广东省附城中学届高三数学理一轮复习第五章三角函数训练题详解.docx
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广东省附城中学届高三数学理一轮复习第五章三角函数训练题详解
广东省附城中学2013届高三数学(理)一轮复习第五章三角函数
第一节角的概念的推广与弧度制
A组
1.点P从(-1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动
弧长到达Q点,则Q点的坐标为________.
解析:
由于点P从(-1,0)出发,顺时针方向运动
弧长到达Q点,如图,因此Q点的坐标为(cos
,sin
),即Q(-
,
).答案:
(-
,
)
2.设α为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________.
①tan
②sin
③cos
④cos2α
解析:
α为第四象限角,则
为第二、四象限角,因此tan
<0恒成立,应填①,其余三个符号可正可负.答案:
①
3.若sinα<0且tanα>0,则α是第_______象限的角.
答案:
三
4.函数y=
+
+
的值域为________.
解析:
当x为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,tanx>0,y=3;
当x为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,tanx<0,y=-1;
当x为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,tanx>0,y=-1;
当x为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,tanx<0,y=-1.答案:
{-1,3}
5.若一个α角的终边上有一点P(-4,a),且sinα·cosα=
,则a的值为________.
解析:
依题意可知α角的终边在第三象限,点P(-4,a)在其终边上且sinα·cosα=
,易得tanα=
或
,则a=-4
或-
.答案:
-4
或-
6.已知角α的终边上的一点P的坐标为(-
,y)(y≠0),且sinα=
y,求cosα,tanα的值.
解:
因为sinα=
y=
,所以y2=5,
当y=
时,cosα=-,tanα=-;
当y=-时,cosα=-,tanα=.
B组
1.已知角α的终边过点P(a,|a|),且a≠0,则sinα的值为________.
解析:
当a>0时,点P(a,a)在第一象限,sinα=;
当a<0时,点P(a,-a)在第二象限,sinα=.答案:
2.已知扇形的周长为6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_____.
解析:
设扇形的圆心角为αrad,半径为R,则
,解得α=1或α=4.答案:
1或4
3.如果一扇形的圆心角为120°,半径等于10cm,则扇形的面积为________.
解析:
S=|α|r2=×π×100=π(cm2).答案:
πcm2
4.若角θ的终边与168°角的终边相同,则在0°~360°内终边与角的终边相同的角的集合为__________.答案:
{56°,176°,296°}
5.若α=k·180°+45°(k∈Z),则α是第________象限.
解析:
当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m·180°+225°=m·360°+225°,故α为第三象限角;当k=2m(m∈Z)时,α=m·360°+45°,故α为第一象限角.
答案:
一或三
6.设角α的终边经过点P(-6a,-8a)(a≠0),则sinα-cosα的值是________.
解析:
∵x=-6a,y=-8a,∴r==10|a|,
∴sinα-cosα=-===±.答案:
±
7.若点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点,则的值为________.
解析:
=tan300°=-tan60°=-.答案:
-
8.已知点P(sin,cos)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为________.
解析:
由sin>0,cos<0知角θ在第四象限,∵tanθ==-1,θ∈[0,2π),∴θ=.答案:
9.已知角α的始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=kx上,若sinα=,且cosα<0,则k的值为________.
解析:
设α终边上任一点P(x,y),且|OP|≠0,∴y=kx,
∴r==|x|.又sinα>0,cosα<0.∴x<0,y>0,
∴r=-x,且k<0.∴sinα===-,又sinα=.
∴-=,∴k=-2.答案:
-2
10.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.
解:
设弧长为l,弓形面积为S弓,∵α=60°=,R=10,∴l=π(cm),
S弓=S扇-S△=·π·10-·102sin60°=50(-)(cm2).
11.扇形AOB的周长为8cm.
(1)若这个扇形的面积为3cm2,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解:
设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α,
(1)由题意可得解得或
∴α==或α==6.
(2)∵2r+l=2r+αr=8,∴r=.∴S扇=αr2=α·=≤4,
当且仅当α=,即α=2时,扇形面积取得最大值4.此时,r==2(cm),
∴|AB|=2×2sin1=4sin1(cm).
12.
(1)角α的终边上一点P(4t,-3t)(t≠0),求2sinα+cosα的值;
(2)已知角β的终边在直线y=x上,用三角函数定义求sinβ的值.
解:
(1)根据题意,有x=4t,y=-3t,所以r==5|t|,
①当t>0时,r=5t,sinα=-,cosα=,所以2sinα+cosα=-+=-.
②当t<0时,r=-5t,sinα==,cosα==-,
所以2sinα+cosα=-=.
(2)设P(a,a)(a≠0)是角β终边y=x上一点,若a<0,则β是第三象限角,r=-2a,此时sinβ==-;若a>0,则β是第一象限角,r=2a,
此时sinβ==.
