高等代数 第四章 线性变换.docx
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高等代数第四章线性变换
第四章线性变换
习题精解
1、 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:
1) 在线性空间V中,A,其中V是一固定的向量;
2) 在线性空间V中,A其中V是一固定的向量;
3) 在P中,A;
4) 在P中,A;
5) 在P[]中,A
6) 在P[]中,A其中P是一固定的数;
7) 把复数域上看作复数域上的线性空间,A
8) 在P中,AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵、
解1)当时,是;当时,不是。
2)当时,是;当时,不是。
3)不是。
例如当,时,A,A,
A A(、
4)是、因取,有
A= A
=
=
=A+A
A A
=A
故A是P上的线性变换。
5)是、因任取,并令
则
A=A===A+A
再令则AAA
故A为上的线性变换、
6)是、因任取则、
A=AA
AA
7)不是。
例如取a=1,k=I,则
A(ka)=-i, k(Aa)=i,A(ka)kA(a)
8)是、因任取二矩阵,则
A(A+A
A(k)=A
故A是上的线性变换、
2、在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换、证明:
A=B=C=E,ABBA,AB=BA
并检验(AB)=AB是否成立、
解 任取一向量a=(x,y,z),则有
1)因为
Aa=(x,-z,y),Aa=(x,-y,-z)
Aa=(x,z,-y), Aa=(x,y,z)
Ba=(z,y,-x), Ba=(—x,y,-z)
Ba=(-z,y,x),Ba=(x,y,z)
Ca=(—y,x,z),Ca=(-x,—y,z)
Ca=(y,—x,z),Ca=(x,y,z)
因此
A=B=C=E
2)因为
AB(a)=A(z,y,—x)=(z,x,y)
BA(a)=B(x,—z,y)=(y,-z,—x)
因此
ABBA
3)因为
AB(a)=A(—x,y,—z)=(-x,-y,z)
BA(a)=B(x,-y,—z)=(—x,—y,z)
因此
AB=BA
3)因为
(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)
AB(a)=(—x,-y,z)
因此
(AB)AB
3、在P[x]中,AB
证明:
AB—BA=E
证任取P[x],则有
(AB-BA)=AB-BA=A(-B(=—=
因此 AB-BA=E
4、设A,B是线性变换,假如AB—BA=E,证明:
AB—BA=A(k>1)
证采纳数学归纳法。
当k=2时
AB-BA=(AB—ABA)+(ABA—BA)=A(AB—BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A
结论成立。
归纳假设时结论成立,即AB-BA=A、则当时,有
AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB—BA)A=AE+AA=A
即时结论成立、故对一切结论成立、
5、证明:
可逆变换是双射、
证 设A是可逆变换,它的逆变换为A、
若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A,有a=b,这与条件矛盾、
其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令Ab=a即可、
因此,A是一个双射、
6、设,,,是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换。
证明:
A是可逆变换当且仅当A,A,,A线性无关、
证因
A(,,,)=(A,A,,A)=(,,,)A
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关、故A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关、
7、求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1)第1题4)中变换A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;
2)[o; ,]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对的垂直投影,求A,B,AB在基,下的矩阵;
3)在空间P[x]中,设变换A为
试求A在基=(I=1,2,,n—1)
下的矩阵A;
4)六个函数=ecos,=esin
=ecos,=esin
=ecos,=esin
