《31任意角和弧度制及任意角的三角函数》教案.docx
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《31任意角和弧度制及任意角的三角函数》教案
适用学科
适用区域
知识点
教学目标
任意角和弧度制及任意角的三角函数
数学适用年级高三
新课标课时时长(分钟)60
任意角的概念;象限角的概念及表示;同终边角的概念及表示
弧度的概念;角度与弧度的互化;扇形的弧长和面积公式
任意角的三角函数的定义;任意角的三角函数的的求法
三角函数值在各个象限的符号;诱导公式一(同终边角);有向线段与三角函数线
1.了解任意角的概念.
2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
教学重点
教学难点
三角函数的定义及应用,三角函数值符号的确定
三角函数的定义及应用
教学过程
一、课堂导入
在花样滑冰比赛中,运动员的动作是那么优美!
尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止.运动员在原地转身的动作中,仅仅几秒内就能旋转十几圈,甚至二十几圈,因此,花样滑冰美丽而危险.
我们利用以前学的角的范围是0°≤α≤180°,你还能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗?
二、复习预习
1.初中我们已经学习过角,那么初中对角的定义是什么呢?
所谓角就是________________.
2.角按大小进行分类,可分为锐角、钝角和直角.锐角的范围为________,钝角的范围为________,直角的度数
为________.
三、知识讲解
考点1角的有关概念
角的特点角的分类
从运动的角度看角可分为正角、负角和零角
从终边位置来看可分为象限角和轴线角
β=α+k·360°(k∈Z)(或β=α+k·2,πk∈
α与β角的终边相同
Z)
考点2弧度的概念与公式
在半径为r的圆中
分类
1弧度的角
角α的弧度数公式
角度与弧度的换
算
弧长公式
扇形的面积公式
定义(公式)
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的
角,用符号rad表示
l
|α|=r(弧长用l表示)
π180
①1°=180rad②1rad=π°
弧长l=|α|r
112
S=2lr=2|α|r·
考点3
任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y),那么
定义
y叫做α的正弦,记
x叫做α的余
y
x叫做α的正切,记作
作sinα
弦,记作cosα
tanα
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
各象限
负
负
正
Ⅲ
符号
负
正
负
Ⅳ
口诀
一全正,二正弦,三正切,四余弦
三角函数线
有向线段MP为正弦
有向线段OM
有向线段AT为正切
线
为余弦线
线
四、例题精析
【例题1】
【题干】
(1)已知角α=2kπ-
π
,若角θ与角α的终边相同,则
=
sinθ
+
|cosθ|
tanθ
∈
Z)
+
的值为()
5(k
y
|sinθ|
cosθ
|tanθ|
A.1
B.-1
C.3
D.-3
(2)已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
π
【解析】
(1)选B由α=2kπ-5(k∈Z)及终边相同角的概念知,α的终边在第四象限,又θ与α的终边相同,所以角
θ是第四象限角,所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0.
因此,y=-1+1-1=-1.
(2)选B∵点P(tanα,cosα)在第三象限,
tanα<0,
∴∴α是第二象限角.
cosα<0,
【例题2】
【题干】已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.
【解析】∵角α的终边在直线3x+4y=0上,
∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),则x=4t,y=-3t,
r=x2+y2=4t2+-3t2=5|t|.
当t>0时,即x>0时,r=5t,sinα=y=
-3t=-
3,cosα=x=4t=
4,tanα=y=
-3t
=-
3;
r
5t
5
r
5t
5
x
4t
4
y
-3t
3
x
4t
4
y
-3t
3
当t<0时,即x<0时,r=-5t,sinα=r
=-5t=5,cosα=r=-5t
=-
5,tan
α=x=4t
=-
4.
综上可知,当角α的终边在直线
3x+4y=0的x>0部分时,sinα=-3,cosα=4,tanα=-
3;
5
5
4
3
4
3
当角α的终边在直线3x+4y=0的x<0部分时,sinα=5,cosα=-
5,tanα=-
4.
【例题3】
【题干】已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;
(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解析】
(1)如图所示,过O作OC⊥AB于点C,则AC=5,在Rt△ACO中,
AC51
sin∠AOC=AO=10=2,
∴∠AOC=30°,∴α=2∠AOC=60°.
π
(2)∵60°=3,
10π
∴l=|α|r=3.
1
1
10π
50π
S扇=
2lr=2×
3×10=
3.
1
π
又S△AOB=2×10×10sin
3=25
3,
∴S
=S
-SAOB=
50π
3=50
π
3
弓形
扇
3
-25
3-
2.
△
【例题4】
【题干】
如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为________.
