届福建省泉州市高三毕业班质量检测数学试题解析版.docx
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届福建省泉州市高三毕业班质量检测数学试题解析版
2021届福建省泉州市高三毕业班质・检测数学试题
一、单选题
1.已知集合人={小<1},5={0,1,2},则4门8=()
A.{0,1,2}B.{x|x<2}C.{0,1}D.[0,1]
【答案】C
【解析】根据交集的定义可得ACIB,从而可得正确的选项.
【详解】
依题意,4n8={0』},
故选:
C.
【点睛】
本题考查交集的计算,此类问题,关键是理解描述法表示集合时对集合元素属性的要求,本题属于容易题.
2.下列函数为偶函数的是()
A./(X)=X3B,〃x)=sinxC.f(x)=\x-i\
D.f(x)=ex+e-x
【答案】D
【解析】先由定义判断/(X)=V与〃x)=sinx是奇函数,/
(1)=卜一1|既非奇函数,也非偶函数,/
(1)=卜—1|为偶函数,再给出选项即可.
【详解】
解:
A选项:
因为函数〃x)=d,所以〃T)=(T)3=7?
=—/(]),故A选项错
误:
B选项:
因为函数〃x)=sinx,所以/(f)=sin(f)=-sinx=-f(x),故B选项错误:
C选项:
因为函数因(T)=|-X-l|=fa)且"T)=|T-)=-f(X),故C选项错
误:
D选项:
因为函数/(x)=/+e-、,定义域为R,且/(一切=/+1=/(幻,故D选项正确:
故选:
D
【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断,是基础题.
3.己知三条不同的直线。
、b、I,平面。
,且a,bua,则“/_La,11b”是“/_1。
”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据直线与平面垂直的定义及判定定理判断即可.
【详解】
根据直线与平面垂直的判定定理,若",bua,aC\b=P,Ha,11b,则/_La
故由/la,/_LZ?
”不能推出“/_La”,所以不是充分条件;
又由线而垂直的定义可知“/_Le,则/_La,为真命题,
所以“/_La,是“/_La”的必要不充分条件:
故选
【点睛】
本题考查线而垂直的定义与判定,属于基础题.
4.欧拉是十八世纪伟大的数学家,他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函
数cos。
和Sind联系在一起,得到公式屋=cose+isin6,这个公式被誉为“数学的
X.
天桥”,根据该公式,可得”'+1=()
A.1B.72C.2D.y/5
【答案】B
X.
【解析】根据公式〃=cose+isinC,可求出点进而可知F+1=|l+i|,求V—111
解即可.
【详解】
e2=cos-^+isiiiy=i»所以e。
+1=|1+i|=\/2.
故选:
B.
【点睛】
本题考查新定义,考查复数的模,考查学生的计算求解能力,属于基础题.
【点睛】
本题考查函数模型的实际应用,考查学生的推理能力,属于基础题.
7.设抛物线C丁=2冲(〃>0)的焦点为产,点48在。
上,若「用一|胡|=4,\AB\=5t则直线”的斜率为()
3C.±-
4
3
A.-4
【答案】C
【解析】作出准线,过48作AY,垂直于准线,垂足分别为A',8',利用
\FA\=\AA],\FB\=\BB'\,在直角梯形中可求得A8的斜率.
【详解】
如图,/为抛物线的准线,分别过点A,8作垂线垂直/于H,B',由抛物线的定义可知,年同=怛叫,|刑=|A41.所以1=|用|—|研=4.过A作A”垂直&T33
于从在一△A8H中,=5,怛*=4,所以tanNAB”=[,kAl{由对称3
可知也满足题意,点A,8其他情形亦同法可得该结果,门”4
故选:
C.
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦的性质,解题方法是利用抛物线的定义,把抛物线上到焦点的距离与这幺至准线的距离联系起来,通过平面几何知识求解.
1(X+1)[w1
8.若函数/(x)=°g;:
一A-的值域为R,则。
的取值范围是()
x-2ax,x>1
A.[-2,2]B.(to,2]C.[0,1]D.[O,-kx))
【答案】D
【解析】就。
〈1、,>1分类讨论求出/(X)在(1,+叼上的范围后,再结合已知的值域可得关于"的的不等式,从而得到〃的取值范围.
