常微分方程课程总结.docx
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常微分方程课程总结
常微分方程课程总结
第一章绪论
§1.2微分方程的基本概念
(1)常微分方程偏微分方程
微分方程:
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程:
未知函数为一元函数的微分方程。
说=axy,“为常数
偏微分方程:
未知函数为多元函数,从而出现偏导数的微分方程。
(2)线性与非线性
一般n阶线性微分方程具有形式:
(等式左面全是一次有理整式)
…+a-|(x)y+G(x)y=/(x)・
(3)解和隐式解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
隐式解:
①a,y)=0
(4)通解和特解
通解:
微分方程的解中含有任意常数,且任意:
常数的个数与微分方程的阶数同.)特解:
确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件:
用来确定任意常数的条件.
初值问题:
求微分方程满足初始条件的解的问题.
(5)积分曲线:
微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章一阶微分方程的初等解法
§2.1变量分离方程与变量变换
2.1.1、变量分离方程
2.1.2.可化为变fi分离方程的类型
1.形如生=巩上),称为齐次微分方程,令u=2my=ux,于是d=龙竺+“,代入原方程,dxXXdxdx
变形为X—+u=g(“),整理得竺=逖?
口
dxdxX
2.形如字=吐字士L的方程也可经变量变换化为变量分离方程dxx+h^x+c^
(1)
(2)
5-乞=£_=«(常数),方程化为◎=£,有通解y=比兀+(・/?
2JClx
亠苦"严形’令円心a这时哙F+方2字=52也是分离变量方程
鱼工乞悄形,若5、C,不全为零,方程右端分子、分母都是X、y的一次多项式,因此a,x+h,x+c,4b.
则原方程变形为勞啓若升爲
§2.2线性微分方程与常数变易法
(1)一阶线性微分方程^=P(xb'+e(x),其中P(x),Q(x)在区间上是X的连续函数。
若Q(x)=0,则ax
变为©=卩(戈)厂
%
称为一阶齐次线性微分方程,若GU)*o,则称为一阶非齐次线性微分方程。
z/v
-^=P(x)y是变量分离方程,解为y=2dx
C(X)=JQ(X)""EJx+Q
得到通解y=eJu*j0(x)ejPBJx+f
令z=yj,从而竺=(_“)*"◎,均代入原方程得到dxclx
—=(l-/i)P(x)^+(1-")Q(x),这是线性微分方程。
ax
§2.3恰当微分方程与积分因子
2.3.1恰当微分方程
(1)简单二元函数的全微分:
ydx-xdy,八a\
=d(lnarctan—)对+y"y
6M_6N
N&=0⑴,积分因子“=Jem
§2.4一阶隐式微分方程与参数表示
(1)形如y=/(兀‘字),
引入参数d=p,原方程变为y=/Up),两边对X求导,并以空=卩代入,
dx(ix
得到"欽鲁知这是
关于儿"的一阶微分方程
<2)形如x=m慌),
引入参数空=卩,原方程变为x=/Cv,p),两边对y求导,并以竺=丄代入,dxdyp
得到丄=生+生如,这是
Pdydpdy
关于的-阶微分方程,设求得通解为处"》。
,则方程通解为{;(:
鶯)?
