第08章重积分习题详解.docx
- 文档编号:11244242
- 上传时间:2023-02-26
- 格式:DOCX
- 页数:35
- 大小:215.76KB
第08章重积分习题详解.docx
《第08章重积分习题详解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第08章重积分习题详解.docx(35页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第08章重积分习题详解
第八章重积分
习题8-1
1•设有一个面薄板(不计其厚度),占有xOy面上的闭区域D,薄板上分布有面密度为卩=艸x,y)的电荷,且Kx,y)在D上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.
解用一组曲线将D分成n个小闭区域AcTi,其面积也记为icTiU=1,2,H|,n).任取一点
(D迂g,则心6上分布的电量如止4E,h)Abi.通过求和、取极限,便得到该板上的全部电荷为
n
Q=1也2円©,r)gi=JJ4(x,y)dcr,卅i=1D
其中A=max{Abi的直径}.
2.设l1=ff(x2+y2)3db其中Di={(X,y)—1 D1D2 其中D2={(x,y)|o 解由二重积分的几何意义知,li表示底为Di、顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体Oi的体积;12表示底为D2、顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体02的体积.由于位于Di上方的曲 面Z=(x2+y2)3关于yOz面和zOx面均对称,故yOz面和zOx面将Ci分成四个等积的部分, 其中位于第一卦限的部分即为02.由此可知I^4I2. JJkf(x,y)db=kJJf(x,y)d(其中k为常数); DD JJf(x,y)db=JJf(x,y)db+JJf(X,y)db,其中=dAJD2,D1、D2为两个无公共 DD1D2 内点的闭区域. 证 (1)由于被积函数f(x,y)三1,故由二重积分定义得 nn JJdb=|jm送f(q,ni)Ac7iHjmSAbi=iimb=b DHizti=tH n ⑵JJkf(X,y)db=1也SkfRlMa=kl也SfCiljS=kJJf(x,y)dcr. D几0iAiD (3)因为函数f(x,y)在闭区域D上可积,故不论把D怎样分割,积分和的极限总是不 变的,因此在分割D时,可以使Di和D2的公共边界永远是一条分割线。 这样f(x,y)在 UUD2上的积分和就等于Di上的积分和加02上的积分和,记为 送fCUMbi=Zf(q,q)gi+ZfCiEJA®. D1JD2D1D2 令所有△5的直径的最大值AT0,上式两端同时取极限,即得 JJf(x,y)db=JJf(x,y)db+JJf(x,y)dcr. 4. (1) D1JD2DID2 根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: 口(x+y)2dcr与JJ(x+y)3dcr,其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所 DD 围成; J7(x+y)2db与JJ(x+y)3do',其中积分区域D是由圆周(x-2)2+(y-1)2=2所围 成; ⑶ DD JJIn(x+yMb与J|[ln(x+y^db,其中D是三角形闭区域,三顶点分别为 DD (1,0),(1,1),(2,0); (4)JJIn(x+y)dD与JJ[ln(x+y)]2dc7,其中D={(x,y)|3 DD 解 (1)在积分区域D上,0 质4,可得ff(x+y)3db DD (2)由于积分区域D位于半平面{(x,y)|x+y>1}内,故在D上有(x+y)2<(x+y)3.从而JJ(x+y)2db DD (3)由于积分区域D位于条形区域{(X,y)戸x+y<2内,故知D上的点满足0 DD (4)由于积分区域D位于半平面{(X,y)|x+y>e}内,故在D上有ln(x+y)21,从而有[ln(x+y)]>ln(x+y).因此JJ[In(x+y)]db>JJ|n(x+y)dcr. DD 5.