的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D在基(i=1,2,,6)下的矩阵;
5)已知P中线性变换A在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩阵是求A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;
6)在P中,A定义如下:
其中
求在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;
7)同上,求A在,,下的矩阵、
解1)A=(2,0,1)=2+
A=(-1,1,0)=-+
A=(0,1,0)=
故在基,,下的矩阵为
2)取=(1,0),=(0,1)则A=+,
A=+
故A在基,下的矩阵为A=
又因为B=0,B=因此B在基,下的矩阵为B=,另外,(AB)=A(B)=A=+
因此AB在基,下的矩阵为AB=,
3)因为
因此A
A
A
={}
=
因此A在基,,,下的矩阵为A=,
4)因为D=a-b,
D=b-a,
D=+a—b,
D=+b+a,
D=+a-b,
D=+b+a
因此D在给定基下的矩阵为D=,
5)因为(,,)=(,,),因此
(,,)=(,,)=(,,)X,
故A在基,,下的矩阵为
B=XAX==、
6)因为(,,)=(,,),
因此A(,,)=A(,,),
但已知A(,,)=(,,)故
A(,,)=(,,)
=(,,)
=(,,)
7)因为(,,)=(,,)
因此A(,,)=(,,)
=(,,)。
8、在P中定义线性变换A(X)=X,A(X)=X,A(X)=X,
求A,A,A在基E,E,E,E下的矩阵、
解因
AE=a E+cE,AE=aE+c E,
AE=bE+dE,AE=bE+dE,
故A在基E, E,E, E下的矩阵为
A=
又因
AE=aE+bE,AE=cE+dE,
AE=aE+bE,AE= cE+dE,
故A在基E, E, E, E下的矩阵为
A=
又因
AE=aE+abE+acE+bcE
AE= acE+adE+cE+cdE
AE=abE+bE+adE+bdE
AE=bcE+bdE+cdE+dE
故A在基E,E,E,E下的矩阵为
9、设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为
A=
1)求A在基下的矩阵;
2)求A在基下的矩阵,其中且;
3)求A在基下的矩阵。
解1)因
A=+a
A=
A=
故A在基下的矩阵为
2)因
A=+
A(k)=++
A=+()+
故A在下的矩阵为
3)因
A()=()()+()+()
A=()+()+
A=()+()+
故A基下的矩阵为
10、 设A是线性空间V上的线性变换,假如A0,但A=0,求证
A, A(>0)线性无关。
证设有线性关系
用A作用于上式,得
A=0(因A对一切n均成立)
又因为A0,因此,因此有
再用A作用之,得 A=0。
再由,可得=0。
同理,接着作用下去,便可得
即证,A,A(>0)线性无关。
11。
在n维线性空间中,设有线性变换A与向量使得A但,求证A在某组下的矩阵是
证 由上题知,,A,A,A线性无关,故,A,A,A为线性空间V的一组基、又因为
A A+ A
A(A)=+A+A+A
…………………………………………………
A(A)=+A+A+A
故A在这组基下的矩阵为
12、 设V是数域P上的维线性空间,证明:
V的全体线性变换能够交换的线性变换是数乘变换。
证 因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K、
13。
A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
假如A在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。
证设A在基下的矩阵为A=(),只要证明A为数量矩阵即可。
设X为任一非退化方阵,且
()=()X
则也是V的一组基,且A在这组基下的矩阵是,从而即有AX=XA,这说明A与一切非退化矩阵可交换。
若取
则由A=A知=0(ij),即得
A=
再取
=
由A=A,可得
故A为数量矩阵,从而A为数乘变换。
14。
设,是四维线性空间V的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为
1)求A在基,下的矩阵;
2)求A的核与值域;
3)在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵;
4)在A的值域中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵。
解 1)由题设,知
()=(,)
故A在基下的矩阵为
B===
2)先求A(0)、设A(0),它在,下的坐标为(,),且在A
在,下的坐标为(0,0,0,0,),则
=
因rank(A)=2,故由