0
(3)形如F(x,/)=0
,+〉"-3収=0
解:
令/=〃=风则山方程得v=£,从而卩=二,于是dy=9(l-2;2厂曲积分之,得到(4)形如F
1+r1+Z(l+r)
2,31+4户
一dt=+C
2(1+F)2
(灯)=0
第三章一阶微分方程解的存在定理
§3.1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
1.存在性与唯一性定理:
(1)显式一阶微分方程
jg)
ax
这里f(X,y)是在矩形域JR:
\x-x^^l (3.1) (3.2) 上连续。 定理: 1: 如果函数/(x,y)满足以下条件: 1)在&上连续: 2)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz) 条件,即存在常数厶>0,使对于R上任何一对点(儿N),(X,『2)均有不等式/(忑廿)-/(兀』2)S厶”-旳成 立,则方程(3.1)存在唯一的解y= (3.3) 其中/? =min(«,—),A/=max M f(x,y),乙称为厶ipschitz常数• 思路: 1)求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 y=儿+r/(X, J心 的连续解。 2)构造近似解函数列9“(x)} 任取一个连续函数0o(x),使得l0o(x)-儿iSb,替代上述积分方程右端的 %(x)=$0+「 % 如果叭那么%(X)是积分方程的解,否则,乂用qd)替代积分方程右端的y,得到 02(X)=)'0+rf(X,0(x))eZv 如果卩20)=%(0,那么%(切是积分方程的解,否则,继续进行,得到 %W=>0+f/(X®T(X)床 (3.4) 于是得到函数序列@2)}・ 3)函数序列{卩二的}在区间[x,-fKX,+h]上一致收敛于俠X),即 Um%(x)=^x) «T» 存在,对(3.4)取极限,得到 lim „_,(.v)yZv«-»oon-*oo*Ao =儿+(儿 即(p(x)=y。 +rf(x,仅x)kh• 4)0(x)是积分方程y=Jo+ff(x,y)dx在[竝-儿心+力]上的连续解.J心 命题1设y=<p(x)是方程(3.1)定义于区间兀<尤<如+力.匕满足初始条件 俠兀)=儿 的解,则y=0(0是积分方程 x^ (3.5) 的定义于心<兀<兀0+〃上的连续解•反之亦然. 命题2对于所有的",(3.6)中的函数©(X)在如<大<心+/? 上有定义,连续且满足不等式 (3.6) 命题3函数序列{%(-<))在兀<%<无+力上是一致收敛的•记lim乌(X)=從X),兀0 命题40(0是积分方程(3.5)的定义在扯<大<心+力上的连续解. 命题5设^/(欠)是积分方程(3・5)的定义在斗) 1、近似计算和误差估计 求方程近似解的方法一一Picard的逐次逼近法 %(x)=儿 久W=>0+ryexo (3.7) 对方程的第"次近似解%Cv)和真正解0(x)在\x-x,\ 咏5)佔〃 例1讨论初值问题 y(o)=0 (iy*>*) 子=兀・+八ax 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中, 解M=maxI/(X,y1=2,a==l,/i=}=—,山于I—1=12>'1<2=£,根据误差估计式 gwRM2dy (3.16) 935)医焉/宀侖"a 可知„=3・于是 久(x)=0 卩(X)=[[宀號WHzy 込⑴=J3+心曲=y+右 F22/,X? y 朋)=£[兀+卩2u)kX=亍+反+2079+59535 0(0就是所求的近似解,在区间-- §3.2解的延拓 2、局部利普希茨条件 定义2若函数/(矩刃在区域G内连续,且对G内每一点P,都存在以P点为中心,完全含在G内的 闭矩形域心,使得在/? p上/(X』)关于y满足利普希茨条件(对于不同的点,闭矩形域心的大小和利普希茨常数厶可能不同),则称f(x.y)在G上关于y满足局部利普希茨条件. 定理3(延拓定理)如果方程^=/(x,y)的右端函数/(x,y)在(有界或无界)区域Ge用上连续,dx dx 且在关于y满足局部利普希茨条件,则对任意一点(兀,儿)eG,方程—=/(X,y)以(旺,儿)为初值的解仅尤)均可以向左右延展,直到点(xw(x))任意接近区域G的边界. 以向X增大的一方来说,如果y= 界。 