第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A组
1.若cosα=-,α∈(,π),则tanα=________.
解析:
cosα=-,α∈(,π),所以sinα=,∴tanα==-.
答案:
-
2.若sinθ=-,tanθ>0,则cosθ=________.
解析:
由sinθ=-<0,tanθ>0知,θ是第三象限角,故cosθ=-.
答案:
-
3.若sin(+α)=,则cos(-α)=________.
解析:
cos(-α)=cos[-(+α)]=sin(+α)=.答案:
4.已知sinx=2cosx,则=______.
解析:
∵sinx=2cosx,∴tanx=2,∴==.
答案:
5.(原创题)若cos2θ+cosθ=0,则sin2θ+sinθ=________.
解析:
由cos2θ+cosθ=0,得2cos2θ-1+cosθ=0,所以cosθ=-1或cosθ=,当cosθ=-1时,有sinθ=0,当cosθ=时,有sinθ=±.于是sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0或或-.答案:
0或或-
6.已知sin(π-α)cos(-8π-α)=,且α∈(,),求cosα,sinα的值.
解:
由题意,得2sinαcosα=.①又∵sin2α+cos2α=1,②
①+②得:
(sinα+cosα)2=,②-①得:
(sinα-cosα)2=.
又∵α∈(,),∴sinα>cosα>0,即sinα+cosα>0,sinα-cosα>0,
∴sinα+cosα=.③sinα-cosα=,④
③+④得:
sinα=.③-④得:
cosα=.
B组
1.已知sinx=2cosx,则sin2x+1=________.
解析:
由已知,得tanx=2,所以sin2x+1=2sin2x+cos2x===.答案:
2.cos=________.
解析:
cos=cos=-cos=-.答案:
-
3.已知sinα=,且α∈(,π),那么的值等于________.
解析:
cosα=-=-,====-.
答案:
-
4.若tanα=2,则+cos2α=_________________.
解析:
+cos2α=+=+=.答案:
5.已知tanx=sin(x+),则sinx=___________________.
解析:
∵tanx=sin(x+)=cosx,∴sinx=cos2x,∴sin2x+sinx-1=0,解得sinx=.答案:
6.若θ∈[0,π),且cosθ(sinθ+cosθ)=1,则θ=________.
解析:
由cosθ(sinθ+cosθ)=1⇒sinθ·cosθ=1-cos2θ=sin2θ⇒sinθ(sinθ-cosθ)=0⇒sinθ=0或sinθ-cosθ=0,又∵θ∈[0,π),∴θ=0或.答案:
0或
7.已知sin(α+)=,则cos(α+)的值等于________.
解析:
由已知,得cos(α+)=cos[(α+)+]=-sin(α+)=-.
答案:
-
8.若cosα+2sinα=-,则tanα=________.
解析:
由
将①代入②得(sinα+2)2=0,∴sinα=-,cosα=-,∴tanα=2.
答案:
2
9.已知f(α)=,则f(-)的值为________.
解析:
∵f(α)==-cosα,∴f(-π)=-cos=-.答案:
-
10.求sin(2nπ+)·cos(nπ+)(n∈Z)的值.
解:
(1)当n为奇数时,sin(2nπ+)·cos(nπ+)=sin·cos[(n+1)π+]
=sin(π-)·cos=sin·cos=×=.
(2)当n为偶数时,sin(2nπ+)·cos(nπ+)=sin·cos=sin(π-)·cos(π+)=sin·(-cos)=×(-)=-.
11.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC的三内角.
解:
由已知,得
①2+②2得:
2cos2A=1,即cosA=±.
(1)当cosA=时,cosB=,又A、B是三角形内角,∴A=,B=,∴C=π-(A+B)=π.
(2)当cosA=-时,cosB=-.又A、B是三角形内角,∴A=π,B=π,不合题意.综上知,A=,B=,C=π.
12.已知向量a=(,1),向量b=(sinα-m,cosα).
(1)若a∥b,且α∈[0,2π),将m表示为α的函数,并求m的最小值及相应的α值;
(2)若a⊥b,且m=0,求的值.
解:
(1)∵a∥b,∴cosα-1·(sinα-m)=0,∴m=sinα-cosα=2sin(α-).
又∵α∈[0,2π),∴当sin(α-)=-1时,mmin=-2.
此时α-=π,即α=π.
(2)∵a⊥b,且m=0,∴sinα+cosα=0.∴tanα=-.
∴==tanα·2sinα·cosα
=tanα·=tanα·=.
第三节正弦函数与余弦函数的图像与性质
A组
1.已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下面结论错误的是.
①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0,]上是增函数
③函数f(x)的图象关于直线x=0对称④函数f(x)是奇函数
解析:
∵y=sin(x-)=-cosx,y=-cosx为偶函数,
∴T=2π,在[0,]上是增函数,图象关于y轴对称.答案:
④
2.函数y=2cos2(x-)-1是________.
