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《鸽巢问题》教学设计
《鸽巢问题》教学设计精选
《鸽巢问题》教学设计精选
鸽巢问题又称抽屉原理或鞋盒原理,它是组合数学中最简单也是最根本的原理之一,从这个原理出发,可以得出许多有趣的结果。
下面是准备的《鸽巢问题》教学设计,欢迎阅读。
1、引导学生经历鸽巢原理的探究过程,初步了解鸽巢原理,会运用鸽巢原理解决一些简单的实际问题。
2、通过操作、观察、比较、列举、假设、推理等活动开展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。
3、使学生经历将详细问题“数学化”的过程,初步形成模型思想。
经历鸽巢原理的探究过程,初步了解鸽巢原理。
理解鸽巢原理,并对一些简单的实际问题加以模型化。
一、创设情境、导入新课
1、师:
同学们,你们玩过扑克牌吗?
这里有一副牌,拿掉大小王后还剩52张,5位同学随意抽一张牌,猜一猜:
至少有几张牌的花色是一样的?
(指名答复)
2、师:
大家猜对了吗?
其实这里面藏着一个非常有趣的数学问题,叫做“鸽巢问题”。
今天我们就一起来研究它。
二、合作探究、发现规律
师:
研究一个数学问题,我们通常从简单一点的情况开始入手研究。
请看大屏幕。
(生齐读题目)
1、教学例1:
把4支铅笔放进3个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
(1)理解“总有”、“至少”的含义。
(PPT)总有:
一定有至少:
最少
师:
这个结论正确吗?
我们要动手来验证一下。
(2)同学们的课桌上都有一张作业纸,请同桌两人合作探究:
把4支铅笔放进3个笔筒里,有几种不同的摆法?
探究之前,老师有几个要求。
(一生读要求)
(3)汇报展示方法,证明结论。
(展示两张作品,其中一张是重复摆的。
)
第一张作品:
谁看懂他是怎么摆的?
(一生汇报,发现重复的摆法)
第二张作品:
他是怎么摆的?
这4种摆法有没有重复的?
还有其他的摆法吗?
板书:
(3,1,0)、(4,0,0)、(2,2,0)、(1,1,2)
师:
我们要证明的是总有一个笔筒里至少有2支铅笔,这4种摆法都满足要求吗?
(指名汇报:
第一种摆法中哪个笔筒满足要求?
只要发现有一个笔筒里至少有2支铅笔就行了。
)总结:
把4支铅笔放进3个笔筒中一共只有四种情况,在每一种情况中,都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。
看来这个结论是正确的。
师:
像这样把所有情况一一列举出来的方法,数学上叫做“枚举法”。
(板书)
(4)通过比较,引出“假设法”
同桌讨论:
刚刚我们把4种情况都列举出来进展验证,能不能找到一种更简单直接的方法,只摆一种情况就能证明这个结论是正确的?
引导学生说出:
假设先在每个笔筒里放1支,还剩下1支,这时无论放到哪个笔筒,那个笔筒里就有2支铅笔了。
(PPT演示)
(5)初步建模—平均分
师:
先在每个笔筒里放1支,这种分法实际上是怎么分的?
生:
平均分(师板书)
师:
为什么要去平均分呢?
平均分有什么好处?
生:
平均分可以保证每个笔筒里的笔数量一样,尽可能的少。
这样多出来的1支不管放进哪个笔筒里,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
(如果不平均分,随便放,比方把4支铅笔都放到一个笔筒里,这样就不能保证一下子找到最少的情况了)
师:
这种先平均分的方法叫做“假设法”。
怎么用算式表示这种方法呢?
板书:
4÷3=1……11+1=2
(5)概括鸽巢问题的一般规律
师:
现在我们把题目改一改,结果会怎样呢?
PPT出示:
把5支笔放进4个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有几支笔?
……(引导学生说清楚理由)
师:
为什么大家都选择用假设法来分析?
(假设法更直接、简单)
通过这些问题,你有什么发现?
交流总结:
只要笔的数量比笔筒数量多1,总有一个笔筒里至少放进2支笔。
过渡语:
师:
如果多出来的数量不是1,结果会怎样呢?
2、出示:
5只鸽子飞进了3个鸽笼,总有一个鸽笼里至少飞进了几只鸽子呢?