利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1)I=JJxy(x+y)dcr其中D={(x,y)|0 D \=ffsin2xsin2ydcr其中D={(x,y)|0 D I=JJ(x+y+1)dcr其中D={(x,y)|0 D I=JJ(x2+4y2+9)db其中D={(x,y)x2+y2<4}. (1)在积分区域D上,0 解 于1,因此0 D 在积分区域D上,0 积等于 n2,因此0 在积分区域D上,0 D 在积分区域D上,0 的面积等于4n,因此36n D 习题8-2 1. (1) 计算下列二重积分: 口(x2+y2)db,其中D={(x,y)||x|M,|y|M}; D JJ(3x+2y)dcr,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域; D ff(x3+3x2y+y3)db,其中D={(x,y)|0 D ffxcos(x+y)dcy其中D是顶点分别为(0,0),(兀0)和(兀冗)的三角形闭区域. D 1「x2y』 (1)JJ(x2+y2)db=f^dxL(x2+y2)dy=jJ|x2y匕dx=L(2x2^dx=弓. DL3」433 D可用不等式表示为0 22a222x JJ(3x+2y)db=[dxL(3x+2y)dy=[[3xy+y]0dx D 220 =[(4+2x—2x2)dx=」. 3 JJ(X3+3x2y+y3)db二[dyJ;(x3+3x2y+y3)dx D 1Ix33113 =£|—+xy+yXidy=0(-+y+y)dy=1.L4_o4 D可用不等式表示为0 nxnx JJxcos(x+y)db=10xdx0cos(x+y)dy=0x[sin(x+yj^dxD°° n3 ]x(sin2x-sinx)dx=—-n 2. 画出积分区域,并计算下列二重积分: JJX阿,其中D是由两条抛物线y=jx,y=x2所围成的闭区域; d JJxy2dcr,其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域; d [@十此,其中D={(x,y)||x|+|y|M}; d ff(x2+y2—xjdcy,其中D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域. d D可用不等式表示为0 222*4上122264 JJxydb=「ydyLxdx=-「y(4—y)dy-— D215 D=DiUD2,其中Di={(x,y)|—x-1 Di={(x,y)|x—1 JJex%UeF+JJex+dD DD1D2 [ebJ二eydy+『exdxeydyL(e2x十一e^jdx+0(e—e2xJ)dx=e-e』. (4)D可用不等式表示为乂 222y22ff(x+y—x)db=[dy|y(x+y-x)dxD‘^2 b[32y 3.化二重积分 ,其中积分区域D是: I=JJf(x,y)dcr 为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域; 由x轴及半圆周X2+y2=r2(y>0)所围成的闭区域; 由直线y=x,x=2及双曲线y=」(x>0)所围成的闭区域; x 环形闭区域{(X,y)|1 (1)直线y=x及抛物线y2=4x的交点为(0,0)和(4,4),于是 4^4x、4y I=.0dx[f(x,y)dy或I=[dypf(x,y)dx 将D用不等式表示为0 r I=Ldx0f(x,y)dy; 如将D用不等式表示为J2—y2 rJ「2_y2 I=.0dyJyrf(x,y)dx. 、12x、 二个交点为(1,1)、(2,—)和(2,2),于是I=1dxJ1f(x,y)dy或 2X 1222 I=Jidy£f(x,y)dx中[dyff(x,y)dx. 2y 将D划分为4块,得 4db1”rb qdyBf(x,y)dx+』dyJrf(x,y)dx 丨=J2dyr牙f(x,y)dx中J/yL有f(x,y)dx Ah^tx*1*47^ '=Ldx—x,y)dy+Ldy"“曲 1.or2HjTzx2 4. +Ldyf(X,y)dy+HdyL&f(X,y)dy. 改换下列二次积分的积分次序: (1)所给二次积分等于二重积分JJf(x,y)dcr,其中 ={(x,y)|0 11 原式=dxxf(x,y)dy. (2)所给二次积分等于二重积分JJf(x,y)dCT,其中 D ={(x,y)|y2 、4欢 原式=[dxjxf(x,y)dy. 2 (3)所给二次积分等于二重积分JJf(x,y)dCT,其中 D 氓(x,y)|—J—y2 {(x,y)|0 1^f^x2" 原式=Ldx0f(x,y)dy. (4)所给二次积分等于二重积分JJf(x,y)dCT,其中 D D={(x,y)|2—x {(x,y)|2—y (5)所给二次积分等于二重积分fjf(x,y)db,其中 D D={(x,y)|0 J0 f(x,y)dx. (6)所给二次积分等于二重积分 JJf(x,y)dcr,将D表示为D^lD2,其中 D Dr={(x,y)|arcsiny D2={(x,y)|-2arcsiny 、1n_arcsiny0n 原式=』dy[rcsinyf(X,y)dx+LdyLrcsinyf(X,y)dX. 5.