同济大学高数上册知识点.docx
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同济大学高数上册知识点
高等数学上册复习要点
」、函数与极限
(一)函数
1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);
2、反函数、复合函数、函数的运算;
3、初等函数:
幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数;
4、函数的连续性与间断点;
函数f(x)在Xo连续>limf(x)f(x°)
xX0
‘第一类:
左右极限均存在.
间断点<可去间断点、跳跃间断点
<第二类:
左右极限、至少有一个不存在.
无穷间断点、振荡间断点
5、闭区间上连续函数的性质:
有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.
(二)极限
1、定义
1)数列极限
limxna
n
0,
N,
nN,
Xn
a
函数极限
limf(x)
xXo
A
0,0,
x,当0
X
X。
时,
f(x)A
左极限:
f(Xo)
lim
XXo
f(x)
右极限:
f(X0)
lim
XX0
f(x)
limf(x)
xXo
A存在
f(x°)
f(x°)
2、极限存在准则
1)夹逼准则:
1)yXnZn(nn°)
AIA
2)limylimznalimxna
厶丿nnJn
2)单调有界准则:
单调有界数列必有极限.
3、无穷小(大)量
1)定义:
若lim0则称为无穷小量;若lim则称为无穷大量.
2)
x~sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx
无穷小的阶:
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小
Th1
〜o();
Th2
〜,〜,lim一存在,
则
lim—
lim(无穷小代换)
4、
求极限的方法
1)
单调有界准则;
2)
夹逼准则;
3)
极限运算准则及函数连续性;
4)
两个重要极限:
sinx
a)lim01
7x0x
b)
lim(1
x0
丄1x
x)xlim(1-)xexx
5)
无穷小代换:
(x0)
a)
c)
(a1〜xlna)
d)ln(1x)〜x(loga(1x)〜話)
e)(1x)1~x
导数与微分
导数
函数f(x)在Xo点可导f(Xo)f(Xo)
2、几何意义:
f(Xo)为曲线yf(x)在点Xo,f(Xo)处的切线的斜率.
3、可导与连续的关系:
4、求导的方法
1)导数定义;
2)基本公式;
3)四则运算;
4)复合函数求导(链式法则);
5)隐函数求导数;
6)参数方程求导;
7)对数求导法.
5、高阶导数
d2yddy
1)定义:
dx2dxdx
(二)微分
三、微分中值定理与导数的应用
(一)中值定理
1、Rolle罗尔定理:
若函数f(x)满足:
1)f(x)
C[a,b];2)f(x)
D(a,b);3)f(a)f(b);
则
(a,b),使f()0.
2、Lagrange
拉格朗日中值定理*:
若函数f(x)满足:
1)f(x)
C[a,b];2)f(x)
D(a,b);
贝S
(a,b),使f(b)f(a)
f()(ba).
3、Cauchy柯西中值定理:
若函数f(X),F(X)满足:
1)f(x),F(x)C[a,b];2)f(x),F(x)D(a,b);)F(x)0,x(a,b)
(时使加丄
(2)洛必达法则
(3)Taylor公式
(4)单调性及极值
1、单调性判别法:
f(x)C[a,b],f(x)D(a,b),则若f(x)0,则
f(x)单调增加;则若f(x)0,则f(x)单调减少.
2、极值及其判定定理:
a)必要条件:
f(x)在X。
可导,若X。
为f(x)的极值点,贝Sf(xo)0.
b)第一充分条件:
f(x)在xo的邻域内可导,且f(xo)0,则①若当xxo时,f(X)0,当Xxo时,f(X)0,则X。
为极大值点;②若当Xxo时,f(x)0,当xX。
时,f(x)0,则X。
为极小值点;③若在X。
的两侧f(X)不变号,则x0不是极值点.
c)第二充分条件:
f(x)在x0处二阶可导,且f(x°)0,f(Xo)0,则①若f(Xo)0,则Xo为极大值点;②若f(Xo)0,则xo为极小值点.
3、凹凸性及其判断,拐点
X1X2\f(x1)f(x2)
1)f(x)在区间I上连续,若Xi,X2I,七-,则称f(x)在
”x1x2f(x1)f(x2)
区间I上的图形是凹的;若Xi,X2I,f(——2-,则称f(X)在
区间I上的图形是凸的.
2)判定定理:
f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上有一阶、二阶导数,则
a)若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
b)若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
3)拐点:
设yf(X)在区间I上连续,xo是f(X)的内点,如果曲线yf(x)经过点(xo,f(xo))时,曲线的凹凸性改变了,则称点(xo,f(xo))为曲线的拐点.
(五)不等式证明
1、利用微分中值定理;
2、利用函数单调性;
3、利用极值(最值)
六)方程根的讨论
1、连续函数的介值定理;
2、Rolle定理;
3、函数的单调性;
4、极值、最值;
5、凹凸性.
七)渐近线
四、不定积分
(一)概念和性质
1、原函数:
在区间I上,若函数F(x)可导,且F(x)f(x),则F(x)称为
f(x)的一个原函数.
2、不定积分:
在区间|上,函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.
3、基本积分表(P188,13个公式);
4、性质(线性性).
)换元积分法
1、第一类换元法(凑微分):
f[(x)](x)dxf(u)duu(x)
2、第二类换元法(变量代换:
三角代换、倒代换、根式代换等):
f(x)dx
f[
(t)]
(t)dtt1(x)
(三)分部积分法:
udv
uv
vdu(反对幕指三,前u后v'
(四)有理函数积分
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、
倒代换、根式代换等).
五、定积分
(一)概念与性质:
n
lim0f(i)Xi
i1
2、性质:
(7条)
性质7(积分中值定理)
函数f(x)在区间[a,b]上连续,则
[a,b],使
b
b
f(x)dxf()(ba)
a
f(x)dx
(平均值:
f()aba)
(二)微积分基本公式(N—L公式)
x
1、变上限积分:
设(x)f(t)dt,则(x)f(x)
a
d(x)
推广:
丁()f(t)dtf[(x)](x)f[(x)](x)
dx(x)
F(b)F(a)
b
2、N—L公式:
若F(x)为f(x)的一个原函数,贝Saf(x)dx
a
(三)换元法和分部积分
1、换元法:
b
f(x)dxf
a
[(t)](t)dt
2、分部积分法:
b
udv
a
bb
uvavdu
aa
(四)反常积分
1、无穷积分
f(x)dx
a
lim
t
t
f(x)dx
a
b
f(x)dx
lim
t
b
tf(x)dx
f(x)dx
0
f(x)dx0
f(x)dx
2、瑕积分:
b
f(x)dx
a
lim
ta
b
tf(x)dx
(a为瑕点)
b
f(x)dx
a
lim
tb
t
f(x)dx
a
(b为瑕点)
两个重要的反常积分:
1)
dx
axp
2)
bdx
a(xa)q
bdx
a(bx)q
(ba)1q
1q
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