(1)同桌讨论交流、指名汇报。
先让一生说出5÷3=1……21+2=3的结果,再问:
有不同的意见吗?
再让一生说出5÷3=1……21+1=2
师:
你们同意哪种想法?
(2)师:
余下的2只怎样飞才更符合“至少”的要求呢?
为什么要再次平均分?
(3)明确:
再次平均分,才能保证“至少”的情况。
3、教学例2
(1)师:
我们刚刚研究的把笔放入笔筒、鸽子飞进鸽笼这样的问题就叫做“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。
它最早是由德国数学家狄利克雷发现并提出的`,当他发现这个问题之后决定继续深入研究下去。
出例如2。
(2)独立思考后指名汇报。
师板书:
7÷3=2……12+1=3
(3)如果有8本书会怎样?
10本书呢?
指名答复,师相机板书:
8÷3=2……22+1=3
师:
剩下的2本怎么放才更符合“至少”的要求?
为什么不能用商+2?
10÷3=3……13+1=4
(4)观察发现、总结规律
同桌讨论交流:
学到这里,老师想请大家观察这些算式并思考一个问题,把书放进抽屉里,总有一个抽屉里至少放进了几本书?
我们是用什么方法去找到这个结果的?
(假设法,也就是平均分的方法)用书的数量去除以抽屉的数量,会得到一个商和一个余数,最后的结果都是怎么计算得到的?
为什么不能用商加余数?
归纳总结:
总有一个抽屉里至少可以放“商+1”本书。
(板书:
商+1)
三、稳固应用
师:
利用鸽巢问题中这个原理可以解释生活中很多有趣的问题。
1、做一做第1、2题。
2、用抽屉原理解释“扑克表演”。
说清楚把4种花色看作抽屉,5张牌看作要放进的书。
四、全课小结通过这节课的学习,你有什么收获或感想?
审定人教版六年级下册数学《数学广角鸽巢问题》,也就是原实验教材《抽屉原理》。
《鸽巢问题》既鸽巢原理又称抽屉原理,它是组合数学的一个根本原理,最先是由德国数学家狄利克雷明确提出来的,因此,也称为狄利克雷原理。
首先,用详细的操作,将抽象变为直观。
“总有一个筒至少放进2支笔”这句话对于学生而言,不仅说起来生涩拗口,而且抽象难以理解。
怎样让学生理解这句话呢?
我觉得要让学生充分的操作,一在详细操作中理解“总有”和“至少”;二在操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法。
通过操作,最直观地呈现“总有一个筒至少放进2支笔”这种现象,让学生理解这句话。
其次,充分发挥学生主动性,让学生在证明结论的过程中探究方法,总结规律。
学生是学习的主动者,特别是这种原理的初步认识,不应该是教师牵着学生去认识,而是创造条件,让学生自己去探索,发现。
所以我认为应该提出问题,让学生在详细的操作中来证明他们的结论是否正确,让学生初步经历“数学证明”的过程,逐步提高学生的逻辑思维能力。
再者,适当把握教学要求。
我们的教学不同奥数,因此在教学中不需要求学生说理的严密性,也不需要学生确定过于抽象的“鸽巢”和“物体”。
《鸽巢问题》这是一类与“存在性”有关的问题,如任意13名学生,一定存在两名学生,他们在同一个月过生日。
在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或哪个人),也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体(或人)找出来。
这类问题依据的理论,我们称之为“鸽巢问题”。
通过第一个例题教学,介绍了较简单的“鸽巢问题”:
只要物体数比鸽巢数多,总有一个鸽巢至少放进2个物体。
它意图让学生发现这样的一种存在现象:
不管怎样放,总有一个筒至少放进2支笔。
呈现两种思维方法:
一是枚举法,罗列了摆放的所有情况。
二是假设法,用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。
通过前一个例题的两个层次的探究,让学生理解“平均分”的方法能保证“至少”的情况,能用这种方法在简单的详细问题中解释证明。
第二个例题是在例1的根底上说明:
只要物体数比鸽巢数多,总有一个鸽巢里至少放进(商+1)个物体。
因此我认为例2的目的是使学生进一步理解“尽量平均分”,并能用有余数的除法算式表示思维的过程。
可能有一部分学生已经了解了鸽巢问题,他们在详细分得过程中,都在运用平均分的方法,也能就一个详细的问题得出结论。
但是这些学生中大多数只“知其然,不知其所以然”,为什么平均分能保证“至少”的情况,他们并不理解。
还有部分学生完全没有接触,所以他们可能会认为至少的情况就应该是“1”。
1.通过猜测、验证、观察、分析等数学活动,经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢问题”,会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。
渗透“建模”思想。
2.经历从详细到抽象的探究过程,提高学生有根据、有条理地进展思考和推理的能力。
3.通过“鸽巢原理”的灵活应用,提高学生解决数学问题的能力和兴趣,感受到数学文化及数学的魅力。
经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢原理”。
理解“鸽巢问题”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教具准备:
相关课件相关学具(假设干笔和筒)
游戏规那么是:
请这四位同学从数字1.2.3中任选一个自己喜欢的数字写在手心上,写好后,握紧拳头不要松开,让老师猜。
[设计意图:
联系学生的生活实际,激发学习兴趣,使学生积极投入到后面问题的研究中。
]
1.详细操作,感知规律
教学例1:
4支笔,三个筒,可以怎么放?