计算由四个平面x=0,y=0,X=1,y=1所围成柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积. 解此立体为一曲顶柱体,它的底是xOy面上的闭区域D={(X,y)|0 117V=口(6-2x-3y)dxdy=』dx0(6-2x-3y)dy=-. D、2 6.求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积. 解所求立体在xOy面上的投影区域为 22 D={(x,y)|x+y<2} 所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差: V=JJ(6-2x2-y2)db—JJ(x2+2y2)db DD =JJ(6-3x2-3y2)db=JJ(6-3俨川內£ DD =[d叫(6-3PdP=6n 7. 画出积分区域,把积分JJf(x,y)dcr表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D D 是: (4){(x,y)|0 0<0<2n,故 2222 {(x,y)|a (1)在极坐标中,D={(P0)|0 2na JJf(x,y)db=JJf(Pcos日,Psin£)Pdfld0=0d0J0f(Pcos日,Psin日)PdP. DD°°° ⑵在极坐标中,d={(P,T)|0 22 n2cosfl JJf(X,y)db=fff(PcosT,PsinT)PdPd0=f2,def0f(Pcos日,Psin日)PdP. DD—° (3)在极坐标中,D={(P,£)|a 2nb fff(x,y)db=fff(PcosT,PsinT)PdPd0=fd9[f(Pcos日,Psin日)PdP.LLLL.0La D 在极坐标中,直线x+y=1的方程为P=,故 sin9+cos6 —(叫0心齐而,0"弓, 于是 1 JJf(x,y)db=fff(PcosT,Psin£)Pdfd0=Pcos日,Psin£)PdP. D1'' 8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1) 11 [dxff(x,y)dy; 2护 idxJxf(x,y)dy; f(x,y)dy; (1)用直线y=x将积分区域D分成Di、 D2两部分: Di={(P,日)|0 4 D2={(P,日)|0 42 于是 原式 =俞9『叫(Pcos日,Psin日)FdP+魚9『叫(Pcos日,Psin日)PdP. 4 在极坐标中,直线X=2,y=x和y=J3x的方程分别是P=2sec日,&=—和 4 日=—。 因此D={(P,日)|0 343 n2secA 原式=j3d牡^(TPdP. (3)在极坐标中,直线y=1-x的方程为P=1,圆y的方程为 sin9+cos6 1n P=1,因此D={(BT)| sin9+cos92 n1 原式=『dHJ1f(pcos日,psin日)pdp. sin涉OS日 ⑷在极坐标中,直线X=1的方程为P=sec日,抛物线y=x2的方程为 Psin0=P2cos20,即P=tan日se闵;两者的交点与原点的连线的方程是0=-。 因此 4 D={(P,0)|tan9sec0 4 9. -secQ 原式涉cJWcosyPsin切PdP・把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值: 2a72ax-x222 0dx』(x+y)dy; ax2 0dxMF2dy; a寸a2_y222 LdyL(x+y)dx- (1)在极坐标中, D={(2日)|0 原式 =Fd叮Fp2edP#na4. 在极坐标中, D={(P0)I0 4 nQ3 原式=『dT_0P•內P=a[血+ln('/2+1)]. 在极坐标中,抛物线y=x2的方程为Psin0=P2cos2Q,即P=tan£se止J;直线 y=x的方程是9=—,故D={(,t)|0空血,00}隹< 4 ntanAecQ! 