北师大版九年级下册数学确定二次函数关系式的常见题型及解法.docx
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北师大版九年级下册数学确定二次函数关系式的常见题型及解法
确定二次函数关系式的常见题型及解法
深圳市福田区新洲中学温德君
确定二次函数的关系式,既是数学教学重点,也是教学的难点,学生学习不易掌握.在全国各地的中考考试中是必考内容,它可出现在选择题、填空题中,而且基本上都会出现在最后的压轴题中。
解题的基本思想方法是待定系数法和数形结合方法,根据题目给出的具体条件或结合图形,设出不同形式的解析式,找出满足解析式的点,求出相应的系数.下面就确定二次函数关系式的常见题型及解法如下。
一、定义型:
此类题目是根据二次函数的定义来解题,必须满足二个条件:
1、a≠0;2、x的最高次数为2次.
例1、若
是二次函数,则m=.
解:
由m2+m≠0得:
m≠0,且m≠-1
由m2–2m–1=2得m=-1或m=3
∴m=3.
练习1.若
是关于x的二次函数,则a=.
二、开放型
此类题目只给出一个条件,只需写出满足此条件的解析式,所以他的答案并不唯一.
例2、写出一个开口向下的二次函数的表达式______.
分析:
根据给出的条件,所以这道题只需满足
中的a<0即可,如y=-x2+2x+1(注:
答案不唯一)
练习1.写出一个对称轴为x=-2的二次函数的表达式______.
三、平移型:
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线.要借此类题目,应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x-h)2+k,当图像向左(右)平移n个单位时,就在x+h上加上(减去)n;当图像向上(下)平移m个单位时,就在k上加上(减去)m.其平移的规律是:
h值左负右正;k值上正下负(或左加右减、上加下减).由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变,所以a得值不变.
例3.(2013•毕节地区)将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度,再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为( )
A.y=(x﹣1)2+3B.B.y=(x+1)2+3
C.y=(x﹣1)2﹣3D.D.y=(x+1)2﹣3
考点:
二次函数图象与几何变换.
分析:
由二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度,再向上平移3个单位长度,根据平移的性质,即可求得所得图象的函数解析式.注意二次函数平移的规律为:
左加右减,上加下减.
解答:
解:
∵二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度,再向上平移3个单位长度,
∴所得图象的函数解析式是:
y=(x﹣1)2+3.
故选A.
点评:
本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键.
例4.(2011山东滨州,7,3分)抛物线
可以由抛物线
平移得到,则下列平移过程正确的是()
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【答案】B
练习1.(2013哈尔滨)把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是().
(A)y=(x+2)2+2(B)y=(x+2)2-2(C)y=x2+2(D)y=x2-2
分析:
根据平移概念,图形平移变换,图形上每一点移动规律都是一样的,也可用抛物线顶点移动.即(-1,0)—→(0,-2).
解答:
根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:
“左加右减,上加下减.”故选D.
2.(2013•雅安)将抛物线y=(x﹣1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )
A.
y=(x﹣2)2
B.
y=(x﹣2)2+6
C.
y=x2+6
D.
y=x2
分析:
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.
解答:
解:
将抛物线y=(x﹣1)2+3向左平移1个单位所得直线解析式为:
y=(x﹣1+1)2+3,即y=x2+3;
再向下平移3个单位为:
y=x2+3﹣3,即y=x2.
故选D.
点评:
本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
四、用待定系数法确定二次函数关系式
例5.抛物线y=a(x﹣1)2+4经过点A(﹣1,0),求该抛物线的解析式。
分析:
将A坐标代入抛物线解析式,求出a的值,即可确定出解析式;
解答:
解:
(1)将A(﹣1,0)代入y=a(x﹣1)2+4中,得:
0=4a+4,
解得:
a=﹣1,
则抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4;
例6..已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,﹣3),求此二次函数的解析式。
分析:
利用待定系数法把A(1,0),C(0,﹣3)代入)二次函数y=x2+bx+c中,即可算出b、c的值,进而得到函数解析式是y=x2+2x﹣3;
解答:
解:
∵二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,﹣3),
∴
,
解得
,
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3;
(一)顶点式
若已知抛物线的顶点或对称轴、极值,则设为顶点式
.这顶点坐标为(h,k),对称轴方程x=h,极值为当x=h时,y极值=k来求出相应的系数;
例7.抛物线与x轴交于A,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=
,求抛物线的解析式。
分析:
根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式,然后代入已知的两点再由待定系数法求解即可;
解答:
解:
设抛物线的解析式
把A(2,0)C(0,3)代入得:
解得:
∴
即
练习:
1.二次函数的图象过点(3,0),(2,-3)两点,对称轴为x=1,求这个二次函数解析式.