【答案】(2-sin2,1-cos2)
π
π
【解析】因为圆心移动的距离为
2,所以劣弧PA=2,即∠PCA=2,则∠PCB=2-2,所以PB=sin2-2=-cos2,
CB=cos2-
π
2
=sin2,所以xP=2-CB=2-sin2,yP=1+PB=1-cos2,所以OP=(2-sin2,1-cos2).
五、课堂运用
【基础】
1.若α=k·180°+45°(k∈Z),则α在()
A.第一或第三象限B.在第一或第二象限
C.第二或第四象限D.在第三或第四象限
解析:
选A当k为偶数时,α的终边与45°角的终边相同,是第一象限角平分线;当k为奇数时,α的终边与45°
角的终边在同一条直线上,是第三象限角平分线.
2.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()
A.(-2,3]B.(-2,3)
C.[-2,3)D.[-2,3]
3a-9≤0,
解析:
选A由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上,所以有
a+2>0,
即-2<a≤3.
2π
3.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动
3弧长到达Q点,则Q点的坐标为()
1
3
3
1
A.-2,2
B.-2,-
2
1
3
3
1
C.-2,-2
D.-2,2
解析:
选
A
由三角函数定义可知
Q点的坐标
(x,y)满足
2π12π
x=cos3=-2,y=sin3=
3
2.
【巩固】
y
4.若点P(x,y)是300°角终边上异于原点的一点,则x的值为________.
y
解析:
x=tan300=tan(360°
-°60°)=-tan60
=-°
3.
答案:
-
3
4
5.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30),°且cosα=-5,则m的值为________.
解析:
∵r=
64m2+9,∴cosα=
-8m
4
2
=-5,
64m
+9
∴m>0,∴
4m2
1
1
=,∴m=±.
64m2+9
25
2
1
∵m>0,∴m=2.
答案:
1
2
【拔高】
6.已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇
形有最大面积?
解:
∵扇形周长C=2R+l=2R+αR,
∴R=C
,
2+α
∴S扇
1α·2
1α·
C
2
=2
R
=2
2
+α
C2
α·
1
C2
1C2
=2
2=
2
·
≤
416,
4+4α+α
4+α+α
2
C2
当且仅当α=4,即α=2时,扇形面积有最大值16.
7.角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0),角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求sinα·cosα+
sinβ·cosβ+tanα·tanβ的值.
解:
由题意得,点P的坐标为(a,-2a),点Q的坐标为(2a,a).
所以,sinα=
-2a
=-
2
,
2
-2a
2
5
a+
cosα=
a
=
1
,
5
a2+-2a
2
tanα=
-2a
=-,
a
2
sinβ=
a
=1
,
a
2+a2
5
cosβ=
2a
=
2
,
a
2+a2
5
a1
tanβ=2a=2,
故有sinα·cosα+sinβ·cosβ+tanα·tanβ
-2
1
1
2
1
=
·+
·+(-2)×=-1.
5
5
5
5
2
课程小结
1.对任意角的理解
(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°~90°的角”不等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是
{α|0°<α<90°},第一象限角的集合为{α|k·360°<α (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角函数值相等. 2.三角函数定义的理解 三角函数的定义中,当 P(x,y)是单位圆上的点时有 sin α=y,cosα=x,tan y α=x,但若不是单位圆时,如圆的半 径为 r,则 yxy sinα=r,cosα=r,tanα=x. 这就像我们身处喧嚣的闹市,却在渴望山清水秀的僻静之地。 心若静,何处都是水云间,都是世外桃源,都是僻静之所,心若浮躁,不管你居所何处,都难宁静。 其实,很多人惧怕喧嚣,却又怕极了孤独,人实在是矛盾的载体。 