北师大版八年级数学下册 同步练习题直角三角形.docx

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北师大版八年级数学下册同步练习题直角三角形

《直角三角形》分层练习

◆基础题

一、基础题

1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）

A．120°B．90°

C．60°D．30°

2.下列命题中，是真命题的是    （    ） 

  A．相等的角是对顶角            B．两直线平行，同位角互补 

  C．等腰三角形的两个底角相等    D．直角三角形中两锐角互补 

3.如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是（）

A．HLB．ASA

C．AASD．SAS

4.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）

A．AB＝ACB．∠BAC＝90°

C．BD＝ACD．∠B＝45°

5.由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）

A．∠A＝37°，∠C＝53°

B．∠A－∠C＝∠B

C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5

D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5

6.（2017·平顶山市宝丰县期中）下列条件不能判断两个直角三角形全等的是（）

A．两条直角边分别对应相等

B．斜边和一个锐角分别对应相等

C．两个锐角对应相等

D．斜边和一直角边分别对应相等

7.如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．

8.如图所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：

∠B=∠C. 

◆能力题

二、训练题

1.（2017·安徽）直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）

A．60°B．50°C．40°D．30°

2.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）

A．2，4，5B．6，8，11

C．5，12，12D．1，1，

3.△ABC中，若，则此三角形为（）三角形.

A、等腰　　B、直角　　C、等腰直角　D、等边

4.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）

A、40°B、45°C、50°D、60°

5.两个直角三角形全等的条件是（）

（A）一锐角对应相等；（B）两锐角对应相等；

（C）一条边对应相等；（D）两条边对应相等.

6.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边

处有健身器材，由于居住在

处的居民践踏了绿地，小明想在

处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？

”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（　　）.

（A）25米　（B）8米　（C）5米　（D）6米

7.等腰直角三角形的斜边长为a，则其斜边上的高为（）

A.

B.

C.

D.

8.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在处测得某灯塔位于它的北偏东30°的处（如图），上午9时行到处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是_________海里（结果保留根号）.

9.（2017·成都）如图，数轴上点A表示的实数是__________．

10.下列命题中，其逆命题成立的是__________．（只填写序号）

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

11.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的和是_________.

12.已知⊿ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC=_________.

13.如图，在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，则△DEF是___________

三角形.

14.如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝___________．

15.如图所示，AD⊥BE于点C，C是BE的中点，AB＝DE，求证：

AB∥DE.

16.（2016·益阳）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：

AB＝BF.

18.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.

（1）求证：

Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．

19.已知，如图，⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC边上的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF，求证：

ED⊥FD

◆提升题

三、提升题

1.观察下列勾股数组：

3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：

（1）当a＝19时，则b，c的值是多少？

（2）当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？

2.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

参考答案：

一、基础题

1.D2.C3.A4.A5.C6.C

7.解：

∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，

∴AC＝

＝

＝5.

又∵AB＝3，BC＝4，

∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.

∴∠B＝90°.

∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD

＝

AB·BC＋

AC·CD

＝

×3×4＋

×5×12

＝6＋30

＝36.

9.证明：

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

又∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD

∴∆AED≌∆AFD（AAS）

∴DE=DF

又∵BD=CD

∴Rt∆BED≌Rt∆CFD（HL）

∴∠B=∠C

二、训练题

1.C2.D3.C4.B5.D6.D7.C8.20

9.

-110.④11.1012.135°13.等腰直角14.8

15.证明：

∵AD⊥BE，

∴∠ACB＝∠DCE＝90°.

∵C是BE的中点，

∴BC＝EC.

在Rt△ABC和Rt△DEC中，

∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）．

∴∠A＝∠D.

∴AB∥DE.

16.解：

在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，

设BD＝x，则CD＝14－x.

由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－（14－x）2，

故152－x2＝132－（14－x）2，

解得x＝9.

∴AD＝

＝

＝12.

∴S△ABC＝

BC·AD＝

×14×12＝84.

17.证明：

∵EF⊥AC，

∴∠F＋∠C＝90°.

∵∠A＋∠C＝90°，

∴∠A＝∠F.

又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC，

∴△FBD≌△ABC（AAS）．

∴AB＝BF.

18.解：

（1）证明：

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBF＝∠ABE＝90°.

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．

（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，

∴∠CAB＝∠ACB＝45°.

∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.

由

（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BCF＝∠BAE＝15°.

∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.

19.连接AD

∵AB=AC,D是BC的中点

∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=45°

又∵∠A=90°

∴∠B=∠C=45°

∴∠B=∠BAD=∠CAD=45°

∴BD=AD

又∵BE=AF

∴∆BED≌∆AFD

∴∠BDE=∠FDA

∴∠BDE+∠EDA=∠FDA+∠EDA=90°

∴DE⊥DF

三、提升题

1.解：

（1）当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：

192＋k2＝（k＋1）2.

解得k＝180.

故b＝180，c＝181.

（2）当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得（2n＋1）2＋k2＝（k＋1）2，

解得k＝2n（n＋1）．

∴b＝2n（n＋1），c＝2n（n＋1）＋1.

证明：

∵a2＋b2＝（2n＋1）2＋[2n（n＋1）]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n（n＋1）＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，

∴a2＋b2＝c2.

∴（2n＋1）2＋[2n（n＋1）]2＝[2n（n＋1）＋1]2.

2.解：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

由勾股定理有AB=10.

扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：

①如图1，当AB=AD=10时，

可求CD=CB=6.

得△ABD的周长为32m.

②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4.

由勾股定理，得AD=4

.

得△ABD的周长为（20+4

）m.

如图③，当AB为底时，设AD=BD=x，

则CD=x-6，由勾股定理，得x=

.得△ABD的周长为

m.