江西省南昌一中南昌十中届高三第一次联考数学理试题WORD解析版.docx

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江西省南昌一中南昌十中届高三第一次联考数学理试题WORD解析版

2012-2013学年江西省南昌一中、南昌十中高三第一次联考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2013•珠海二模）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（　　）

A．

{x|x＜﹣1}

B．

{x|＞0}

C．

{x|x＞1}

D．

{x|x＜﹣1或x＞1}

考点：

交集及其运算．

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

化简A、B两个集合，利用两个集合的交集的定义求出A∩B．

解答：

解：

集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|log2x＞0=log21}={x|x＞1}，

A∩B={x|x＞1}，

故选C．

点评：

本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，化简A、B两个集合是解题的关键．

2．（5分）设函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则有（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

一次函数的性质与图象；函数单调性的性质．

专题：

计算题．

分析：

根据一次函数的单调性由x的系数可得2a﹣1＜0，解可得答案．

解答：

解：

∵函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，

则2a﹣1＜0

∴a＜

故选B．

点评：

本题主要考查一次函数的单调性．

3．（5分）下列各组函数是同一函数的是（　　）

①

与

；

②f（x）=x与

；

③f（x）=x0与

；

④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．

A．

①②

B．

①③

C．

③④

D．

①④

考点：

判断两个函数是否为同一函数．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

确定函数的三要素是：

定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．

解答：

解：

①f（x）=

=

与y=

的对应法则和值域不同，故不是同一函数．

②

=|x|与f（x）=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．

③f（x）=x0与

都可化为y=1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．

④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．

由上可知是同一函数的是③④．

故选C．

点评：

本题考查了函数的定义，明确三要素是判断两个函数是否是同一函数的依据．

4．（5分）条件p：

|x|=x，条件q：

x2≥﹣x，则p是q的（　　）

A．

充分不必要条件

B．

必要不充分条件

C．

充要条件

D．

既不充分也不必要条件

考点：

必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：

计算题．

分析：

通过解方程化简条件p：

为x≥0，通过解不等式化简条件q：

为x≥0或x≤﹣1，判断出{x|x≥0}⊊{x|x≥0或x≤﹣1}，根据小范围成立大范围一定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．

解答：

解：

条件p：

|x|=x，即为x≥0

条件q：

x2≥﹣x，即为x≥0或x≤﹣1，

因为{x|x≥0}⊊{x|x≥0或x≤﹣1}，

所以p是q充分不必要条件．

故选A．

点评：

本题考查判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，若两个都是数集，常转化为集合间的包含关系，属于基础题．

5．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是（　　）

A．

f（﹣x）+f（x）=0

B．

f（﹣x）﹣f（x）=﹣2f（x）

C．

f（x）•f（﹣x）≤0

D．

考点：

函数奇偶性的性质．

专题：

常规题型．

分析：

由函数为奇函数，可得到f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0，通过加减乘除来变形，可得到结论．

解答：

解：

∵f（x）是定义在R上的奇函数

∴f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0

可变形为：

f（﹣x）+f（x）=0

f（﹣x）﹣f（x）=﹣2f（x）

f（x）•f（﹣x）≤0

而由f（0）=0

由知D不正确．

故选D

点评：

本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形，数学建模，用模，解模的意识要加强，每一个概念，定理，公式都要从模型的意识入手．

6．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（　　）

A．

a≤﹣3

B．

a≥﹣3

C．

a≤5

D．

a≥5

考点：

二次函数的性质．

专题：

计算题．

分析：

先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．

解答：

解：

∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2

其对称轴为：

x=1﹣a

∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数

∴1﹣a≥4

∴a≤﹣3

故选A

点评：

本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．

7．（5分）设a=log23，b=log46，c=log89，则下列关系中正确的是（　　）

A．

a＞b＞c

B．

a＞c＞b

C．

c＞b＞a

D．

c＞a＞b

考点：

对数值大小的比较．

专题：

常规题型．

分析：

根据换底公式变为同底的对数再比较大小．

解答：

解：

log46=

=

；log89=

=

∵3＞

＞

∴

故选A

点评：

本题考查了换底公式，和对数函数的单调性．当给出的对数不同底时，往往要转化为同底的进行大小比较．

8．（5分）已知a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）=loga（x+b）的图象可能为

（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

对数函数的图像与性质；二次函数的图象．

专题：

计算题．

分析：

由a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象可知，a＞1＞b＞0．于是g（x）=loga（x+b）的图象是单调递增的，g

