人教版数学九年级上册单元教案二十三章.docx
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人教版数学九年级上册单元教案二十三章
人教版数学九年级上册单元教案-二十三章
23.1 图形的旋转
1.掌握旋转的概念,了解旋转中心,旋转角,旋转方向,对应点的概念及其应用.
2.掌握旋转的性质,应用概念及性质解决一些实际问题.
3.会利用简单的旋转作图.
一、情境导入
飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的电风扇等均属于旋转现象.你还能举出类似现象吗?
二、合作探究
探究点一:
图形的旋转的有关概念
【类型一】旋转图形的识别
下列图形:
线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆,其中是旋转对称图形的有哪些?
解析:
由旋转对称图形的定义逐一判断求解.
解:
线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形.
方法总结:
判断一个图形是否是旋转对称图形,其关键是要看这个图形能否找到一个旋转中心,且图形能绕着这个旋转中心旋转一定角度与自身重合.
【类型二】旋转中心,旋转角的判断
如图,在6×4方格纸中,格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙,则其旋转中心是( )
A.格点M
B.格点N
C.格点P
D.格点Q
解析:
只有点N到两个三角形的三个顶点的距离对应相等.故选B.
如图,点A、B、C、D都在方格纸的格点上,若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置,则旋转的角度为( )
A.30°
B.45°
C.90°
D.135°
解析:
对应点与旋转中心的连线的夹角,就是旋转角,∠BOD,∠AOC都是旋转角.由图可知,OB、OD是对应边,∠BOD是旋转角,所以,旋转角∠BOD=90°.故选C.
探究点二:
图形的旋转的性质
【类型一】旋转性质的理解
如图,四边形ABCD是边长为4的正方形且DE=1,△ABF是△ADE旋转后的图形.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)AF的长度是多少?
(4)如果连接EF,那么△AEF是怎样的三角形?
解:
(1)旋转中心是A点.
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的,∴B是D的对应点,又∵∠DAB=90°,∴旋转了90°.
(3)∵AD=4,DE=1,∴AE=
=
.∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点,∴AF=AE=
.
(4)∵∠EAF=90°(旋转角相等)且AF=AE,∴△EAF是等腰直角三角形.
【类型二】旋转的性质的运用
如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置,若AE=1,BE=2,CE=3则∠BE′C=________度.
解析:
连接EE′,由旋转性质知BE=BE′,∠EBE′=90°,∴EE′=2
.在△EE′C中,EE′=2
,E′C=1,EC=3,由勾股定理逆定理可知∠EE′C=90°,∴∠BE′C=∠BE′E+∠EE′C=135°.
探究点三:
旋转作图
【类型二】旋转作图
在如图所示的网格图中按要求画出图形:
(1)先画出△ABC向下平移5格后的△A1B1C1.
(2)再画出△ABC以点O为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的△A2B2C2.
解:
(1)如图,△A1B1C1即为△ABC向下平移5格后的图形.
(2)△A2B2C2即为△ABC以点O为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形.
三、板书设计
教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,经历观察、归纳和动手操作,体会图形变换思想.
23.1图形的旋转
第1课时图形的旋转及性质
教学内容
1.什么叫旋转?
旋转中心?
旋转角?
2.什么叫旋转的对应点?
教学目标
了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念,了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题.
通过复习平移、轴对称的有关概念及性质,从生活中的数学开始,经历观察,产生概念,应用概念解决一些实际问题.
重难点、关键
1.重点:
旋转及对应点的有关概念及其应用.
2.难点与关键:
从活生生的数学中抽出概念.
教具、学具准备
小黑板、三角尺
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下面各题.
1.将如图所示的四边形ABCD平移,使点B的对应点为点D,作出平移后的图形.
2.如图,已知△ABC和直线L,请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′.
3.圆是轴对称图形吗?
等腰三角形呢?
你还能指出其它的吗?
(口述)老师点评并总结:
(1)平移的有关概念及性质.
(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它既有的一些性质.
(3)什么叫轴对称图形?
二、探索新知
我们前面已经复习平移等有关内容,生活中是否还有其它运动变化呢?
回答是肯定的,下面我们就来研究.
1.请同学们看讲台上的大时钟,有什么在不停地转动?
旋绕什么点呢?
从现在到下课时钟转了多少度?
分针转了多少度?
秒针转了多少度?
(口答)老师点评:
时针、分针、秒针在不停地转动,它们都绕时针的中心.如果从现在到下课时针转了_______度,分针转了_______度,秒针转了______度.
2.再看我自制的好像风车风轮的玩具,它可以不停地转动.如何转到新的位置?
(老师点评略)
3.第1、2两题有什么共同特点呢?