解设这个二次函数解析式为y=a(x-1)2+n,由已知,得
解之,得
所求的二次函数解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.
注当已知二次函数的图象的对称轴为x=x0时,可设它的解析式为y=a(x-x0)2+n,这样只需求两个特定系数a,n.
2.(2011江苏无锡,9,3分)下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()
A.y=(x−2)2+1B.y=(x+2)2+1
C.y=(x−2)2−3D.y=(x+2)2−3
【答案】C
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次函数的解析式.
4.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,4),且过原点,求抛物线的解析式.
(二)两根式
已知图像与x轴交于不同的两点
,设二次函数的解析式为
,根据题目条件求出a的值.
例8已知二次函数的图象y=﹣x2+bx+c经过点A(3,0),B(﹣1,0).
求这个二次函数解析式.
分析:
根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3,0),B(﹣1,0),直接得出抛物线的解析式为;y=﹣(x﹣3)(x+1),再整理即可,
解答:
解:
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3,0),B(﹣1,0).
∴抛物线的解析式为;y=﹣(x﹣3)(x+1),
即y=﹣x2+2x+3,
例9已知二次函数的图像与x轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过(1,-
),求这个二次函数解析式
分析:
根据二次函数的图像与x轴交于(-2,0),(4,0)两点,设抛物线的解析式为;y=a(x+2)(x-4),再代入(1,-
)求出a值即可。
解、
图像与x轴交于(-2,0),(4,0)两点,
设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-4).
又
图象经过点(1,-
)
∴-
=a(1+2)(1–4)
解得a=
∴二次函数解析式y=
(x+1)(x–4)=
.
练习:
1.抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=
,求抛物线的解析式。
分析:
根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式,然后代入已知的两点再由待定系数法求解即可;
解答:
解:
设抛物线的解析式
把A(2,0)C(0,3)代入得:
解得:
∴
即
(三)一般式
当题目给出函数图像上的三个点时,设为一般式
,转化成一个三元一次方程组,以求得a,b,c的值;
例10已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),求抛物线的函数表达式。
.
分析:
把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解解法:
解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),
∴
,解得
,
所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3;
练习:
1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),求抛物线的表达式。
分析:
把点A、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组
,通过解该方程组即可求得系数的值或设交点式(两点式)解答均可.
解答:
解:
由题意可知
.解得
.
∴抛物线的表达式为y=
.
2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过(1,-4),(-1,0),(-2,5),求抛物线的函数表达式。
解答:
解:
设二次函数的解析式为:
,依题意得:
解得:
小结:
用待定系法确定二次函数关系式时,要灵活运用顶点式、交点式和一般式。
一般步骤是:
五、数形结合法
数形结合式的二次函数的解析式的求法,此种情况是融代数与几何为一体,把代数问题转化为几何问题,充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题,只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数,以达到目的.
例11.已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,OA=
,若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内,将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.
求经过点O,C,A三点的抛物线的解析式.
分析:
在Rt△AOB中,根据AO的长和∠BOA的度数,可求得OB的长,根据折叠的性质即可得到OA=OC,且∠BOC=∠BOA=30°,过C作CD⊥x轴于D,即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值,从而求出点C、A的坐标,将A、C、O的坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求出待定系数的值,从而确定该抛物线的解析式.
解答:
解:
过点C作CH⊥x轴,垂足为H;
∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,OA=
,
∴OB=
=4,AB=2;
由折叠的性质知:
∠COB=30°,OC=AO=2
,
∴∠COH=60°,OH=
,CH=3;
∴C点坐标为(
,3).
∵O点坐标为:
(0,0),
∴抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0),
∵图象经过C(
,3)、A(2
,0)两点,
∴
,
解得
;
∴此抛物线的函数关系式为:
y=﹣x2+2
x.
