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线性代数标准化作业
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
经济管理数学基础系列
线性代数
标准化作业
(C)
吉林大学数学中心
2012年9月
学院班级姓名学号
第一章作业
(行列式)
1、计算下列各行列式的值:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7).
2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、1,第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1,第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、5,且行列式的值为2,求m、k的值.
3、设a,b,c,d是不全为零的实数,证明线性方程组
仅有零解.
4、已知齐次线性方程组有非零解,求λ的值.
学院班级姓名学号
第二章作业
(矩阵)
1、是非题(设A、B、C均为n阶的方阵)
(1)(A+B)(A-B)=A2-B2;()
(2)若AX=AY,则X=Y,其中X、Y都是n×m矩阵;()
(3)若A2=O,则A=O;()
(4)若AB=O,则A=O或B=O; ()
(5)(ABC)T=CTBTAT;()
(6)(A+B)=A+B。
()
2、填空题
(1)设3阶方阵B0,A=,且AB=O,则= ;
(2)设A=,A为A的伴随矩阵,则(A)= ;
(3)设A为4阶标量矩阵,且|A|=16,则A= ,A= ,
A= ;
(4)设A,B均为n阶方阵,且,其中A为对称矩阵且可逆,求= ;
(5)设A=,则│A│= ,A=;
(6)设实矩阵A=O,(为的代数余子式),则│A│= ;
(7)设A为4阶可逆方阵,且│A│=2,则│3(A)-2A│= ;
(8)设A为2阶方阵,B为3阶方阵,且│A│==,则= ;
(9)设A=,则A=;
(10)设A为5阶方阵,且A2=O,则R(A*)=__________.
3、选择题
(1)若A,B为同阶方阵,且满足AB=O,则有( ).
(A)A=O或B=O; (B)|A|=0或|B|=0;
(C)(A+B)=A+B; (D)A与B均可逆.
(2)若由AB=AC(A,B,C为同阶方阵)能推出B=C,则A满足( ).
(A)AO;(B)A=O; (C)|A|0;(D)|AB|0.
(3)若A,B为同阶方阵,则有( ).
(A)(AB)=AB; (B)|-AB|=-|AB|;
(C)E-(AB)=(E-AB)(E+AB);(D)|A+B|=|A|+|B|.
(4)已知A为任意n阶方阵,若有n阶方阵B使AB=BA=A,则( ).
(A)B为单位矩阵;(B)B为零方阵;(C)B=A;(D)不一定.
(5)若A,B,(B+A)为同阶可逆方阵,则(B+A)=( ).
(A)B+A;(B)B+A;(C)(B+A);(D)B(B+A)A.
(6)设A为3阶方阵,且|A|=3,为A的伴随矩阵,若交换A的2,3两行得到矩阵B,则=( ).
(A)27;(B)-27;(C)3;(D)-3.
4、计算题:
(1);
(2);
(3);(4);
(5).
5、计算下列方阵的幂:
(1)已知α=(1,2,3),β=(1,-1,2),A=αTβ,求A4.
(2)已知,求n.
(3)已知,求n.
6、设3阶矩阵,其中α,β,γ1,γ2均为3维行向量,且|A|=18,|B|=2,求|A-B|.
7、设若矩阵A与B可交换,求a、b的值.
8、求下列矩阵的逆矩阵:
(1)A=;
(2)A=.
9、已知A=,B=,C=,求解下列矩阵方程:
(1)AX=X+C;
(2) AXB=C.
10、设矩阵且满足ABA*+BA*+180E=O,求矩阵B.
11、设A为n阶可逆矩阵,将A的第i行和第j行对换后得矩阵B,试证:
(1)B可逆;
(2)求AB-1。
12、设A为n阶可逆对称阵,B为n阶对称阵,当E+AB可逆时,试证(E+AB)-1A为对称矩阵。
13、把下列矩阵化为行最简形矩阵:
(1)
(2).
14、把下列矩阵化为标准形矩阵
(1);
(2).
15、利用初等矩阵计算:
(1);
(2)已知AX=B,其中
求X.
16、求下列矩阵的秩:
(1);
(2).
17、设A为n阶方阵,是A的伴随矩阵,证明:
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当时,.
学院班级姓名学号
第三章作业
(向量组的线性相关性)
1、填空题
(1)设β=(3,-4),α1=(1,2),α2=(-1,3),则β表成α1,α2的线性组合为;
(2)设向量组α1=(1,1,0),α2=(1,3,-1),α3=(5,3,t)线性相关,则t=;
(3)设向量组α1=(1,1,0),α2=(1,3,-1),α3=(5,3,t)的秩为3,则参数t应满足的条件是;
(4)设向量组,,,若由形成的向量空间的维数为2,则参数a=;
(5)已知向量,,,,
且可由线性表示,不能由线性表示,则参数
a=.
2、选择题
(1)设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关,则正确的结论是().
(A)α1,α2,α3线性相关;(B)α1,α2,α3线性无关;
(C)α1可由β,α2,α3线性表示;(D)β可由α1,α2线性表示.
(2)设α1,α2,α3,α4,其中c1,c2,c3,c4为任意常数,则下列向量组线性相关的是().