请同学们运用实物放一放,看有几种摆放方法?
(1)学生汇报结果
(4,0,0)(3,1,0)(2,2,0)(2,1,1)
(2)师生交流摆放的结果
(3)小结:
不管怎么放,总有一个筒里至少放进了2支笔。
(学情预设:
学生可能不会说,“不管怎么放,总有一个筒里至少放进了2支笔。
”)
[设计意图:
鸽巢问题对于学生来说,比较抽象,特别是“不管怎么放,总有一个筒里至少放进了2支笔。
”这句话的理解。
所以通过详细的操作,枚举所有的情况后,引导学生直接关注到每种分法中数量最多的筒,理解“总有一个筒里至少放进了2支笔”。
让学生初步经历“数学证明”的过程,训练学生的逻辑思维能力。
]
质疑:
我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一次,也能得到这个结论的方法呢?
2.假设法,用“平均分”来演绎“鸽巢问题”。
1思考,同桌讨论:
要怎么放,只放一次,就能得出这样的结论?
学生思考——同桌交流——汇报
2汇报想法
预设生1:
我们发现如果每个筒里放1支笔,最多放4支,剩下的1支不管放进哪一个筒里,总有一个筒里至少有2支笔。
3学生操作演示分法,明确这种分法其实就是“平均分”。
[设计意图:
鼓励学生积极的自主探索,寻找不同的证明方法,在枚举法的根底上,学生意识到了要考虑最少的情况,从而引出假设法渗透平均分的思想。
]
1.课件出示第二个例题:
5只鸽子飞回2个鸽巢呢?
至少有几只鸽子飞进同一个鸽巢里?
应该怎样列式“平均分”。
[设计意图:
引导学生用平均分思想,并能用有余数的除法算式表示思维的过程。
]
根据学生答复板书:
5÷2=2……1
(学情预设:
会有一些学生答复,至少数=商+余数至少数=商+1)
根据学生答复,师边板书:
至少数=商+余数?
至少数=商+1?
2.师依次创设疑问:
7只鸽子飞回5个鸽巢呢?
8只鸽子飞回5个鸽巢呢?
9只鸽子飞回5个鸽巢呢?
(根据答复,依次板书)
……
7÷5=1……2
8÷5=1……3
9÷5=1……4
观察板书,同学们有什么发现吗?
得出“物体的数量大于鸽巢的数量,总有一个鸽巢里至少放进(商+1)个物体”的结论。
板书:
至少数=商+1
[设计意图:
对规律的认识是循序渐进的。
在初次发现规律的根底上,从“至少2支”得到“至少商+余数”个,再到得到“商+1”的结论。
]
师过渡语:
同学们的这一发现,称为“鸽巢问题”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。
这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。
“鸽巢原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。
下面我们应用这一原理解决问题。
课件出示习题.:
1.三个小朋友同行,其中必有几个小朋友性别相同。
2.五年一班共有学生53人,他们的年龄都相同,请你证明至少有两个小朋友出生在同一周。
3.从电影院中任意找来13个观众,至少有两个人属相相同。
……
[设计意图:
让学生体会平常事中也有数学原理,有探究的成就感,激发对数学的热情。
]
这节课我们学习了什么有趣的规律?
请学生畅谈,师总结。
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