高三数学试题及解析.docx

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高三数学试题及解析

2020～2021学年第一学期期末考试

高三数学试题及评分建议

（考试时间：

120分钟满分：

150分）

一、单项选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数满足，则（▲）

A．1B．C．D．2

【答案】B

2.已知集合时，

【答案】C

3.2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校4名大学生到三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传.则不同的安排方案共有（）

A. 18种B.36种C.48种D.72种

【答案】

4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）

A．B．C．D．

【答案】A

5．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{三个点数互不相同}，{出现一个6点}，则（）．

A．B．C．D．

【答案】A

6．已知，，，则（▲）

A．B．C．D．

【答案】C

7．已知，为单位向量，且，则，的夹角为（▲）

A．或B．C．或D．

【答案】D

8．已知定义域为R的函数在上单调递减，且，

则使得不等式成立的实数x的取值范围是（▲）

A．B．C．或D．

【答案】C

二、多项选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知，下列结论正确的是（）

A.．的最小值为B．的最大值为－1

C．的最小值为8D．的最大值为

【答案】BC

10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（）

A．B．为等腰直角三角形

C．的面积为D．直线AB的斜率为

【答案】AC

11.已知函数，则

A.．f（x）＝f（x＋π）B．f（x）的最小值为－

C．f（x）的图象关于x＝对称D．f（x）在单调递减

【答案】AD

12.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，P为三角形ABC所在平面内一动点，下列命题中正确的是

若PC1＝2，则PC的中点的轨迹所形成的图形的面积为

若P到直线AB是到直线CC1的距离的两倍，则P的轨迹为椭圆

若C1N与AB所成的角为，则P的轨迹为双曲线

若PC1与平面ABC所成的角为，则P的轨迹为圆

【答案】

三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

请把答案直接填写在答题卡相应

位置上。

13.在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项之积为，且，则取最小值时，的值是_____________.

【答案】或

14.写出一个图象关于直线x＝1对称的奇函数f（x）＝________.

【答案】

15.设双曲线的左右两个焦点分别为，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程为____________；在曲线上，点，，则的最小值为________.

【答案】，

16.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

四、解答题：

本题共6小题，共70分。

请在答题卡指定区域内作答。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

.在①，②

③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.

在中，角所对的边分别为，且_____________.

求角的大小；

若，求面积的最大值.

【解】

选①，由正弦定理得

即，又，所以，所以，又，从而得

选②，因为

，所以

，又因为，所以

选③因为，

即，即，所以由正弦定理得，，因为，所以

由得，又，由余弦定理，所以等号当且仅当时取得，，所以面积的最大值为

18．（本小题满分12分）

已知集合，，将中的所以元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前项和为.

若，求的值；

（2）求的值．

【解】

，，，中的所以元素按从小到大的顺序排列构成数列

，所以

设包含的项数为，则，，包含的项数为，则，

时，，时，，，

时，，，

设，，显然，

此时

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点.

（1）当E为PD的中点时，求证：

平面；

C

D

E

B

A

P

（2）设，，若直线PC与平面AEC所成角的正弦值为，

求PE的长.

O

C

B

D

E

A

P

【解】

（1）证明：

连接，使交于点O，连接，

∵O，E分别为，的中点，

∴.………2

又∵平面，平面，

∴平面..………4

（2）∵平面，平面,

∴，由，，得，

∵底面为菱形且，

∴底面为正方形，，，两两互相垂直，..………6

分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

，，，，，

不妨设

∴，

，

设平面的法向量为，

由，令，则，，

∴，..………8

设直线PC与平面AEC所成角为，则

解方程得，故...………12

20．（本小题满分12分）

某学校教师趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：

向两个靶子进行射击，先向靶射击一次，命中得分，没有命中得分，再向靶连续射击两次，如果只命中一次得分，一次也没有命中得分，如果连续命中两次得分.甲教师准备参赛，目前的射击水平是：

向靶射击，命中的概率是，向靶射击命中的概率为.假设甲教师每次射击结果相互独立.

求甲教师恰好命中一次的概率；

求甲教师获得的总分的分布列及数学期望.

【解】记“甲教师恰好命中一次”为事件，“甲教师射击命中靶”为事件，“甲教师第一次射击靶命中”为事件，“甲教师第二次射击靶命中”为事件，

由题意可知，由于，且甲教师每次射击结果相互独立.

随机变量的可能取值为：

.

（由第一问得）

随机变量的概率分布列为

21．（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

【来源】原创

【解】

（1）当时，由，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴的单调增区间为；单调减区间为...………2

（2）由，

若，，

单调减，最多有一个零点，不合题意；..………4

若，，

当时，，单调减；

当时，，单调增，

则是的极小值点，

要使有两个零点，；

解得..………6

又，故在内，有且只有一个零点；..………8

又，令，

∵∴，故在上为减函数，

而，即，

故在内，有且只有一个零点.

所以a的取值范围为...………12

22．（本小题满分12分）

已知椭圆：

的左焦点，点在椭圆上.

求椭圆的标准方程；

经过圆：

上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为．求面积的取值范围.

【解】

椭圆：

的左焦点，，将点代入，得，又，.

椭圆的标准方程为.

也可以利用椭圆的几何定义点到的距离之和为求出.

①设点

情形一：

当直线斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程为由，消去

得

，令，

整理得

设直线的斜率分别为，又在圆上，，，，即为圆的直径，

情形二：

当直线或的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为，，也满足

综上有

②设点

当直线的斜率存在是，设直线的方程为，

由，，

，令，整理得

，则

所以直线的方程为，整理得，又，即，同理可得直线的方程为

在直线上，，所以直线的方程为

由，消去整理得，

则，又，，

所以弦长

，又原点到直线距离

所以，令

则，又在上单调递减，上单调递增，，，综上的取值范围为