①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为的奇函数 ④最小正周期为的偶函数
解析:
y=2cos2(x-)-1=cos(2x-)=sin2x,∴T=π,且为奇函数.
答案:
①
3.若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为________.
解析:
f(x)=(1+·)·cosx=cosx+sinx=2sin(x+),
∵0≤x<,∴≤x+<,∴当x+=时,f(x)取得最大值2.答案:
2
4.已知函数f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x=,则a的值为________.
解析:
∵x=是对称轴,∴f(0)=f(),即cos0=asin+cos,∴a=.
答案:
5.设f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线x=对称,它的最小正周期是π,则f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可).
解析:
∵T==π,∴ω=2,又∵函数的图象关于直线x=对称,所以有sin(2×+φ)=±1,∴φ=k1π-(k1∈Z),由sin(2x+k1π-)=0得2x+k1π-=k2π(k2∈Z),∴x=+(k2-k1),当k1=k2时,x=,∴f(x)图象的一个对称中心为(,0).答案:
(,0)
6.设函数f(x)=cos2x+sinxcosx-.
(1)求函数f(x)的最小正周期T,并求出函数f(x)的单调递增区间;
(2)求在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和.
解:
(1)f(x)=(cos2x+1)+sin2x-=cos2x+sin2x=sin(2x+),
故T=π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-π≤x≤kπ+,
所以单调递增区间为[kπ-π,kπ+](k∈Z).
(2)令f(x)=1,即sin(2x+)=1,则2x+=2kπ+(k∈Z).于是x=kπ+(k∈Z),∵0≤x<3π,且k∈Z,∴k=0,1,2,则+(π+)+(2π+)=.
∴在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和为π.
B组
1.函数f(x)=sin(x+)+sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________.
解析:
f(x)=cos+sin=sin(+),相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,T==3π,∴=.答案:
2.给定性质:
a最小正周期为π;b图象关于直线x=对称.则下列四个函数中,同时具有性质ab的是________.
①y=sin(+) ②y=sin(2x+)③y=sin|x|④y=sin(2x-)
解析:
④中,∵T==π,∴ω=2.又2×-=,所以x=为对称轴.
答案:
④
3.若 解析: -8 4.(函数f(x)=sin2x+2cosx在区间[-π,θ]上的最大值为1,则θ的值是________. 解析: 因为f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2,又其在区间[-,θ]上的最大值为1,可知θ只能取-.答案: - 5.若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[-,]上单调递增,则ω的最大值为________. 解析: 由题意,得≥,∴0<ω≤,则ω的最大值为.答案: 6.设函数y=2sin(2x+)的图象关于点P(x0,0)成中心对称,若x0∈[-,0],则x0=________. 解析: 因为图象的对称中心是其与x轴的交点,所以由y=2sin(2x0+)=0,x0∈[-,0],得x0=-.答案: - 7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是________. ①y=4sin(4x+)②y=2sin(2x+)+2③y=2sin(4x+)+2④y=2sin(4x+)+2 解析: 因为已知函数的最大值为4,最小值为0,所以,解得A=m=2,又最小正周期为=,所以ω=4,又直线x=是其图象的一条对称轴,将x=代入得sin(4×+φ)=±1,所以φ+=kπ+(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z),当k=1时,φ=.答案: ④ 8.有一种波,其波形为函数y=sinx的图象,若在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是________. 解析: 函数y=sinx的周期T=4,若在区间[0,t]上至少出现两个波峰,则t≥T=5.答案: 5 9.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是________. 解析: ∵y=sinωx+cosωx=2sin(ωx+),且由函数y=f(x)与直线y=2的两个相邻交点间的距离为π知,函数y=f(x)的周期T=π,∴T==π,解得ω=2,∴f(x)=2sin(2x+).令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).答案: [kπ-,kπ+](k∈Z) 10.已知向量a=(2sinωx,cos2ωx),向量b=(cosωx,2),其中ω>0,函数f(x)=a·b,若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π. (1)求f(x)的解析式; (2)若对任意实数x∈[,],恒有|f(x)-m|<2成立,求实数m的取值范围. 解: (1)f(x)=a·b=(2sinωx,cos2ωx)·(cosωx,2)=sin2ωx+(1+cos2ωx)=2sin(2ωx+)+.∵相邻两对称轴的距离为π,∴=2π,∴ω=, ∴f(x)=2sin(x+)+. (2)∵x∈[,],∴x+∈[,],∴2≤f(x)≤2+.又∵|f(x)-m|<2, ∴-2+m 解得≤m≤2+2. 11.设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x+m). (1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间; (2)当x∈[0,]时,f(x)的最大值为4,求m的值. 解: (1)∵f(x)=a·b=2cos2x+sin2x+m=2sin(2x+)+m+1, ∴函数f(x)的最小正周期T==π. 