其中(兀,儿)wG 推论1对定义在平面区域G上的初值问题 •ax 丿0=Wo) 若f(x.y)在区域G内连续且关于y满足局部厶ipschtiz条件,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解. 推论3如果G是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)通过(心」0)点的解)90(灯可以延拓,以向X增大(减小)一方的延拓来说,有以下两种悄况: (1)解y=0Cv)可以延拓到区间[心*0)(或(Y比]); ⑵解),=0(兀)只可延拓到区间凶冲)(或⑷心]),其中为有限数,则当犬TW时,或者y=无 界,或者点(x.0(;v))t6G・ 例】讨论方程学耳1分别通过点㈣)和点W2T的解的存在区间. 解此方程右端函数/(A-,y)=^在整个巧平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条 件•易知方程的通解为 i+ce"y= 1一0 故通过点(0.0)的解为y=(1-0丫)/(1+«*),这个解的存在区间为-oo (如图所示)•注嵐过点(ln2•-3)的解为y=(l+K)/(l-R)向右方可以延拓到+00,但向左方只能延拓到0,因为当犬TO*时,y—F. 例2讨论方程冬=l+lnx过(1,0)点的解的存在区间. dx 解方程右端函数/(x,>')=l+lnx在右半平面%>0上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条 件•区域G(右半平面)是无界开域,y轴是它的边界• 易知问题的解为>=xlnx,它于区间0<牙<2上有定义、连续且当XT0时,vtO,即所求问题的解向右方可以延拓到七0,但向左方只能延拓到0,且当XTO时积分曲线上的点(儿y)趋向于区域G的边界上的点 §3.3解对初值的连续性和可微性定理 1、解关于初值的对称性 设方程(3.1)满足初始条件y(扯)=儿的解是唯一的,记为y=俠兀,心九),则在此关系式中,(卫刃与 Cb)b)可以调换其相对位置•即在解的存在范W内成立关系式 证明在方程(3.1)满足初始条件『(人>)=儿的解的存在区间内任取一点片,显然)1=0(心兀,儿),则山 解的唯一性知,过点C0”)的解与过点(%」。 )的解是同一条积分曲线,即此解也可写为 并且,有>0=0(心西? ])・乂ill(%,,>■,)是积分曲线上的任一点,因此关系式儿=0(心圮y)对该积分曲线上的任意点均成立. 2、解对初值的连续依赖性 山于实际问题中初始条件一般是山实验测量得到的,肯定存在误差.有的时候误差比较大,有的时候误差比较小,在实际应用中我们当然希望误差较小,也就是说当(丸*0)变动很小的时候,相应的方程的解也只有微小的变动,这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题: 在讨论这个问题之前,我们先来看一个引理: 引理: 如果函数/(X,y)于某域£)内连续,且关于y满足Lipschtiz条件(Lipschtiz常数为厶),贝ij对方程(3.1)的任意两个解0(x)及Xx),在它们公共存在的区间内成立着不等式 <3.17) I 其中X。 为所考虑区域内的某一值. 证明设0(x),肖(X)于区间a V{%)=[(p{x)-,a “>)=2[俠人・)一0>)][/50)-/匕0)] 于是 V\x)«y\x)1=21(p(x)-0(x)IIf(x.(p}—f(%,0)l<2LV(X) W(x)严-2"(x)严<0 从而所以,对色/仪上],有 卩(x) 对于区间mH。 ,令一x,并记-Xo 字Uy)dx 而且己知它有解y=仇-f)和y=0(-f)• 类似可得VCv) 因此, V(x)<^(/。 ”口-如卫 两边开平方即得(3.17). 利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性: 解对初值的连续依赖定理 假设f(x.y)在区域G内连续,且关于y满足局部李普希兹条件,如果(心yJiG,初值问题 d\ dx几2)有解),=0(儿心儿),它于区间a .儿=y(心)为=叹£卫")>0,使得当(io-心)2+(齐-儿)*/时,方程(3.1)满足条件y(和=%的解卩=卩(乙和%)在区间a 仅X•忌9%)-俠儿如*0) 证明记积分曲线段S: y= 0)= 第一步: 找区域D,使SuD,而且f{x,y)在D上关于y满足Lipschitz条件. 