共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形,那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度.
像这样,把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.
如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
下面我们来运用这些概念来解决一些问题.
例1.如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中:
(1)旋转中心是什么?
旋转角是什么?
(2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置?
解:
(1)旋转中心是O,∠AOE、∠BOF等都是旋转角.
(2)经过旋转,点A和点B分别移动到点E和点F的位置.
例2.(学生活动)如图,四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.
(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的?
(2)请画出旋转中心和旋转角.
(3)指出,经过旋转,点A、B、C、D分别移到什么位置?
(老师点评)
(1)可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的.
(2)画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.
最后强调,这个旋转中心是固定的,即正方形对角线的交点,但旋转角和对应点都是不唯一的.
三、巩固练习
教材P65练习1、2、3.
23.1图形的旋转
教
学
目
标
知识
与
技能
1、掌握旋转的有关概念,理解旋转变换也是图形的一种基本变换.
2、经历探索图形旋转特征的过程,体验和感受图形旋转的主要特征,理解图形旋转的基本性质.
过程
与
方法
通过观察、操作、交流、归纳等过程,培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力、以及与他人合作交流的能力.
情感
与
态度
经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作,使学生充分感知数学美,培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感;通过小组合作交流活动,培养学生合作学习的意识和研究探索的精神.
重点
旋转的有关概念和旋转的基本性质
难点
探索旋转的基本性质
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1:
创设情境,导入新课
活动2:
演示导学,形成概念
活动3:
举例应用,加深认识
活动4:
课堂练习,巩固提高
活动5:
归纳小结,布置作业
通过折纸游戏,导入本课
旋转的概念及探究旋转的基本性质
通过例题,加深知识的理解
通过练习,增强知识的运用
学生归纳小结,形成系统.
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
活动一创设情境导入新课
1、手工制作:
制作一个小风车.
2、欣赏日常生活中部分物体的旋转现象.
学生制作后,结合欣赏的图片,思考:
在这些运动中有哪些共同特征?
本次活动中,教师应重点关注:
(1)学生参与的全面性;
(2)学生观察实例的角度;
(3)学生活动后,试着描述出旋转的定义.
通过小制作,图形欣赏,导入主题,调动学生的主观能动性,激发好奇心和求知欲.
活动二演示导学形成概念
1、观察:
时钟上分针的运动.(动画演示)
问题:
时钟上分针的转动是绕哪一个点转动?
沿着什么方向转动?
从5分到15分转动了多少角度.
学生在观察后,回答问题,然后教师讲解:
把一个图形绕着某一个点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫旋转中心,转动的角叫旋转角.
通过观察,使学生形象、直观地理解旋转的有关概念.
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
2、动手做一做:
在一张半透明的薄纸与另一张纸片之间垫上一张复写纸,在薄纸上画ΔABC,并在ΔABC外面找一点0,再用一枚图钉在0处穿过.将薄纸绕点0旋转一个角度,再次把ΔABC复印在纸片上,并记成ΔA´B´C´.在纸片上分别连接0A、0B、0C、0A´、0B´、0C´.
问题:
(1)根据所画的图形,用直尺量出OA与OA´、OB与OB´、OC´的大小;用量角器量出∠AOA´、∠BOB´、∠COC´的度数,观察这三个角的大小,并指出旋转中心,旋转角.
学生在老师的指导下,动手操作,并动手完成老师交给的任务.
学生交流讨论并归纳出旋转的性质:
(1)对应点到旋转中心的距离相等.
(2)对应点与旋转中心所连结的线段的夹角等于旋转角.
(3)旋转前、后的图形全等.
课件演示及学生的动手操作,培养了学生观察能力和探究问题的能力、动手能力,以及与他人合作交流的能力,充分体现了教师为主导,学生为主体的教学思想,同时也突出了重点,突破难点.
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
(2)说出其中的对应点,对应角和对应线段.
(3)旋转后图形的形状和大小是否发生变化.
本次活动中,教师应重点关注:
(1)旋转的基本性质的探究过程应循序渐进,即演示→观察→猜想→讨论→归纳.
(2)要给学生充足的时间和空间.
活动三举例应用加深认识
1、如图,E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把ΔADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形.
AD
E
BC
学生动手练习,教师及时展示学生练习结果,并及时给予点评.
通过例题讲解,让学生加深对新知识的理解,培养学生分析问题和解决问题的能力.
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
2、分析香港特别行政区的区徽图中的图形的旋转现象.
学生思考后,展示结果.
本次活动中,教师应重点关注:
(1)学生画出图形后,能否准确地运用旋转的基本性质表达出作图的理论依据.
(2)学生中作图的不同方法.