【详解】
一lvx 当x>l时,f(x)=--2ax,分两种情况: (/)当。 时,(x2-2ax)>\-2a,所以只需1一2,《1,得即 3)当"1时,(x2-W=-a2,所以只需一/〈I显然成立,得“>i. \/min 综上,,,的取值范围是[0,+8). 故选: D. 【点睛】 本题考查分段函数的值域,注意先考虑不含参数的函数在相应范围的函数值的范闱,再结合已知的值域判断含参数的函数的性质,本题属于中档题. 二、多选题 9.某校在劳动基地开展开垦菜地、种植蔬菜的实践活动.某班级统计其负责菜地连续八 周的蔬菜周产量(单位: 斤),并制作折线图如图所示.根据折线图信息,下列结论中正 A.这八周周产量的众数为19 B.共有4周周产量超过周产量的平均数 C.这八周周产量的中位数小于周产量的平均数 D.前四周周产量的方差大于后四周周产量的方差 【答案】ABD 【解析】直接根据折线图可得方差的大小关系、计算可得平均数及中位数,即可得答案; 【详解】 由图知,这八周周产量的众数为19,前四周周产量的方差大于后四周周产量的方差,故A,。 正确: 这八周周产量的平均数为17.25,中位数17.5,故B正确,。 错误.故选: ABD. 【点睛】 本题考查通过折线图分析、处理数据,考查数据处理能力,属于基础题. 10.己知函数/(x)=sin贝1J() A.“X)的最小正周期为江 b.y=f(x)的图象关于传对称 c.“X)在%的最小值为: ,则小的最大值为f D.将函数g(x)=cos晨—sin。 的图象向右平移三个单位后,可得到/(')的图象【答案】AC 【解析】直接计算出最小正周期可判断月: 计算八亲)看是否等于。 可判断以由/(力 在。 ,加的最小值为《,可知£<2〃7-工 ,即可判断C;化简得.6」2666 g(x)=cos2x,再计算gx-三-看能否得/(x),即可判断D 【详解】 由题丁=三=乃,A正确: 2 An\.41…乂 /(T=sin7=7,B错: ko7o2 2x--e 6 ―,7t—7T5乃ZT7t一. 所以一<2加一一《——,— 66662 g(x)=cos2x. 故选: AC. 【点睛】本题考查三角函数的性质,属于基础题. 11.设d为正项等差数列{4}的公差,若d>0,4=2,则() 1+1>1%«5 【答案】ABC 据0 【详解】 c4・%=(2—4)・(2+〃)=4-〃-<4,A正确: g+%=(2—4『+(2+4)=42—3(/+6>42? ,B正确; 4・6—6•4=(2-2J)(2+2J)-(2-J)«(2+t/)=-3J2<0,所以“1・%<〃2・“4,。 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质,解题方法是由已知确定4的范围,由通项公式写出各项(用 d表示)后,可判断. 12.在棱长为2的正方体48CO-45GA中,点"在线段8c上,与M=2MC, 过A、G、M三点的平面截正方体所得的截面记为。 ,记8。 与截面。 的交点为N, 则() A.截面。 的形状为等腰梯形B.BD=3BN 4 C.MN_L平面8cAD.三棱锥C—MNA的体积为g 【答案】BCD 【解析】直接利用三角形的相似,平行线的判定,线面垂直的应用,锥体的体积判定A、 B、C、D的结论. 【详解】 对A,如图,连接交3C于E, sfME,.・.蛆==2 CEMC 即七是中点,取AA中点F,连接AE、AF.C】F, 故AF//CE,即菱形AEC7为C与正方体的截而,故A错误: DNAD 对B,同理可得△AN£)sZ\en8,・,.——=--=2,: .BD=3BN,故8正确; NBBE EMEN1 对C,连接AG,由前两个相似三角形可知工L=)=・・・MN//AG, MC〕NA2 在正方体中,由用CL8G,B.c1AB,且8GnA8=3,故与CJ,而48G,故而与CLAG, 同理4R_LAG,且BPiCB£=Bi, AGL平面8c「.MN,平而SCR,故C正确: 对。 ,•.♦肪\^=/。 ]=—皿="(2四)=2/, S△veil=3Sams ••K--.WA7? ! =TMN•S△MCD\ 故选: BCD. 【点睛】 本题考查的知识要点: 三角形的相似,平行线的判定,线面垂直的应用,锥体的体积,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题. 