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三角形全等
三角形全等的初中数学组卷
1.(2013•铁岭)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( )
A.
BC=EC,∠B=∠E
:
B.
BC=EC,AC=DC
:
C.
BC=DC,∠A=∠D
:
D.
∠B=∠E,∠A=∠D
2.(2013•台州)已知△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2,对于上述的两个判断,下列说法正确的是( )
A.
①正确,②错误
B.
①错误,②正确
C.
①,②都错误
D.
①,②都正确
3.(2013•陕西)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,若连接AC、BD相交于点O,则图中全等三角形共有( )
A.
1对
B.
2对
C.
3对
D.
4对
4.如图,AC、BD是长方形ABCD的对角线,过点D作DE∥AC交BC的延长线于E,则图中与△ABC全等的三角形共有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
5.如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,结论:
①EM=FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正确的有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
6.如图所示,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,有以下结论:
①AC=AE;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC,其中正确的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
7.已知△ABC中,AB=BC≠AC,作与△ABC只有一条公共边,且与△ABC全等的三角形,这样的三角形一共能作出 _________ 个.
8.(2013•湖州)一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:
如图,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC,于点O,点PD分别在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于点E,求证:
△BPO≌△PDE.
(1)理清思路,完成解答
(2)本题证明的思路可用下列框图表示:
根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程.
(2)特殊位置,证明结论
若PB平分∠ABO,其余条件不变.求证:
AP=CD.
(3)知识迁移,探索新知
若点P是一个动点,点P运动到OC的中点P′时,满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′,请直接写出CD′与AP′的数量关系.(不必写解答过程)
9.数学课上,探讨角平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角平分线,方法如下:
作法:
如图1,①在OA和OB上分别截取OD、OE,使OD=OE.
②分别以D、E为圆心,以大于
DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
③作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线.
小聪的作法步骤:
如图2,①利用三角板上的刻度,在OA和OB上分别截取OM、ON,使OM=ON.
②分别过M、N作OM、ON的垂线,交于点P.
③作射线OP,则OP为∠AOB的平分线.
小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角平分线.
根据以上情境,解决下列问题:
①李老师用尺规作角平分线时,用到的三角形全等的判定方法是 .
②小聪的作法正确吗?
请说明理由.
③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.(要求:
作出图形,写出作图步骤,不予证明)
10.如图,在8×8的正方形网格中,△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空:
∠ABC= ,BC= .
(2)请你在图中找出一点D,再连接DE、DF,使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等,并加以证明.
11.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:
AF+EF=DE;
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其它条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出你在
(1)中猜想的结论是否仍然成立;
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其它条件不变,如图③.你认为
(1)中猜想的结论还成立吗?
若成立,写出证明过程;若不成立,请写出AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.
12.如图①,OP是∠AOB的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
13.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD﹣BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
注意:
第
(2)、(3)小题你选答的是第2小题.
14.(A类)如图DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).
①AB=AC②BD=CD③BE=CF
已知:
DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F, = ,= .
(B类)求证:
已知.…,AB=AC,BD=CD求证:
BE=CF
(A类)如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).
①AB=AC②DE=DF③BE=CF
已知:
EG∥AF, _________ = _________ , _________ = _________
(B类)
已知…,AB=AC.DE=DF,求证:
BE=CF.
15.如图,AB∥CD,∠ACD的平分线CP交AB于点E,在线段CE上取一点F,连接AF.要使△ACF≌△AEF,还需要添加一个什么条件?
请你写出这个条件,并证明△ACF≌△AEF.(只要给出一种情况即可,图中不再增加字母和线段).
16.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,直线l经过点A,BE⊥l于E,CF⊥l于F,
求证:
BE+CF=EF.