通过图形欣赏让学生感受数学图形的魅力,激发学生兴趣.
活动四课堂练习巩固提高
1、P64页练习
2、图形:
线段、角、圆、梯形、正方形、菱形中绕一定点转动一定角度(小于360°)能与原图形重合的图形有()
A、2个B、3个
C、4个D、5个
学生单独完成后及时反馈,教师及时点评.
通过练习,让学生再次明确旋转的主要因素,从而让学生在知识不断重视的基础上加深理解,形成能力,实现本课的知识目标.
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
3、P65页练习
本次活动中,教师应重点关注:
(1)点评的针对性、典型性;
(2)给学生相对充足的时间与空间.
活动五归纳小结布置作业
(1)本节课你有什么收获?
(2)布置作业
P66页T3、T7
学生交流获得的知识和感受,教师聆听,并与学生交流.
本次活动中,教师应重点关注:
(1)学生概括的是否全面,教师应及时补充;
(2)不同层次对知识的掌握的程度.
通过小结,概括出本节课的知识与方法.体验探究过程中的感受.
23.1图形的旋转
第2课时旋转作图及变换
教学内容
选择不同的旋转中心或不同的旋转角,设计出不同的美丽的图案.
教学目标
理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度,会出现不同的效果,掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.
复习图形旋转的基本性质,着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图,设计出美丽的图案.
重难点、关键
1.重点:
用旋转的有关知识画图.
2.难点与关键:
根据需要设计美丽图案.
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
1.(学生活动)老师口问,学生口答.
(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢?
(2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系?
(3)两个图形是旋转前后的图形,它们全等吗?
2.请同学独立完成下面的作图题.
如图,△AOB绕O点旋转后,G点是B点的对应点,作出△AOB旋转后的三角形.
(老师点评)分析:
要作出△AOB旋转后的三角形,应找出三方面:
第一,旋转中心:
O;第二,旋转角:
∠BOG;第三,A点旋转后的对应点:
A′.
二、探索新知
从上面的作图题中,我们知道,作图应满足三要素:
旋转中心、旋转角、对应点,而旋转中心、旋转角固定下来,对应点就自然而然地固定下来.因此,下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究.
1.旋转中心不变,改变旋转角
画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心,旋转角分别为30°、60°的旋转图形.
2.旋转角不变,改变旋转中心
画出以下图,四边形ABCD分别为O、O为中心,旋转角都为30°的旋转图形.
因此,从以上的画图中,我们可以得到旋转中心不变,改变旋转角与旋转角不变,改变旋转中心会产生不同的效果,所以,我们可以经过旋转设计出美丽的图案.
例1.如下图是菊花一叶和中心与圆圈,现以O为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案.
分析:
只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化,旋转长度为菊花的最长OA,按菊花叶的形状画出即可.
解:
(1)连结OA
(2)以O点为圆心,OA长为半径旋转45°,得A.
(3)依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270°、315°的A、A、A、A、A、A.
(4)按菊花一叶图案画出各菊花一叶.
那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形.
例2.(学生活动)如图,如果上面的菊花一叶,绕下面的点O′为旋转中心,请同学画出图案,它还是原来的菊花吗?
老师点评:
显然,画出后的图案不是菊花,而是另外的一种花了.
三、巩固练习
教材P65练习.
四、应用拓展
例3.如图,如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°的图形.
分析:
该备案是一个比较复杂的图案,是作出几个复合图形组成的图案,因此,要先画出图中的关键点,这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等,然后再根据旋转的特征,作出这些关键点的对应点,最后再按原图案作出旋转后的图案.
解:
(1)连结OA,过O点沿OA逆时针作∠AOA′=90°,在射线OA′上截取OA′=OA;
(2)用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′;
(3)作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A′G′、G′D′、D′H′、H′A′;
(4)所作出的图案就是所求的图案.
五、归纳小结(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
1.选择不同的旋转中心、不同的旋转角,设计出美丽的图案;
2.作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案,要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等.
六、布置作业
1.教材P67综合运用7、8、9.
1.如图,五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的,每次旋转的角度是________.
2.图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换.
3.如图,过圆心O和图上一点A连一条曲线,将OA绕O点按同一方向连续旋转三次,每次旋转90°,把圆分成四部分,这四部分面积_________.
23.1图形的旋转
第2课时旋转作图及变换
教学内容
1.对应点到旋转中心的距离相等.
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3.旋转前后的图形全等及其它们的运用.
教学目标
理解对应点到旋转中心的距离相等;理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;理解旋转前、后的图形全等.掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用.
先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念,接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质.
重难点、关键
1.重点:
图形的旋转的基本性质及其应用.
2.难点与关键:
运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)老师口问,学生口答.