（1）＞0，从而可得答案．

解答：

解：

由f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象与a＞b得：

a＞1＞b＞0．

∴g（x）=loga（x+b）的图象是单调递增的，可排除A，D，

又g

（1）=loga（1+b）＞loga1=0，可排除C，

故选B．

点评：

本题考查对数函数的图象与性质，由由a＞b与函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象得到a＞1＞b＞0是关键，属于基础题．

9．（5分）函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠1}，对定义域中的任意的x，都有f（2﹣x）=﹣f（x），且当x＜1时，f（x）=2x2﹣x+1，那么当x＞1时，f（x）的递减区间是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

奇偶性与单调性的综合．

专题：

计算题；函数的性质及应用．

分析：

先确定当x＞1时，f（x）的解析式，再配方，即可求得函数的递减区间．

解答：

解：

设x＞1，则2﹣x＜1

∵当x＜1时，f（x）=2x2﹣x+1，

∴f（2﹣x）=2（2﹣x）2﹣（2﹣x）+1，

∵f（2﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣2（2﹣x）2+（2﹣x）﹣1=﹣2（x﹣

）2﹣

，

∴当x＞1时，f（x）的递减区间是

故选C．

点评：

本题考查函数解析式的确定，考查函数的单调性，正确确定函数的解析式是关键．

10．（5分）函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（　　）

A．

2x+6

B．

﹣2x+6

C．

2x﹣6

D．

﹣2x﹣6

考点：

函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性．

专题：

计算题．

分析：

由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f（3﹣x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2x，即可求出当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）的解析式．

解答：

解：

∵f（3+x）=f（3﹣x），

故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴

又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，

故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心

则T=12是函数y=f（x）的一个周期

设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）

即f（x）=﹣2x+6

故选B

点评：

本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，函数的对称性，函数的同期性，其中根据直线x=a是函数图象的对称轴，（b，0）是函数图象的对称中心，则T=4|a﹣b|是函数的周期是解答本题的关系．

二、填空题：

本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在答题纸的相应横线上．

11．（5分）设

，若f（x）=3，则x=　

　．

考点：

函数的值．

分析：

根据已知中分段函数的解析式

，我们分x≤﹣1时、﹣1＜x＜2时、x≥2时三种情况，分别构造方程，解出满足条件的x值，即可得到答案．

解答：

解：

当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）

当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=

，或x=﹣

（舍去）

当x≥2时，即2x=3，解得x=

（舍去）

故当f（x）=3，则x=

故答案为：

点评：

本题考查的知识点是函数函数的值，分段函数分段处理，分别在若干个x的不同取值范围内，构造满足条件的方程，并结合x的不同取值范围进行求解是解决这类问题的通法．

12．（5分）已知

，函数f（x）=ax，若实数m，n满足f（m）＜f（n），则m、n的大小关系是　m＞n　．

考点：

指数函数的单调性与特殊点．

专题：

计算题．

分析：

由题意可得：

函数f（x）=ax在R上是单调减函数，又f（m）＜f（n），可得：

m＞n．

解答：

解：

因为

＜1，

所以函数f（x）=ax在R上是单调减函数，

因为f（m）＜f（n），

所以根据减函数的定义可得：

m＞n．

故答案为：

m＞n．

点评：

解决此类问题的关键是熟练掌握指数函数的单调性与定义，以及单调函数的定义，此题属于基础题．

13．（5分）已知命题p：

∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：

∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为　a≤﹣2或a=1　．

考点：

命题的真假判断与应用．

专题：

计算题．

分析：

根据命题“p且q”是真命题，得到两个命题都是真命题，当两个命题都是真命题时，第一个命题是一个恒成立问题，分离参数，根据x的范围，做出a的范围，第二个命题是一元二次方程有解问题，利用判别式得到结果．