可求得基础解系为
X=,X=
若令
a=(,)X,a=(,)X
则a,a即为A(0)的一组基,因此
A(0)=L(a,a)
再求A的值域AV。
因为
A=
A=
A=
A=
因rank(A)=2,故A,A,A,A发秩也为2,且A ,A线性无关,故A,A可组成AV的基,从而
AV=L(A,A)
4)由2)知a,a是A(0)的一组基,且知,a,a是V的一组基,又
(,a,a)=(,)
故A在基,a,a下的矩阵为
B==
4) 由2)知A=,A=
易知A, A,是V的一组基,且
(A,A,)=(,)
故A在基A,A,下的矩阵为
C=
=
15、给定P的两组基
定义线性变换A:
A=(=1,2,3)
1)写出由基到基的过度矩阵;
2)写出在基下的矩阵;
3)写出在基下的矩阵、
解1)由
()=()X
引入P的一组基=(1,0,0), =(0,1,0),=(0,0,1),则
()=(,,)=(,,)A
因此
()=(,,)=(,,)B=(,,)AB
故由基到基的过度矩阵为
X=AB==
2)因
A()=()=()
故A在基下的矩阵为
A=
4)因
A()=A()X=()X
故A在基下的矩阵仍为X。
16、证明
与相似,其中()是1,2,的一个排列。
证 设有线性变换A,使
A==D
则A(,)=(,)=(,)D
因此D与D为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵,故与相似、
17、假如A可逆,证明AB与BA相似。
证 因A可逆,故A存在,从而A(AB)A=( AA)BA=BA
因此AB与BA相似、
18。
假如A与B相似,C与D相似,证明:
证由已知,可设B=XAX,D=YCY, 则=
这个地方=
故与相似、
19设A,B是线性变换,A=A,B=B证明:
1)假如(A+B)=A+B那么AB=0;
2)假如,AB=BA那么(A+B—AB)=A+B—AB、
证1)因为A= A, B=B, (A+B)=A+B
由(A+B)=(A+B)(A+B)=A+AB+BA+B,
故A+B=A+AB+BA+B,
即AB+BA=0、
又2AB=AB+AB=AB-BA= AB-BA=AB+ABA= A(AB+BA)= A0=0
因此AB=0。
2)因为A=A,B=B,AB=BA
因此(A+B—AB)= (A+B-AB)(A+B—AB)
=A+BA—ABA+ AB+B—AB—AB-BAB+ABAB
=A+AB—AAB+ AB+B—AB-AB-ABB +AABB
= A+AB-A B+AB+B-AB—AB—AB +AB
= A+B—AB
20。
设V是数域P上维线性空间,证明:
由V的全体变换组成的线性空间是维的。
证
因此V的全体线性变换与同构,故V的全体线性变换组成的线性空间是维的。
21、设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
3)在中有一次数的多项式,使;
4)假如,那么,这个地方
5)A可逆的充分必要条件是:
有一常数项不为零的多项式
证 1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是维的,因此+1个线性变换A,A,、、、,A,E
一定线性相关,即存在一组不全为零的数使
A+A+A+E=0
令,且
这就是说,在中存在一次数的多项式,使。
即证。
2)由题设知因为
因此=0
3)必要性、由1)知,在中存在一次数的多项式,使、即
A+A+A+E=0
若即为所求、
若
A+A+A+E=0A可逆,故存在,
得A+A+…+E=0
令++…+,即为所求。
充分性、设有一常数项不为零的多项式
使
即
因此
因此
又
故A可逆、
22、假如是线性空间V的个两两不同的线性变换,那么在V中必存在向量,使也两两不同。
证令
V ()
因为
故`非空、又因为两两不同,因此关于每两个而言,总存在一个向量,使
故是V的非空真子集
设
因此
即
又
因此
故是V的真子空间、
1)假如都是V的非平凡子空间,在V中至少有一个向量不属于所有的,设则
()
即证:
存在向量,使两两不同、
2)假如{}中有的平凡子空间,则只能是零空间。
关于这种,只要取就有,故如此的能够去掉、因而问题可归于1),即知也存在向量使两两不同。
23
证 因为是设的维数
为r,的维数为s、
今在中取一组基把它扩充成的一组基,
则=
且线性无关、因此
24、设
ﻩ()()+
证在
ﻩA,B,则线性变换AB、
因为,A,B,AB的秩,因此关于矩阵A,B,AB有(AB)(A)+
故关于,
()()+
25、设
1)
2)
证1)必要性。
若
因此
同理可证
充分性。
若,,任取
因此
同理可证,故
2)必要性、若,对任意,作向量,因为
ﻩ()=-=0
因此
又(=
因此,由的任意性,故有
作向量,则
=
因此
又
充分性。
若
知
同理可证
即证
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