1.什么叫旋转?
什么叫旋转中心?
什么叫旋转角?
2.什么叫旋转的对应点?
3.请独立完成下面的题目.
如图,O是六个正三角形的公共顶点,正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形?
(老师点评)分析:
能.看做是一条边(如线段AB)绕O点,按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的.
二、探索新知
上面的解题过程中,能否得出什么结论,请回答下面的问题:
1.A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等?
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等?
3.旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等吗?
老师点评:
(1)距离相等,
(2)夹角相等,(3)前后图形全等,那么这个是否有一般性?
下面请看这个实验.
请看我手里拿着的硬纸板,我在硬纸板上挖下一个三角形的洞,再挖一个点O作为旋转中心,把挖好的硬纸板放在黑板上,先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC),然后围绕旋转中心O转动硬纸板,在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′),移去硬纸板.
(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)
1.线段OA与OA′,OB与OB′,OC与OC′有什么关系?
2.∠AOA′,∠BOB′,∠COC′有什么关系?
3.△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系?
老师点评:
1.OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′,也就是对应点到旋转中心相等.
2.∠AOA′=∠BOB′=∠COC′,我们把这三个相等的角,即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角.
3.△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等,即全等.
综合以上的实验操作和刚才作的(3),得出
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前、后的图形全等.
例1.如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B对应点的位置,以及旋转后的三角形.
分析:
绕C点旋转,A点的对应点是D点,那么旋转角就是∠ACD,根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,即∠BCB′=ACD,又由对应点到旋转中心的距离相等,即CB=CB′,就可确定B′的位置,如图所示.
解:
(1)连结CD
(2)以CB为一边作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD
(3)在射线CE上截取CB′=CB
则B′即为所求的B的对应点.
(4)连结DB′
则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形.
例2.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=
,△ABF是△ADE的旋转图形.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)AF的长度是多少?
(4)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?
分析:
由△ABF是△ADE的旋转图形,可直接得出旋转中心和旋转角,要求AF的长度,根据旋转前后的对应线段相等,只要求AE的长度,由勾股定理很容易得到.△ABF与△ADE是完全重合的,所以它是直角三角形.
解:
(1)旋转中心是A点.
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的
∴B是D的对应点
∴∠DAB=90°就是旋转角
(3)∵AD=1,DE=
∴AE=
=
∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点
∴AF=
(4)∵∠EAF=90°(与旋转角相等)且AF=AE∴△EAF是等腰直角三角形.
三、巩固练习教材P64练习1、2.
四、应用拓展
例3.如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L、M在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.
分析:
要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明.
解:
∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形
∴AB=AD,AK=AM,且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°
∴△ADM是以A为旋转中心,∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的
∴BK=DM
五、归纳小结(学生总结,老师点评)
本节课应掌握:
1.对应点到旋转中心的距离相等;
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
3.旋转前、后的图形全等及其它们的应用.
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
1.理解中心对称的定义,掌握中心对称的性质.
2.培养观察、分析和归纳能力,感受中心对称美,发掘作图能力.
一、情境导入
剪纸,又叫刻纸,是中国汉族最古老的民间艺术之一,它的历史可追溯到公元6世纪.如图剪纸中两个金鱼之间有什么关系呢?
二、合作探究
探究点一:
中心对称
【类型一】中心对称的识别
如下图所示的四组图形中,左边图形与右边图形成中心对称的有( )
A.1组B.2组
C.3组D.4组
解析:
将选项中左边图形沿着某一点旋转180°能与右边图形重合的是
(1)
(2)(3),所以
(1)
(2)(3)中左边图形与右边图形成中心对称.共3组,故选C.
探究点二:
中心对称的性质
【类型一】确定对称中心
如图中,已知△ABC和△A′B′C′成中心对称,画出它们的对称中心.
解析:
由于△ABC和△A′B′C′成中心对称,即从整体上看,此图是一幅中心对称图案,所以本题有两种解法.
解法一:
根据观察,B、B′及C、C′应是两组对应点,连接BB′、CC′,BB′、CC′相交于点O,则O为对称中心.如图.
解法二:
B、B′是一对对应点,连接BB′,找出BB′的中点O,则点O即为对称中心.如图.
方法总结:
利用中心对称的特征,找正确对应点.当两个图形成中心对称时,通过直接观察的方法找对应点;如果直观体现不明显,可采用测量方法找对应点.
【类型二】确定中心对称的对应元素
如图,四边形ABCD绕D点旋转180°,请作出旋转后的图案,写出作法并回答.
(1)这两个图形成中心对称吗?
如果是,
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- 人教版 数学 九年级 上册 单元 教案 十三