解答：

解：

∵“p且q”是真命题，

∴命题p、q均为真命题，

由于∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，

∴a≤1；

又因为∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，

∴△=4a2+4a﹣8≥0，

即（a﹣1）（a+2）≥0，

∴a≤﹣2或a≥1，

综上可知，a≤﹣2或a=1．

故答案为：

a≤﹣2或a=1

点评：

本题考查命题真假的判断与应用，是一个综合题，这种题目一般是以解答题目出现，是一个不错的题目，但解起来容易出错．

14．（5分）函数y=

的单调递减区间是　（1，3]　．

考点：

对数函数的单调区间．

专题：

计算题．

分析：

由﹣x2+6x﹣5＞0，先求函数的定义域（1，5）由复合函数的单调性可知只需求出t（x）=﹣x2+6x﹣5的单调递增区间，最后于定义域取交集可得答案．

解答：

解：

由﹣x2+6x﹣5＞0解得，1＜x＜5，即函数的定义域为（1，5）

函数y=

可看作y=

，和t（x）=﹣x2+6x﹣5的复合．

由复合函数的单调性可知只需求t（x）的单调递增区间即可，

而函数t（x）是一个开口向下的抛物线，对称轴为x=

，

故函数t（x）在（﹣∞，3]上单调递增，由因为函数的定义域为（1，5），

故函数y=

的单调递减区间是（1，3]．

故答案为（1，3]．

点评：

本题为复合函数的单调区间的求解，利用复合函数的单调性的法则，注意定义域优先的原则，属基础题．

15．（5分）（2012•菏泽一模）已知定义在R上的偶函数满足：

f（x+4）=f（x）+f

（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：

①f

（2）=0；

②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．

上述命题中所有正确命题的序号为　①②④　．

考点：

命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．

专题：

计算题．

分析：

根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f

（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f

（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．

解答：

解：

∵f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），

可得f（﹣2）=f

（2），

在f（x+4）=f（x）+f

（2），中令x=﹣2得

f

（2）=f（﹣2）+f

（2），

∴f（﹣2）=f

（2）=0，

∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．

从图中可以得出：

②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．

故答案为：

①②④．

点评：

本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．

三、解答题：

本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．

16．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}，

（1）当m=0时，求A∩B

（2）若p：

x2﹣2x﹣3＜0，q：

（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

考点：

必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．

专题：

常规题型；转化思想．

分析：

（1）分别求出A，B，再根据集合的交集运算，求出A与B的交集即可；

（2）由于q是p的必要不充分条件，再由判断充要条件的方法，我们可知A

B，再根据集合关系求出m的范围即可．

解答：

解：

（1）∵A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，…（2分）

B={x|（x+1）（x﹣1）≥0}={x|x≥1或x≤﹣1}．…（4分）

∴A∩B={x|1≤x＜3}．…（6分）

（2）由于命题p为：

（﹣1，3），…（7分）

而命题q为：

（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），…（9分）

又q是p的必要不充分条件，即p⇒q，…（10分）

所以m+1≤﹣1或m﹣1≥3，解得m≥4或m≤﹣2

即实数m的取值范围为：

（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．…（12分）

点评：

本题考查充分条件、必要条件及充要条件的判断，同时考查了一元二次不等式的解法，集合的运算．

由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A

B．

17．（12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f

（2）=1．

（1）求f（8）的值；

（2）求不等式f（x）＞3+f（x﹣2）的解集．

考点：

抽象函数及其应用；函数单调性的性质．

专题：

计算题；函数的性质及应用．

分析：

（1）令x=y=2，可求得f（4），继而可求得f（8）的值；

（2）由

（1）f（8）=3，可求得f（x）＞3+f（x﹣2）⇔f（x）＞f（8x﹣16），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数即可求得答案．

解答：

解：

（1）由题意得f（8）=f（4×2）

=f（4）+f

（2）

=f（2×2）+f

（2）

=f

（2）+f

（2）+f

（2）

=3f

（2），

又∵f

（2）=1，

∴f（8）=3…（6分）

（2）不等式化为f（x）＞f（x﹣2）+3

∵f（8）=3，

∴f（x）＞f（x﹣2）+f（8）=f（8x﹣16）…（8分）

∵f（x）是（0，+∞）上的增函数

∴解得2＜x＜

．

∴不等式f（x）＞3+f（x﹣2）的解集为{x|2＜x＜

}…（12分）

点评：

本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法与函数单调性的性质，求得f（8）=3是关键，属于中档题．

