计算方法试题集及答案.docx

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计算方法试题集及答案

计算方法试题复习试题

一、填空题：

1、，则A的LU分解为。

答案：

2、已知，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得,用三点式求得。

答案：

2.367，0.25

3、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为，拉格朗日插值多项式为。

答案：

-1，

4、近似值关于真值有

（2）位有效数字；

5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是（）；

答案

6、对,差商

（1）,（0）；

7、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；

8、用二分法求非线性方程f（x）=0在区间（a,b）内的根时，二分n次后的误差限为（）；

9、求解一阶常微分方程初值问题=f（x,y），y（x0）=y0的改进的欧拉公式为（）；

10、已知f

（1）＝2，f

（2）＝3，f（4）＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为（0.15）；

11、两点式高斯型求积公式≈（），代数精度为（5）；

12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A的各阶顺序主子式均不为零）。

13、为了使计算的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式改写为。

14、用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。

15、计算积分,取4位有效数字。

用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。

16、求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。

17、设,则，的二次牛顿插值多项式为。

18、求积公式的代数精度以（高斯型）求积公式为最高，具有（）次代数精度。

19、已知f

（1）=1,f（3）=5,f（5）=-3,用辛普生求积公式求≈（12）。

20、设f

（1）=1，f

（2）=2，f（3）=0，用三点式求（2.5）。

21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

22、已知是三次样条函数，则

=（3　），=（3　），=（　1）。

23、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则

（1），（），当时（）。

24、解初值问题的改进欧拉法是

　2　　阶方法。

25、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_____2_____阶的连续导数。

26、改变函数（）的形式，使计算结果较精确。

27、若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。

28、设是3次样条函数，则

a=3,b=-3,c=1。

29、若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。

30、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛收敛。

31、设,则9。

32、设矩阵的，则。

33、若，则差商3。

34、数值积分公式的代数精度为2。

35、线性方程组的最小二乘解为。

36、设矩阵分解为，则。

二、单项选择题：

1、Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（C）。

A．A的各阶顺序主子式不为零B．

C．D．

2、设，则为（C）．

A．2B．5C．7D．3

3、三点的高斯求积公式的代数精度为（B）。

A．2B．5C．3D．4

4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是（B）。

A．对称阵B．正定矩阵

C．任意阵D．各阶顺序主子式均不为零

5、舍入误差是（A）产生的误差。

A.只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值

C．观察与测量D．数学模型准确值与实际值

6、3.141580是π的有（B）位有效数字的近似值。

A．6B．5C．4D．7

7、用1+x近似表示ex所产生的误差是（C）误差。

A．模型B．观测C．截断D．舍入

8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是（A）。

A．控制舍入误差B．减小方法误差

C．防止计算时溢出D．简化计算

9、用1+近似表示所产生的误差是（D）误差。

A．舍入B．观测C．模型D．截断

10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有（C）位有效数字。

A．5B．6C．7D．8

11、设f（-1）=1,f（0）=3,f

（2）=4,则抛物插值多项式中x2的系数为（A）。

A．–0．5B．0．5C．2D．-2

12、三点的高斯型求积公式的代数精度为（C）。

A．3B．4C．5D．2

13、（D）的3位有效数字是0.236×102。

（A）0.0023549×103（B）2354.82×10－2（C）235.418（D）235.54×10－1

14、用简单迭代法求方程f（x）=0的实根，把方程f（x）=0表示成x=（x），则f（x）=0的根是（B）。

（A）y=（x）与x轴交点的横坐标（B）y=x与y=（x）交点的横坐标

（C）y=x与x轴的交点的横坐标（D）y=x与y=（x）的交点

15、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为（A）。

（A）－4（B）3（C）4（D）－9

16、拉格朗日插值多项式的余项是（B）,牛顿插值多项式的余项是（C）。

（A）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn），

（B）

（C）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn），

（D）

17、等距二点求导公式f（x1）（A）。

18、用牛顿切线法解方程f（x）=0，选初始值x0满足（A）,则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f（x）=0的根。

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（A）。

（A）

（B）

（C）

（D）

20、求解初值问题欧拉法的局部截断误差是（）;改进欧拉法的局部截断误差是（）;四阶龙格－库塔法的局部截断误差是（A）

（A）O（h2）（B）O（h3）（C）O（h4）（D）O（h5）

21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（　　）。

（1）,

（2）,（3）,（4）

22、在牛顿-柯特斯求积公式：

中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（　）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1），

（2），（3），（4），

23、有下列数表

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

f（x）

-2

-1.75

-1

0.25

2

4.25

所确定的插值多项式的次数是（　　）。

（1）二次；

（2）三次；（3）四次；（4）五次

24、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（　　）。

（1）,

（2）,（3）,（4）

25、取计算，下列方法中哪种最好？

（　　　　）

（A）；（B）；（C）；（D）。

26、已知是三次样条函数，则的值为（）

（A）6，6；（B）6，8；（C）8，6；（D）8，8。

27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（　　　　）

１

1.5

２

2.5

３

3.5

-1

0.5

2.5

5.0

8.0

11.5

（A）；（B）；（C）；（D）。

28、形如的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（　　　　）

（A）；（B）；（C）；（D）。

29、计算的Newton迭代格式为（）

（A）；（B）；（C）；（D）。

30、用二分法求方程在区间内的实根，要求误差限为，则对分次数至少为（）

（A）10；（B）12；（C）8；（D）9。

31、经典的四阶龙格—库塔公式的局部截断误差为（）

（A）；（B）；（C）；（D）。

32、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则（）

（A）；（B）；（C）；（D）。

33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有（）次代数精度

（A）5；（B）4；（C）6；（D）3。

34、已知是三次样条函数，则的值为（）

（A）6，6；（B）6，8；（C）8，6；（D）8，8。

35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是（）

（A）；（B）；（C）；（D）。

36、由下列数据

0

1

2

3

4

1

2

4

3

-5

确定的唯一插值多项式的次数为（）

（A）4；（B）2；（C）1；（D）3。

37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为（）

（A）8；（B）9；（C）10；（D）11。

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）

1、已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时，的次数n可以任意取。

（）

2、用1-近似表示cosx产生舍入误差。

（）

3、表示在节点x1的二次（拉格朗日）插值基函数。

（）

4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

（）

5、矩阵A=具有严格对角占优。

（）

四、计算题：

1、用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代四次（要求按五位有效数字计算）。

答案：

迭代格式

k

0

0

0

0

1

2.7500

3.8125

2.5375

2

0.20938

3.1789

3.6805

3

0.24043

2.5997

3.1839

4

0.50420

2.4820

3.7019

2、求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求（保留四位小数）。

答案：

是精确成立，即

得

求积公式为

当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。

所以代数精度为3。

3、已知

1

3

4

5

2

6

5

4

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。

答案：

差商表为

一阶均差

二阶均差

三阶均差

1

2

3

6

2

4

5

-1

-1

5

4

-1

0

4、取步长，用预估-校正法解常微分方程初值问题

答案：

解：

即

n

0

1

2

3

4

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1

1.82

5.8796

10.7137

19.4224

35.0279

5、已知

-2

-1

0

1

2

4

2

1

3

5

求的二次拟合曲线，