由已知条件,对▽(不y)eS,存在以它为中心的开圆C,CuG,使/(%,y)在其内关于y满足Lipschitz条 件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆Cf(i=12…2(不同的G,其半径斥和 N Lipschitz.常数&的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段S,令G=Ug,则SuGuG,对 Vf>0.记Q=d(5d,S)・〃=min6Q/2)t=max(5・・・£J,则以S上的点为中心,以//为半径的圆的全体及 其边界构成包含S的有界闭域DuGuG、且/(X,y)在D上关于y满足Lipschitz条件,Lipschitz常数为厶. 第二步: 证明33=5{s,ajy}>0(J/),使得当(兀-/。 尸+(%-儿尸彳沪时,解y=0(x)=0(x,兀齐)在区间a 曲于Q是一个有界闭域,且/Uo')在其内关于y满足Lipschitz条件,由解的延拓定理可知,解 y=^(x)=0(x.心开)必能延拓到区域D的边界上•设它在D的边界上的点为(c\0(c))和c<£h 这时必有c |0(X)-肖(X)凶0(剂一皆区)1『4叫0<〃 利用0(x)的连续性,对+"严7,必有①>0存在,使当Ix-aJSQ时有10(兀)-0(兀)lvq,取厶 J=min(Q,①),则当(乔-心)2+(齐-儿)2<32时就有 I卩⑴-警⑴I匕卩(元0)-警(元0)I-^2山-耐- (3.18) <(|0(鬲)一卩號)1+1俠丸)一肖(兀)1)2严F<2(1卩(元0)-0(心)|2+10(儿)一0(兀)|'”"耐<2何+1儿-耳|2)严i <4J: 严(c 于是对一切xe[c,lv〃成立,特别地有 1卩(<: )一肖(0)1<〃,10(〃)一刃〃)1<〃 即点(cw(c))和(〃"(〃))均落在域D的内部,这与假设矛盾,故解y=0(x)在区间[“上]上有定义・ 第三步证^\ 在不等式(3.18)中将区间[cd]换成[a.h],可知当 一扯)'+(齐一儿)2<32时,就有 仅假xcSAo) 根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有 3、解对初值的连续性定理 若函数/(x,y)在区域G内连续,且关于y满足局部李普希兹条件,则方程(3.1)的解y=卩(血心y。 )作为兀x”儿的函数在它的存在范B内是连续的. 证明对Dg,儿)wG,方程(3.1)过(如』0)的饱和解)9卩(/,心儿)定义于<2(兀」0)3^0(%儿)上, 令 卩={0・心儿)匕(无,儿)sx<0ap儿),(心儿)€G} 下证y=0(尤.无」0)在V上连续. 对▽(£心凡)eV,5aG],使解y=卩(儿乔凡)在[仏方]上有定义,其中无■兀€[",/? ]• |0(X,兀,Ji))-0(x,Xo,yo) 对w>o,3q>o,使得当(壬。 一心)2+(兀一儿)2<处时, 2 乂y=0(/刍』0)在上对X连续,故3^2>0>使得当lx--vl 0(兀兀,儿)-0(儿兀』0)|<彳,疋X€[a切 厶 取5=min(qV2),则只要(工一x)2+(耳-/。 尸+仇一儿)*沪就有 0(疋兀,凡)-卩(兀,如,儿) 兀,%)-0(局心」u)l+l仅局心,儿)一0(XJd)b)l££ <—-—=£ 22 从而得知y=0(兀.扯」0)在V上连续. §3.4奇解 包络: 设方程的通解的积分曲线族为e(f,兀6=0,如果有一条曲线,在这曲线上各个点与积分曲线族中各个不同的曲线相切,就称这曲线为该曲线族的包络. 显然这包络就是奇解的积分曲线.另一方面,若一曲线是一奇解的积分曲线,则按照奇解的定义,在这曲线上的每一点至少与另一条积分曲线相切,所以这曲线是积分曲线的包络. C, 包络的求法: 对于固定的任意常数r,对积分曲线①伉兀c)=0的两边求微分得积分曲线应满足微分方程 Gf(: xQdZ+睐9天工)&=0 而在包络上C是f和X的函数c(f,x),设包络方程为①伉兀crR)=0对两边求微分得包络应满足的微分方程 ①fCx,c)di+x,c} 比较所得的两个微分方程得 山于包络上C不是常数,de"、所以应有①卫££)兀 R此,我们得到包络必须满足的联立方程组(称为C判别式) ①5)=0 第四章高阶微分方程 §44线性微分方程的一般理论 4丄1引言 n阶线性微分方程 Fxcr'x 其中q⑴(i=12・・・n及/(f)都是区间a (4.2) 如果几)三0,则方程(4.1)变为: 窖+M磐+…+如⑴牛+M)x=0atatat 称它为“阶齐线性微分方程,而称一般的方程(4」)为畀阶非齐线性微分方程,并且通常把方程(4.2)叫对应于方程(4.1)的齐次线性方程。 