三、填空题 13.向量4=(1,2),〃=(x,6),若Z〃B,则工= 【答案】3 【解析】根据向量平行坐标表示列方程,即得结果. 【详解】 •»,ciHb,「.1x6=2x,x=3 故答案为: 3 【点睛】 本题考查根据向量平行求参数,考查基本分析求解能力,属基础题. 14.在(2x+l)s的展开式中,Y的系数为_.(用数字作答) 【答案】40 【解析】根据所给的二项式写出通项,要求自变量的二次方的系数,只要使得指数等于 2,得出式子中的系数的表示式,得到结果. 【详解】 ・.•(2r+l)‘的通项式式是CV⑵)5,=0吸货, 当5-1=2时,即i=3时,得到含有储的项, ・••它的系数是。 $322=40 故答案为40. 【点睛】 本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是写出二项式的通项. 四、双空题 15.已知/3=xlnx-2x+a,xe[l,J],曲线y=/(x)在点(ej(e))处切线的斜 率为;若/(X)4。 恒成立,则。 的取值范围为 【答案】0。 《0 【解析】求出导函数/'(x)=lnx—1,进而可得/'(e)=。 ,由导数的几何意义可得切 组即可求解. 【详解】 /"(x)=lnx-l,/'(e)=0, .,J(x)在[l,e)单减,(%/]单增,•."(x)«0恒成立, 7 (1)=-2+«<0 ・・ f^e2)=2e2-2e2+a<0 故答案为: 0: 6f<0. 【点睛】 本题考查了导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题,考查了基本知识的掌握情况,属于基础题. 2 16.双曲线。 : /-二=1的渐近线方程为;设A、3分别为C的左、右顶点,2 P为C上的一点,若tanZ.PAB=1,则tanZAPS=. 【答案】y=±^2x? 【解析】由双曲线。 的标准方程可求得该双曲线的渐近线方程,设点P(x,y),计算得出3P=2,再利用两角差的正切公式可求得tanN4P3的值. 【详解】 由题“2=1,〃=2,・,•渐近线方程为y=±J5x. 222 又八’一)一=1,———=2,即kAP•A8P=———=2,即 2人-1x--1 tanZ.PAB-tan/PBA=2,•.tan/PAB=->/.tan"BA=6, 3 6-1 ,⑸"f)=黑海黑熊二号4• 本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程,同时也考查了两角差的正切公式的应用,考查计算能力,属于中等题. 五、解答题 17.已知{%}为等差数列,{仇}为单调递增的等比数列,4=4=1,%+%=6,a3b3=12. (1)求{4}与色}的通项公式; (2)求数列也+色的前〃项和S” 【答案】 (1)勺=〃,4=2"T: (2)Sn="(-+l)+2一. 2 【解析】 (1)设等差数列{%}的公差为",等比数列{"}的公比为人根据题意求得d和q的值,进而可求得数列{a,,}与{bn}的通项公式: (2)求得数列{q+4}的通项公式,然后利用分组求和法可求得5“ 【详解】 (1)设等差数列色“}的公差为,,等比数列{勾}的公比为q, 由的+。 4=6,可得2q+4"=6,又4=1,所以4=1. 所以q=q+(〃-l)d=〃. 由%E=12,可得仄=4,又4=1,所以如=j=4, 又因为数列{4}为单调递增的等比数列,则4>。 ,故4=2,所以么=刎"」=2"": (2)由 (1)可知%+%=〃+2”。 数列{4}的前〃项和为]+2+…+〃=""[), 2 1—971 数列色}的前〃项和为1+2+…+2”: i—=2"-1, 故1. “2 【点睛】 本题考查等差数列和等比数列通项公式的求解,同时也考查了分组求和法,考查计算能力,属于基础题. 18.在①(l+cosC)〃=>/5sin8;②F〃sinC=a-ccosB这两个条件中任选一个 作为已知条件,补充到下面的横线上并作答.△? ! 3c的内角A、3、C的对边分别为。 、b、c,已知. (1)求C; (2)若(、=7,4+0=13,求3c的面积. 【答案】 (1)j; (2)T06. 【解析】 (1)选择条件①,利用正弦定理边角互化思想结合辅助角公式得出 /--\1 sinJ==-,再结合角。 