinxcosx3y，可化为：

y2

1sinx（x

）

3y

sinx（x

）

3y

y2

1

即

∵xR

∴sinx（x

）[1,1]

1

3y

1

即y21

2

y

2

解得：

4

4

2,

2

故函数的值域为

4

4

6.函数单调性法

例9.求函数

y2x5

log3

x1（2x10）

的值域。

解：

令y12x5,y2

log3

x1

则y1,y2在[2，10]上都是增函数

所以yy1y2在[2，10]上是增函数

当x=2时，ymin

2

3

log3

2

1

1

8

当x=10时，ymax

25

log3

9

33

1,33

故所求函数的值域为：

8

例10.求函数yx1x1的值域。

y

2

解：

原函数可化为：

x1x1

令y1

x1,y2x

1，显然y1,y2在[1,]上为无上界的增函数

所以y

y1，y2在[1,

]上也为无上界的增函数

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实用标准

2

2

所以当x=1时，yy1y2有最小值2，原函数有最大值2显然y0，故原函数的值域为（0,2]

7.换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11.求函数yxx1的值域。

解：

令x1t，（t0）

则x

t

2

1

∵y

2

1

2

3

t

t1（t

2

）

4

又t

0

，由二次函数的性质可知

当t

0

时，ymin

1

当t0时，y

故函数的值域为[1,）

例12.求函数y

x

2

1

（x

1）2

的值域。

解：

因1（x1）2

0

即（x1）2

1

故可令x

1

cos

[0,

]

∴ycos

1

1

cos2

sin

cos

1

2sin（

）

1

4

∵0

0

5

4

4

2

sin（

）

1

2

4

0

2sin（

）

1

1

2

4

故所求函数的值域为[0,1

2]

y

x3

x

例13.求函数

x

4

2x2

1的值域。

y

1

2x

1

x2

解：

原函数可变形为：

2

1

x2

1

x2

可令x

tg，则有1

2x

sin2,1

x2

cos2

x2

1

x2

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实用标准

y

1sin2

cos2

1sin4

2

4

k

8时，ymax

1

当

2

4

k

8时，ymin

1

当

2

4

而此时tan

有意义。

1

1

故所求函数的值域为

4

4

例14.

求函数y

x

（sin

x

1）（cos

x

1），

122的值域。

解：

y

（sin

x

1）（cos

x

1）

sinxcosx

sinxcosx

1

令sinx

cosx

t，则

sinxcosx

1（t2

1）

2

y

1（t2

1）t1

1（t1）2

2

2

由t

sinx

cosx

2sin（x

/4）

x,

且122

2

t

2

可得：

2

ymax

3

2

t

2

3

2

∴当t2时，

2

，当

2时，

y

2

4

3

2

3

2

故所求函数的值域为4

2

2

。

例15