在[0,π]上的单调递增区间为[0,],[,π]. (2)当x∈[0,]时,∵f(x)单调递增,∴当x=时,f(x)取得最大值为m+3,即m+3=4,解之得m=1,∴m的值为1. 12.已知函数f(x)=sinωx-2sin2+m(ω>0)的最小正周期为3π,且当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0. (1)求函数f(x)的表达式; (2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值. 解: (1)f(x)=sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+)-1+m. 依题意,函数f(x)的最小正周期为3π,即=3π,解得ω=. ∴f(x)=2sin(+)-1+m. 当x∈[0,π]时,≤+≤,≤sin(+)≤1, ∴f(x)的最小值为m.依题意,m=0.∴f(x)=2sin(+)-1. (2)由题意,得f(C)=2sin(+)-1=1,∴sin(+)=1. 而≤+≤,∴+=,解得C=.∴A+B=. 在Rt△ABC中,∵A+B=,2sin2B=cosB+cos(A-C). ∴2cos2A-sinA-sinA=0,解得sinA=.∵0 第四节函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像 A组 1.已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是________. 解析: 函数的最小正周期为T=,∴当|a|>1时,T<2π.当0<|a|<1时,T>2π,观察图形中周期与振幅的关系,发现④不符合要求.答案: ④ 2.将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数y=sin(x-)的图象,则φ等于________. 解析: y=sin(x-)=sin(x-+2π)=sin(x+).答案: 3.将函数f(x)=sinx-cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则φ的最小值为________. 解析: 因为f(x)=sinx-cosx=2sin(x-),f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数,则φ的最小值为. 答案: 4.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R的部分图象,则下列命题中,正确命题的序号为________. ①函数f(x)的最小正周期为; ②函数f(x)的振幅为2; ③函数f(x)的一条对称轴方程为x=π; ④函数f(x)的单调递增区间为[,π]; ⑤函数的解析式为f(x)=sin(2x-π). 解析: 据图象可得: A=,=-⇒T=π,故ω=2,又由f()=⇒sin(2×+φ)=1,解得φ=2kπ-(k∈Z),又-π<φ<π,故φ=-,故f(x)=sin(2x-),依次判断各选项,易知①②是错误的,由图象易知x=是函数图象的一条对称轴,故③正确,④函数的单调递增区间有无穷多个,区间[,]只是函数的一个单调递增区间,⑤由上述推导易知正确.答案: ③⑤ 5.已知函数f(x)=sinωx+cosωx,如果存在实数x1,使得对任意的实数x,都有f(x1)≤f(x)≤f(x1+2010)成立,则ω的最小值为________. 解析: 显然结论成立只需保证区间[x1,x1+2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可,且f(x)=sinωx+cosωx=sin(ωx+),则2010≥⇒ω≥.答案: 6.已知函数f(x)=sin2ωx+sinωx·sin(ωx+)+2cos2ωx,x∈R(ω>0),在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为. (1)求ω; (2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的最大值及单调递减区间. 解: (1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+=sin(2ωx+)+, 令2ωx+=,将x=代入可得: ω=1. (2)由 (1)得f(x)=sin(2x+)+, 经过题设的变化得到的函数g(x)=sin(x-)+, 当x=4kπ+π,k∈Z时,函数取得最大值. 令2kπ+≤x-≤2kπ+π(k∈Z), ∴4kπ+≤x≤4kπ+π(k∈Z). 即x∈[4kπ+,4kπ+π],k∈Z为函数的单调递减区间. B组 1.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=________. 解析: 由图可知,=2π-π, ∴T=π,∴=π,∴ω=, ∴y=sin(x+φ). 又∵sin(×π+φ)=-1, ∴sin(π+φ)=-1, ∴π+φ=π+2kπ,k∈Z. ∵-π≤φ<π,∴φ=π.答案: π 2.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则φ=________. 解析: 由图象知T=2(-)=π. ∴ω==2,把点(,1)代入,可得2×+φ=,φ=.答案: 3.已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象________. 解析: ∵f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π, ∴=π,故ω=2. 又f(x)=sin(2x+)∴g(x)=sin[2(x+)+]=sin(2x+)=cos2x. 答案: 向左平移个单位长度 4.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f()=-,则f(0)=________. 解析: =π-π=,∴ω==3. 又(π,0)是函数的一个上升段的零点, ∴3×π+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=-+2kπ,k∈Z, 代入f()=-,得A=,∴f(0)=.答案: 5.将函数y=sin(2x+)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(-,0)中心对称. 解析: 由y
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- 广东省 中学 届高三数 学理 一轮 复习 第五 三角函数 训练 详解
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