例12.如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.求抛物线的解析式;
分析:
利用三角函数和图形的旋转知识,先求出A、B、C的坐标,再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式;
解答:
解:
在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO=
=3,
∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,
∴△DOC≌△AOB,
∴OC=OB=3,OD=OA=1,
∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(﹣3,0).
代入解析式为
,
解得:
.
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
练习1.(2013•宁波)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上,并写出平移后抛物线的解析式.
考点:
二次函数图象与几何变换;待定系数法求二次函数解析式.
分析:
(1)利用交点式得出y=a(x﹣1)(x﹣3),进而得出a求出的值,再利用配方法求出顶点坐标即可;
(2)根据左加右减得出抛物线的解析式为y=﹣x2,进而得出答案.
解答:
解:
(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),
可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),
把C(0,﹣3)代入得:
3a=﹣3,
解得:
a=﹣1,
故抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)(x﹣3),
即y=﹣x2+4x﹣3,
∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣(x﹣2)2+1,
∴顶点坐标(2,1);
(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的解析式为y=﹣x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)落在直线y=﹣x上.
点评:
此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式,根据平移性质得出平移后解析式是解题关键.
练习2(2013•眉山压轴题)如图,在平面直角坐标系中,点A、B在x轴上,点C、D在y轴上,且OB=OC=3,OA=OD=1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点,直线AD与抛物线交于另一点M.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)P为抛物线上一动点,E为直线AD上一动点,是否存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形?
若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移
个单位后得到的抛物线的解析式.
考点:
二次函数综合题
分析:
(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)△APE为等腰直角三角形,有三种可能的情形,需要分类讨论:
①以点A为直角顶点.过点A作直线AD的垂线,与抛物线的交点即为所求点P.首先求出直线PA的解析式,然后联立抛物线与直线PA的解析式,求出点P的坐标;
②以点P为直角顶点.此时点P只能与点B重合;
③以点E为直角顶点.此时点P亦只能与点B重合.
(3)抛物线沿射线AD方向平移
个单位,相当于向左平移1个单位,并向上平移一个单位.据此,按照“左加右减”的原则,确定平移后抛物线的解析式.
解答:
解:
(1)根据题意得,A(1,0),D(0,1),B(﹣3,0),C(0,﹣3).
抛物线经过点A(1,0),B(﹣3,0),C(0,﹣3),则有:
,
解得
,
∴抛物线的解析式为:
y=x2+2x﹣3.
(2)存在.
△APE为等腰直角三角形,有三种可能的情形:
①以点A为直角顶点.
如解答图,过点A作直线AD的垂线,与抛物线交于点P,与y轴交于点F.
∵OA=OD=1,则△AOD为等腰直角三角形,
∵PA⊥AD,则△OAF为等腰直角三角形,∴OF=1,F(0,﹣1).
设直线PA的解析式为y=kx+b,将点A(1,0),F(0,﹣1)的坐标代入得:
,
解得k=1,b=﹣1,
∴y=x﹣1.
将y=x﹣1代入抛物线解析式y=x2+2x﹣3得,x2+2x﹣3=x﹣1,
整理得:
x2+x﹣2=0,
解得x=﹣2或x=1,
当x=﹣2时,y=x﹣1=﹣3,
∴P(﹣2,﹣3);
②以点P为直角顶点.
此时∠PAE=45°,因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上.
过点A与y轴平行的直线,只有点A一个交点,故此种情形不存在;
因此点P只能在x轴上,而抛物线与x轴交点只有点A、点B,故点P与点B重合.
∴P(﹣3,0);
③以点E为直角顶点.
此时∠EAP=45°,由②可知,此时点P只能与点B重合,点E位于直线AD与对称轴的交点上.
综上所述,存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形.点P的坐标为(﹣2,﹣3)或(﹣3,0).
(3)抛物线的解析式为:
y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4.
抛物线沿射线AD方向平移
个单位,相当于向左平移1个单位,并向上平移一个单位,
∴平移后的抛物线的解析式为:
y=(x+1+1)2﹣4+1=x2+4x+1.
点评:
本题考查了二次函数综合题型,涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点,试题的考查重点是分类讨论的数学思想.
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