然而,人的最高境界,就是孤独。 受得了孤独,忍得了寂寞,扛得住压力,才能成为生活的强者,才不会因为生活的暗礁而失去对美好事物的追求。 常常喜欢静坐,没有人打扰,一个人,也有一个人的宿醉。 面对这喧嚣尘世,安静下来的时光,才是最贴近心底的那一抹温柔,时光如水,静静流淌。 即便独自矗立夜色,不说话,也很美。 这恬淡时光,忘却白日的伤感,捡起平淡,将灵魂在宁静的夜色里放空。 回头看看曾经走过的路,每一个脚印,都是丰富而厚重的,是对未来的希望,是对生活的虔诚。 我们都是生活里的平凡之人,不管一天中多么努力,多么辛苦,老天总是会给你时不时的开个玩笑,可能有些玩笑,来的有点猛,有点不知所措,但是又怎么样呢? 你要知道,人的能力和智慧是无穷的。 面对生活的暗礁,我们只能用坦然的心态去接受它,然后尽量去改变它,让它激起生命的浪花。 即使改变不了,只要努力了,就不言后悔。 有时候,难过了,想哭就哭出来,哭又不是罪,哭完了继续努力,总有一天,时间会告诉你,你的眼泪是不会白流的。 没有苦难的人生,它一定是不完美的。 生命里,没有一帆风顺,总有一些看不见的暗礁等着你,既然注定要撞上,那就努力寻找岸的方向。 只要不放弃,一定有抵达岸边的希望,若选择放弃,那么岸依然是岸,死神只会离你越来越近。 能和灾难抗衡,能珍惜生命的人,那么他的人生一定不会太灰暗。 只要你不放弃自己,生活就不会放弃你,成功的希望就会被实现。 凡事成功的人,经历生活的暗礁,那是必然途径。 生命路上的灾难和创伤,会让你更好的前进。 行走尘世间,保持好心态,一切都有可能被改变,当别人在为你呐喊助威时,自己千万不要放弃,不要半途而废,前功尽弃。 只要坚持,生命一定会被你改写。 人生何其短,千万不要让过往和未来,羁绊住今天的心情,应该尊重生命,珍惜时光,活好每一天。 林清玄说: “今天扫完今天的落叶,明天的树叶不会在今天掉下来,不要为明天烦恼,要努力地活在今天这一刻。 ”还有一句话叫,昨天的太阳晒不干今天的衣裳。 假若有人问,你的一生有多长? 请告诉他,只有三天,昨天,今天和明天。 在这三天的生命里,昨天我们已经浪费掉了,明天不一定属于你,那你的时间就只有今天,所以不珍惜今天的人,就不配拥有明天。 这就像我们身处喧嚣的闹市,却在渴望山清水秀的僻静之地。 心若静,何处都是水云间,都是世外桃源,都是僻静之所,心若浮躁,不管你居所何处,都难宁静。 其实,很多人惧怕喧嚣,却又怕极了孤独,人实在是矛盾的载体。 然而,人的最高境界,就是孤独。 受得了孤独,忍得了寂寞,扛得住压力,才能成为生活的强者,才不会因为生活的暗礁而失去对美好事物的追求。 常常喜欢静坐,没有人打扰,一个人,也有一个人的宿醉。 面对这喧嚣尘世,安静下来的时光,才是最贴近心底的那一抹温柔,时光如水,静静流淌。 即便独自矗立夜色,不说话,也很美。 这恬淡时光,忘却白日的伤感,捡起平淡,将灵魂在宁静的夜色里放空。 回头看看曾经走过的路,每一个脚印,都是丰富而厚重的,是对未来的希望,是对生活的虔诚。 我们都是生活里的平凡之人,不管一天中多么努力,多么辛苦,老天总是会给你时不时的开个玩笑,可能有些玩笑,来的有点猛,有点不知所措,但是又怎么样呢? 你要知道,人的能力和智慧是无穷的。 面对生活的暗礁,我们只能用坦然的心态去接受它,然后尽量去改变它,让它激起生命的浪花。 即使改变不了,只要努力了,就不言后悔。 有时候,难过了,想哭就哭出来,哭又不是罪,哭完了继续努力,总有一天,时间会告诉你,你的眼泪是不会白流的。 没有苦难的人生,它一定是不完美的。 生命里,没有一帆风顺,总有一些 看不见的暗礁等着你,既然注定要撞上,那就努力寻找岸 的方向。 只要不放弃,一定有抵达岸边的希望,若选择放弃,那么岸依然是岸,死神只会离你越来越近。 能和灾难抗衡,能珍惜生命的人,那么他的人生一定不会太灰暗。 只要你不放弃自己,生活就不会放弃你,成功的希望就会被实现。 凡事成功的人,经历生活的暗礁,那是必然途径。 生命路上的灾难和创伤,会让你更好的前进。 行走尘世间,保持好心态,一切都有可能被改变,当别人在为你呐喊助威时,自己千万不要放弃,不要半途而废,前功尽弃。 只要坚持,生命一定会被你改写。 人生何其短,千万不要让过往和未来,羁绊住今天的心情,应该尊重生命,珍惜时光,活好每一天。 林清玄说: “今天扫完今天的落叶,明天的树叶不会在今天掉下来,不要为明天烦恼,要努力地活在今天这一刻。 ”还有一句话叫,昨天的太阳晒不干今天的衣裳。 假若有人问,你的一生有多长? 请告诉他,只有三天,昨天,今天和明天。 在这三天的生命里,昨天我们已经浪费掉了,明天不一定属于你,那你的时间就只有今天,所以不珍惜今天的人,就不配拥有明天。
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