18．（12分）（2003•北京）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？

最大月收益是多少？

考点：

根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．

专题：

应用题；压轴题．

分析：

（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；

（Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．

解答：

解：

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，

未租出的车辆数为

，

所以这时租出了88辆车．

（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，

则租赁公司的月收益为

，

整理得

．

所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．

点评：

本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．

19．（12分）已知函数

（I）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

的值；

（II）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

考点：

函数单调性的判断与证明．

专题：

探究型．

分析：

（I）由f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．0＜a＜b，且f（a）=f（b），推得0＜a＜1＜b，

从而分别求得f（a），f（b），根据其关系得到结论．

（II）先假设存在满足条件的实数a，b，由于f（x）是分段函数，则分当a，b∈（0，1）2时，a，b∈[1，+∞）

a∈（0，1），b∈[1，+∞）时三种情况分析．

解答：

解：

（I）∵

∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．

由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得0＜a＜1＜b且

．所以

．

（II）不存在满足条件的实数a，b．

若存在满足条件的实数a，b，则0＜a＜b

当a，b∈（0，1）时，

3在（0，1）上为减函数．

故

即

解得a=b．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

当a，b∈[1，+∞）时，

在（1，+∞）上是增函数．

故

即

此时a，b是方程x2﹣x+1=0的根，此方程无实根．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f

（1）=0∉[a，b]，

故此时不存在适合条件的实数a，b．

综上可知，不存在适合条件的实数a，b．

点评：

本题主要考查分段函数在的单调性、定义域和值域，同时还考查学生的分类讨论解决问题的能力．

20．（13分）集合A是由适合以下性质的函数组成：

对于任意x≥0，f（x）∈[﹣2，4]，且f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（1）试判断

及

是否在集合A中，并说明理由；

（2）若定义：

对定义域中的任意一个x都有不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）恒成立，则称这个函数为凸函数．对于

（1）中你认为在集合A中的函数f（x）是凸函数吗？

试证明你的结论．

考点：

函数恒成立问题；奇函数；偶函数．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）依据集合A的定义逐一判断即可．

（2）验证

（1）中属于集合A的函数是否满足凸函数的定义即可．

解答：

解：

（1）当x=49时，

，所以f1（x）∉A；

当x≥0时，

，4﹣6

∈[﹣2，4），所以f2（x）∈[﹣2，4]，

又当x＞0时，

单调递减，∴

单调递增，

故f2（x）∈A．

（2）因为f2（x）+f2（x+2）﹣2f2（x+1）=[4﹣6

]+[4﹣6

]﹣2[4﹣6

]

=12

﹣6

﹣6

=

，所以，f2（x）+f2（x+2）＜2f2（x+1）．

即f2（x）对任意x都有不等式f2（x）+f2（x+2）＜2f2（x+1）成立．

故f2（x）是凸函数．

点评：

本题考查了函数恒成立问题，利用所学知识解决新问题的能力．

21．（14分）已知函数

是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+mx是偶函数．

（1）求m+n的值；

（2）设

，若g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

考点：

函数奇偶性的性质；其他不等式的解法．

专题：

计算题；转化思想．

分析：

（1）函数g（x）是奇函数，且在x=0处有意义，得g（0）=0，解得m，f（x）是偶函数利用f（﹣x）=f（x）解得n，从而得m+n的值．

（2）g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立即lg（2a+2）小于2x﹣2﹣x的最小值，利用单调性的定义探讨该函数的单调性即可的其最小值，将恒成立问题转化为函数的最值问题，解不等式组即可的a的范围．

解答：

解：

（1）∵g（x）为奇函数，且定义域为R∴g（0）=

=0，解得n=1

∵f（x）=lg（10x+1）+mx是偶函数．

∴f（﹣x）=lg（10﹣x+1）﹣mx=

﹣mx=lg（10