原式=『dej0¥2dP=72-1. (4)在极坐标中,积分区域 D={(P,0)|O 2 H笃dcT,其中D是由直线x=2,y=x及曲线xy=1所围成的闭区域; Dy ffT~x^y2^,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的 DJ1+x+y 闭区域; ff(x2+y2)db,其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(aA0)所围成 选用极坐标, D={(P,日)|0 2屁•用Pd—f;吋儒.Pdp =昭耳•丹P=n(-2). 的闭区域; 2 xx JJ-ydxJdxLdy=;•Dy、' (3)选用直角坐标, V=JJJr2—X2—y2db=JJJr2-P2,pdpd日 DD R3 PdP=—arctank. 3 复习题A 、填空题 1.设D是正方形区域{(X,y)|0 = D 2.已知D是长方形区域{(x,y)a兰b,0匠1}又已知Jfyf(x)dxdy1则 D b 2; f(x)dx= 3.若D是由X+y=1和两坐标轴围城的三角形区域,则二重积分JJf(x)dxdy可以表示 D 为定积分JJf(x)dxdy=0®(x)dx,那么®(x)= D 1x1x2(y) 4.若〔dx】f(x,y)dy=.0dy[(y)f(x,y)dx,那么区间[x^y),X2(y)]=[y,i]; 5.若 0寸a工Ba fadx0—f(x,y)dy=fdQ0rf(rcos日,rsin9)dr, f\ 则区间(8P)=. n 2, I2 二、选择题 则Il,I2,I3的大小顺序为( I3 3.将极坐标系下的二次积分: n2sinQ I=0d810rf(rcos8,rsin8)dr 化为直角坐标系下的二次积分,则I=( 114;戸 A.丨=.Ldyf(x,y)dx; 1j2y3 C.丨=帥匚2^fZdx; 4.设D是第二象限内的一个有界闭区域, I1=JJyxdcT, D I2=JJy2xdcr, D B. D. 而且 I3 则ll,l2,I3的大小顺序为( C; A.Il兰12兰<3; B. 12兰ll兰<3; 2・■ l"f(x,y)dy; ■“2x_x2 Jo 11如丄 l=34口f(x,y)dy. 0cy<1.记 1 JJy^xdcT, D C.13兰ll兰>2; D.13兰>2兰ll. 5.计算旋转抛物面Z=1+ B.JJJ-X2-y2dcr; x2y兰 C.JJJ1+x+ydcT; X2出2< D.ffJ—X2—y2db. x2-y2< 三、计算题 计算重积分 1. ffexdxdy,其中D是由x=0,y=ex和y=2所围成的区域. D 21 JJexdxdy=1dy0exdx=[(y-1)dy=-. D 2lnyx edx 2. x2 计算重积分ff—dxdy,其中D是由 Dy x=-2,y=x和xy=1所围成的区域. lAdxd^J: x2dxXy勺y=J: ( —X3+x)dx=9. 4 3. 计算重积分JJ(x+y)dxdy,其中D是由x2+y2<2和x2+y2>2x所围成的区域. D n722? 粗 JJ(x+y)dxdy=J2d92(rcos日+rsin9),rdr+Jn2d9J(rcosT+rsinQ) D>'cos日\'0 +13nd日Leos』cos日+rsin9)rdr= -cos廿2 4.将二重积分JJf(x,y)dcr化为两种顺序的二次积分,积分区域D给定如下: D (1) D是以(0,0),(1,0),(0,2)为顶点的三角形区域; 22 D是区域{(X,y)I笃+每<1,y>0}(a>■0,b: >0);ab 22 D是区域{(x,y)|y>x,y<1—x}; D是由y=x和y=x3所围成的区域; D是由y=0,y=1,y=x和y=x-2所围成的区域. y 12(1丄)21M (1)JJf(x,y)db=[dx1f(x,y)dy=.0dy.02f(X,y)dx. D _x D给定如下: fff(x,y)^^fadxf(x,y)dy=fdy忙二f(x,y)dx. D—FV』 JJf(X,y)db=qdxf(x,y)dy=『dyJ;f(x,y)dx+pdy「乜f(x,y)dx. 1x13J7 JJf(x,y)db=0dx[3f(x,y)dy=0dy[f(x,y)dx. D ⑸ JJf(x,y)db=0dx0
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 08 积分 习题 详解
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)