17.在△ABC中,∠ACB为锐角,动点D(异于点B)在射线BC上,连接AD,以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)若AB=AC,∠BAC=90°那么
①如图一,当点D在线段BC上时,线段CF与BD之间的位置、大小关系是 _________ (直接写出结论)
②如图二,当点D在线段BC的延长上时,①中的结论是否仍然成立?
请说明理由.
(2)若AB≠AC,∠BAC≠90°.点D在线段BC上,那么当∠ACB等于多少度时?
线段CF与BD之间的位置关系仍然成立.请画出相应图形,并说明理由.
18.直线CD经过∠BCA的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则EF _________ |BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”号);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,若使①中的结论仍然成立,则∠α与∠BCA应满足的关系是 _________ ;
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予证明.
19.
(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD.求证:
EF=BE+FD;
(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
20.(2013•荆门)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:
BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:
△AEF≌△BCF.
21.把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D在BC上,连接BE、AD,AD的延长线交于BE于点F.
(1)问:
AD与BE在数量上和位置上分别有何关系?
说明理由.
(2)若将45°角换成30°如图2,AD与BE在数量和位置上分别有何关系?
说明理由.
(3)若将图2中两个三角板旋转成图3、图4、图5的位置,则
(2)中结论是否仍然成立,选择其中一种图形进行说明.
22.把两个全等的直角三角板的斜边重合,组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN,交边AC、BC于M、N.
(1)若∠ACD=30°,∠MDN=60°,当∠MDN绕点D旋转时,AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系?
证明你的结论;
(2)当∠ACD+∠MDN=90°时,AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系?
证明你的结论;
(3)如图③,在
(2)的结论下,若将M、N分改在CA、BC的延长上,完成图3,其余条件不变,则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论,不必证明)
23.(2012•斗门区一模)
(1)在图1中,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN.∠ABC=∠ADC=90°,则能得如下两个结论:
①DC=BC;②AD+AB=AC.请你证明结论②;
(2)在图2中,把
(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°,其他条件不变,则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
24.【阅读理解】
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:
延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 _________ .
A.SSSB.SASC.AASD.HL
(2)求得AD的取值范围是 _________ .
A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7
【感悟】
解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【问题解决】
(3)如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证:
AC=BF.
25.将两个全等的直角三角形(△ABC≌△DCE,∠A=∠D=90°)摆放成如图①的形式,使点A、C、D成一直线,我们称之为“K形图”
(1)证明:
BC⊥CE;
(2)如图②,连结BE,取BE中点F,连结AF、CF、DF,试判断并证明△AFD的形状.
26.如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB
.求证:
(1)AP=AQ;
(2)AP⊥AQ.
27.如图,l1∥l2,∠1=∠2,∠3=∠4,过C点任画直线交l1、l2于E、F,探究AE、BF、AB的数量关系.
28.我们已经学习了用“量角器”或“尺规作图”的方法画一个已知角的平分线,小明与小聪同学只利用“三角板”也能画出一个已知角的平分线,他们的画法如下,请你说明他们的画法是正确的理由.
(一)小明的画法如图
(1);
(1)利用三角板在∠AOB的两边分别量得OC=OD;
(2)连结CD,利用三角板画出CD的中点E;
(3)画射线OE;
∴射线OE就是∠AOB的平分线.
(二)小聪的画法如图
(2);
(1)利用三角板在∠AOB的两边分别量得OC=OD,OE=OF:
(2)连结CF、DE交于点G;
(3)画射线OG;
∴射线OG就是∠AOB的平分线.
29.如图:
已知AB∥DC,∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E,过点E的直线分别交AB、DC于B、C两点.猜想线段AD、AB、DC之间的数量关系,并证明.
30.两块等腰直角三角尺AOB与COD(不全等)如图
(1)放置,则有结论:
①AC=BD②AC⊥BD
若把三角尺COD绕着点O逆时针旋转一定的角度后,如图
(2)所示,判断结论:
①AC=BD②AC⊥BD是否都还成立?
若成立请给出证明,若不成立请说明理由.
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