定理1如果«//)(/=1,2,•••,/? )及/(Z)都是区间a ] X。 •球匕•••,对心! ),方程(4・1)存在唯一解x=0(f),定义于区间a 4丄2齐线性方程的解的性质与结构 定理2(叠加原理)如果X|(f),X2(F),・・・K(r)是方程(4.2)的£个解,则它们的线性组合 (4.4) qxQ+c? 七(f)+…+5耳⑴也是(4.2)的解,这里C|心,…心是任意常数。 特别地,当时,即方程(4・2) 有解: 大=6石(0+勺七(f)+・・・+q£(f) 它含有”个任意常数。 设西⑴*2⑴,…內⑴是定义在区间a 式: 勺*](/)+©2兀2(『)C/&a)=0对于所有te[a.h]都成立,称这些函数是线性相关的,否则称这些函数在所给区间上线性无关■即当且仅当 C\=y=5=0时■上述恒等式才成立,称这些函数在所给区间上线性无关。 山此定义不难推出如下的两个结论: 1)在函数组…儿中如果有一个函数为零,则…儿在(40)上线性相关. 2)如果两个函数比』2之比丸在("上)有定义,则它们在("上)上线性无关等价于比式卫在⑺上)上不『2『2 恒等于常数. 定理3若函数和f)7("…心⑴在区间a 推论1如果函数组和f)宀◎…心⑴的朗斯基行列式W(f)在区间[a.h]±某一点九处不等于零,即 用(旺)工0,则该函数组在上线性无关. 但是,如果西(『人乂2(『)八…•乞)是齐线性方程(4.2)的解,那么就有下面的定理: 定理4如果方程(4.2)的解石(『人乂2(『)八・・9&”(卩)在区间a (7)*2(/),•••,£(『)]在这个区间的任何点上都不等于零,即vva)HOa 推论2设召⑴心(f),…心⑴是方程(4.2)定义在"切上的"个解,如果存在兀€[伙切,使得它的 IM斯基行列式wg)三0,则该解组在上线性相先 推论3方程(4.2)的畀个解xQ」2(f),・・・7(f)在其定义区间仪少]上线性无关的充要条件是,存在 心€[“上],使得它的朗斯基行列武W(心)H0. 定理5畀阶齐线性方程(4.2)—定存在“个线性无关的解。 定理6(通解结构定理)如果旳(门,%2(门,...,乂“(0是方程(4.2)的„个线性无关的解,则方程(4.2) 的通解可表为J%=巧召(7)+&2*2(『)+・・・+^兀0 (4.5) 其中,5902厂・.5是任意常数,且通解(4.5)包括了方程(4.2)的所有解。 4丄3非齐线性方程与常数变易法 性质1如果x(f)是方程(4.1)的解,而x(0是方程(4.2)的解,则x(t)+x⑴也是方程(4.1)的解。 性质2方程(4・1)的任意两个解之差必为方程(4.2)的解。 定理7设x,(Z),x,⑴为方程(4.2)的基本解组,而亍(0是方程(4.1)的某一解,则方程(4.1)的 通解可表为: %=巧力](『)+ 2*2(『)6占(0+元(F) (4.6) 其中为任意常数。 而且这个通解(4.6)包括了方程(4.1)的所有解。 现在我们引进线性方程的复值解的定义。 定义于区间a (4.1〉的复值解,如果: 弩+竹⑴弓黑1+…+%(f)響+5(少⑴*⑴ 对于a 定理8如果方程(4.2)中所有系数纠⑴(212…/)都是实值函数,而x=z(0=^0+W)是方程的复值 解,则Z(0的实部0(0、虚部肖(f)和共觇复值函数£(/)也都是方程(4.2)的解。 d"rd'ljv定理9若方程养+糾⑴討 +H« dx „_)(0+=«(/)+/V(/)有复值解x=U(/)+fV(f),这里 q(M=i2…屮)及"(0,W0都是实函数,那么这个解的实部"(f)和虚部y(f)分别是方程 等+M)绪+…+g⑴务+WQ 等+坷⑴+…+%⑴务+""⑴X=叩) 的解。 §4.2常系数线性方程的解法 422常系数齐线性方程和欧拉方程 设齐线性方程中所有系数都是常数,即方程有如下形状 4a (4.7) 其中即①,…,绻为常数■称(4.7)为n阶常系数齐线性方程。 其指数函数形式的解为: 戈・=/ (4.8) (4.8)为方程(4.7)的解的充要条件是: A是代数方程: 尸(兄)=兄"45・1几+5=0 (4
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