的取值范围可求得角C的值; \6y/2 选择条件②,利用正弦定理边角互化思想结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式可得出tanC=J? ,结合角C的取值范围可求得角C的值: (2)利用余弦定理结合条件〃+人=13可求得c心的值,再利用三角形的面积公式可求得△A3c的而积. 【详解】 (1)选择条件①: •/(l+cosC)/? =>/3fsinB,由正弦定理可得(l+cosC)sin8=J5sinCsinB,vsinB^O,/.l+cosC=-^sinC»/.V^sinC-cosC=1»H[J2sin|C--j=1,所以,sinjc-g]=: , .♦0<。 <乃,则一百<。 一£<色,: .c,解得c=£: 666663 选择条件②: /—fesinC=a—ccosB,由正弦定理得乂msinBsinC=sinA-sinCeosB,33 /sinA=sin[乃一(8+C)]=sin(8+C)=sinBcosC+cosBsinC, ,上式可化简为电sin8sinC=sin8cosc» 3 vsinB^O.—sinC=cosC=>tanC=>/3,\'0 ;33 (2)由余弦定理1=a2+b2-2abcosC,可得4’+从-而=49, 又由4+0=13,贝-3。 〃=49,.(山=("一卜)二"=40. 3 因此,△? 13c的面积为=-«/? sinC=10>/3. 2 【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形,同时也参考了三角形而积公式以及正弦定理边角互化思想的应用,考查计算能力,属于中等题. 19.如图,在以4、8、C、。 为顶点的多面体中,四边形A3CO是边长为2的正方形.E4_L平面48CD,FD//EA,且E4=,")=l. (D求证;BE//平面CDF; (2)求二面角C—斯一。 的正弦值. 【答案】 (1)证明见解析: (2)正. 3 【解析】 (1)记线段。 尸的中点M,方法一: 通过证明四边形EBCM为平行四边形, 进而可得BE〃CM,即可证得结论: 方法二: 证明面8AE〃而CDF,进而证得结论. (2)以A为原点,A8为x轴,A。 为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系。 一通2. 分别求得法向量,通过c°s"=h^,进而可求得正弦值. 丹.〃2 【详解】 (1)解法1: 记线段。 E的中点M,连接CM. •/EA//FD,EA=、FD.: .EA〃MD且EA=MD.2 ,四边形E4QM为平行四边形,.•.EM//AO,EM=AD. -ADIIBC,AD=BC;EMIIBC,EM=BC. : .四边形EBCM为平行四边形,/.BE//CM. 又;BEQ而CDF,CMu面CDF,BE〃而CDF (2)以A为原点,A3为x轴,AO为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系。 一不二 则A(0,0,0),8(2,0,0),0(0,2,0),七(0,0/),F(022),C(2,2,0),.•.&=(-2,-2』),FF=(0,2J). =0J-2x-2y+z=0 =0,\2y+z=0 令)'=-1,则z=2,x=2. n}=(2,-1,2)为平面CEF的一个法向量. 易得n,=(1,0,0)为平而DEF的一个法向量. TT 〃「小_2 设二面角C—EF—。 的大小为6,则c°s"=h^T=§. : .sin8=、"=也,即二面角C一所一。 的正弦值为 V933 解法2: (1)-EAUFD,E42面CDF,...E4〃而CQF. 同理,AB//DC.人30而。 。 尸,「.48〃面。 。 厂. 又•.•£AAA8=A,.•.而5A石〃而COF. 又石u而“4石, BE//而CDF. (2)同解法1. 【点睛】 本题考查线面平行证明,考查向量法求二面角,考查计算能力,属于基础题. 20.已知x=3是函数/(X)=6/ln(l+x)+x2-lx的一个极值点. (1)求函数/(X)的单调区间; (2)曲线y=-121n(l+x)+3x+〃与y=/(x)的图象有三个不同的公共点,求实数 b的取值范围. 【答案】3)增区间为 (3,口);减区间卜,3): (2)(32皿2-21,16山2—9). ;乙} 【解析】 (1)由题意得出/'(3)=。 ,可求得实数。 的值,再利用导数可求得函数 y=f(X)的单调递增区间和递减区间: (2)令gahShW+M+x2-10x,由题意可知直线y=〃与函数y=g(x)的图 象有三个交点,利用导数研究函数y=g(x)的单调性与极值,数形结合可得出实数”的取值范闱. 【详解】 (1)v/(x)=c/ln(l+x)+x2-7x,该函数的定义域为(-1,+8), 广(x)=f+2x—7, 由x=3是函数/(x)=aln(l+x)+Y-7x的一个极值点,有广⑶=(+6-7=。 ,得a=4, 士+2-= 2x25x3_(2x+1)(x-3) 1+X1+X 由/'(x)>0,有一Ivxv,或x>3: 由r(x)<0,有一,vxv3.22 (2)曲线y=-121n(x+l)+3x+。 与y=f(x)的图象有三个不同的公共点等价于方程41n(l+x)+『-7x=-121n(l+x)+3x+Z? 即161n(1+x)+f-10(=〃有三个不同的解, 设g(x)=161n(l+x)+x2_iox,该函数的定义域为(-1,+oc), 由8'(工)>。 得一1〈工〈1或1>3;由g'(x)V。 得一1VX<3. 所以函数y=g(x)的单调递增区间为(T」),(3,+s),单调递减区间(1,3). 函数)'=g(x)的极大值为g(l)=161n2-9,极小值为g(3)=32h】2—21. 当X-—1时,g(x)->~;当X—十X)时,g(x)f 如下图所示: 由图象可知,当321n2—21v0vl61n2—9时,直线y=〃与函数丁=g(x)的图象有 三个交点, 即曲线y=-121n(l+x)+3x+。 与>=/(x)的图象有三个不同的公共点. 综上所述,实数人的取值范围是(321n2—21,161n2—9). 【点睛】 本题考查利用导数求解函数的单调区间,利用极值点求参数值,同时也考查了利用导数研究方程的根的个数问题,考查数形结合思想的应用,考查计算能力,属于中等题. 21.某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级某采购商从采购的产品中随机抽取100个,根据产品的质量标准得到下面的柱状图: (1)若将频率视为概率,从采购的产品中有回放地随机抽取3个,求恰好有1个4等品的概率; (2)按分层抽样从这100个产品中抽取10个.现从这10个产品中随机抽取3个,记这3个产品中1等品的数量为X,求X的分步列及数学期望; (3)某生产商提供该产品的两种销售方案给采购商选择. 方案[: 产品不分类,售价为22元/个; 方案2: 分类卖出,分类后的产品售价如下: 等级 1等品 2等品 3等品 4等品 售价(元/个) 24 22 18 16 根据样本估计总体的思想,从采购商的角度考虑,应该接收哪种方案? 请说明理用. 【答案】 (1) (2)分布列见解析,E(X)=|;(3)选择方案2,理由见解析. 1A 【解析】 (1)可知4等品的数量为J〜33,-,再根据公式即可计算; (2)依题意,X=0,1,2,3,依次计算出概率即可写出分布列,求出数学期望: (3)计算出方案2的平均单价,和方案1比较即可得出. 【详解】 (1)从采购的产品中有放回地随机抽取3个,记4等品的数量为限 48 "T25 (2)10个产品中,1等品的有4个,非1等品的有6个. 依题意,X=0,1,2,3. 1 30 P(X=O)=等4P(X=1)=铲=gC100C10乙 尸"=2)=*=诵P(X=3)=>=JoiuJo 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 6 £ 2 3 H) 1 30 £(X)=0xl+lxi+2x—+3x—=-.6210305 (3)方案2的平均单价为24xa+22x迎+18x坦+16x9=21.2.100100100100 因为2L2V22,从采购商角度考虑,应该选择方案2. 【点睛】 本题考查概率的计算,考查分布列和数学期望的求法,考查利用平均值进行决策,属于中档题. 22.已知椭圆C: £+£=1(4>〃>0)的的离心率为;, 且其右顶点到右焦点的距 离为L (1)求C的方程; (2)点A/、N在。 上,且。 M_LON,、c-,・・440・
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