(A)α1,α2,α3;(B)α1,α2,α4;(C)α1,α3,α4;(D)α2,α3,α4.
(3)下列说法中正确的是().
(A)向量组线性无关,则不能由线性表示;
(B)向量组线性相关,则能由线性表示;
(C)向量组线性无关,则减少分量后所得的向量组也线性无关;
(D)含有零向量的向量组必线性相关,而不含零向量的向量组必线性无关.
(4)设和为两个n维向量组,且
,则().
(A)两向量组等价;
(B);
(C)当时,两向量组等价;
(D)当能被线性表示时,也能被线性表示.
(5)已知是3维非零向量,则下列说法中错误的是().
(A)如果不能由线性表出,则线性相关;
(B)如果线性相关,线性相关,那么也线性相关;
(C)如果不能由线性表出,不能由线性表出,则可以由线性表出;
(D)如果,则可以由线性表出.
3、求向量组的秩,并求出它的一个极大无关组。
4、设β能由α1,α2,…,αm线性表示,则表示法唯一的充分必要条件是α1,α2,…,αm线性无关.
5、已知向量组
(1)试验证1,2,3是R3的一个基;
(2)把用这个基线性表示。
6、设向量组线性相关,且其中任意个向量都线性无关,试证:
必存在一组全都不为零的数,使得.
7、设3维向量组线性无关,A是3阶矩阵,且有
,,,
试求.
学院班级姓名学号
第四章作业
(线性方程组)
1、填空题
(1)n元线性方程组Ax=0有非零解时,它的每一个基础解系所含解向量的个数均为;
(2)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且R(A)=n-1,则方程组Ax=0的通解为;
(3)设是4元方程组的三个解向量,且R(A)=3,,,则方程组的通解为;
(4)设是方程组的解向量,若也是的解,;
(5)设线性方程组的系数矩阵为A,且存在3阶非零矩阵B使得,则.
2、选择题
(1)设n元线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为n-3,且α1,α2,α3为线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量,则方程组Ax=0的基础解系为().
(A)α1+α2,α2+α3,α3+α1;(B)α2-α1,α3-α2,α1-α3;
(C)2α2-α1,α3-α2,α1-α3;(D)α1+α2+α3,α3--α2,-α1-2α3.
(2)设α1,α2是n元线性方程组Ax=0的两个不同的解向量,R(A)=n-1,k为任意常数,则方程组Ax=0的通解为().
(A)kα1;(B)kα2;(C)k(α1-α2);(Dk(α1+α2).
(3)设向量组α1,α2是方程组Ax=0的基础解系,β1,β2是方程组Ax=b的两个解向量,k1,k2是任意常数,则方程组Ax=b的通解为().
(A);(B)
(C)(D)
(4)设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0,则下面结论正确的是().
(A)若Ax=0有唯一解,则Ax=b必有唯一解;
(B)若Ax=0有唯一解,则Ax=B必无解;
(C)若Ax=0有无穷多个解,则Ax=b也有无穷多个解;
(D)若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0也有无穷多个解.
(5)设n阶方阵的伴随矩阵,若是非齐次线性方程组Ax=b的不相等的解向量,则方程组Ax=0的基础解系().
(A)不存在;(B)含有1个非零的解向量;
(C)含有2个非零的解向量;(D)含有3个非零的解向量.
3、设,求一个的矩阵B,使得,且R(B)=2.
4、求解齐次线性方程组
5、求解非齐次线性方程组
6、设向量组
试问
(1)当a、b为何值时,β能由唯一线性表示?
(2)当a、b为何值时,β不能由线性表示?
(3)当a、b为何值时,β能由线性表示,但表示法不唯一,并写出表示式.
7、已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2,α3,α4均为4维的列向量,且α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3,如果β=α1+α2+α4,求线性方程组Ax=β的通解.
8、已知向量组与向量组
具有相同的秩,且能由线性表示,求a、b的值.
9、设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为,且η*为Ax=b的一个特解,试证η*线性无关.
学院班级姓名学号
第五章作业
(方阵的特征值、特征向量和方阵的对角化)
1、填空题
(1)A为幂零矩阵(Ak=0,k为正整数),则A的特征值.
(2)设A是n阶方阵,|A|=5,则方阵B=AA*的特征值是,
特征向量是.
(3)设A为3阶方阵,其特征值为,则其行列式,的3个特征值为,2A2-3A+E的3个特征值为.
(4)设4阶方阵A相似于B,且A的特征值为,则|B-1-E|=.
(5)若λ是n阶方阵A的特征方程的单根,则R(A-λE)=.
(6)若n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a,则的一个特征值为.
2、选择题
(1)设3阶方阵A有特征值0,-1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P=(P1,P2,P3),则().
(A);(B);(C);(D).
(2)下列矩阵
中两两相似的是().
(A)A3,A4;(B)A1,A2;(C)A1,A3;(D)A2,A3.
(3)矩阵A与B相似,则().
(A)|A-λE|=|B-λE|;(B)A-λE=B-λE;
(C)A与B与同一对角阵相似;(D)存在正交阵P,使得P-1AP=B.
(4)设为4阶对称矩阵,且,若,则相似于().
(5)设矩阵相似于A,则R(A-2E)+R
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