二次函数各类综合题选40题.docx
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二次函数各类综合题选40题
二次函数各类综合题节选
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),且AB=4,又P是抛物线上位于第一象限的点,直线AP与y轴交于点D,与对称轴交于点E,设点P的横坐标为t.
(1)求点A的坐标和抛物线的表达式;
(2)当AE:
EP=1:
2时,求点E的坐标;
(3)记抛物线的顶点为M,与y轴的交点为C,当四边形CDEM是等腰梯形时,求t的值.
2.抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(-1,0),B(
,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
3.如图1,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,经过点B的直线交y轴于点E(0,2).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图2,过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D,点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点,连结PA,EA,ED,PD,求四边形EAPD面积的最大值;
(3)如图3,连结AC,将△AOC绕点O逆时针方向旋转,记旋转中的三角形为△A′OC′,在旋转过程中,直线OC′与直线BE交于点Q,若△BOQ为等腰三角形,请直接写出点Q的坐标.
4.已知:
二次函数y=ax2+2ax-4(a≠0)的图象与x轴交于点A,B(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,△ABC的面积为12.
(1)求二次函数图象的对称轴与它的解析式;
(2)点D在y轴上,当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时,求点D的坐标;
(3)点D的坐标为(-2,1),点P在二次函数图象上,∠ADP为锐角,且tan∠ADP=2,求点P的横坐标.
5.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点(P不与B,C两点重合),过点P作x轴的垂线交抛物线于点F,设点P的横坐标为m(0<m<3)
(Ⅰ)当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形;
(Ⅱ)设△BCF的面积为S,求S的最大值.
6.在直角坐标平面内,直线y=
x+2分别与x轴、y轴交于点A、C.抛物线y=-
+bx+c经过点A与点C,且与x轴的另一个交点为点B.点D在该抛物线上,且位于直线AC的上方.
(1)求上述抛物线的表达式;
(2)联结BC、BD,且BD交AC于点E,如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4:
5,求∠DBA的余切值;
(3)过点D作DF⊥AC,垂足为点F,联结CD.若△CFD与△AOC相似,求点D的坐标.
7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=
x2+bx+c的图象与x轴交于点A(2,0)、B(-4,0),与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接BD,点P在抛物线的对称轴上,以Q为平面内一点,四边形PBQD能否成为矩形?
若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由;
(3)在抛物线上有一点M,过点M、A的直线MA交y轴于点C,连接BC,若∠MBO=∠BCO,请直接写出点M的坐标.
8.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(-1,0)和B(3,0)两点,且交y轴于点C,M为抛物线的顶点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若将该二次函数图象向上平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△BOC的内部(不包含边界),求m的取值范围;
(3)点P是抛物线上一动点,PQ∥BC交x轴于点Q,当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.
9.如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2mx+m2+
m的顶点为A,与y轴交于点B.当抛物线不经过坐标原点时,分别作点A、B关于原点的对称点C、D,连结AB、BC、CD、DA.
(1)分别用含有m的代数式表示点A、B的坐标.
(2)判断点B能否落在y轴负半轴上,并说明理由.
(3)连结AC,设l=AC+BD,求l与m之间的函数关系式.
(4)过点A作y轴的垂线,交y轴于点P,以AP为边作正方形APMN,MN在AP上方,如图②,当正方形APMN与四边形ABCD重叠部分图形为四边形时,直接写出m的取值范围.
10.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+2mx-m2-m+1交y轴于点为A,顶点为D,对称轴与x轴交于点H.
(1)求顶点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)当抛物线过点(1,-2),且不经过第一象限时,平移此抛物线到抛物线y=-x2+2x的位置,求平移的方向和距离;
(3)当抛物线顶点D在第二象限时,如果∠ADH=∠AHO,求m的值.
11.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?
若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
12.如图,抛物线y=
x2+bx+c过点A(0,-6)、B(-2,0),与x轴的另一交点为点C.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)将直线AC向下平移m个单位,使平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M,求m的值及点M的坐标;
(3)抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?
若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
13.在平面直角坐标系xOy中,对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+8过点(-2,0).
(1)求抛物线的表达式,并写出其顶点坐标;
(2)现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位,所得抛物线的顶点为D,与y轴的交点为B,与x轴负半轴交于点A,过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C,若AC∥BD,试求平移后所得抛物线的表达式.
14.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k≠0)沿着y轴向上平移3个单位长度后,与x轴交于点B(3,0),与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A.
(1)求直线BC及该抛物线的表达式;
(2)设该抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;
(3)如果点F在y轴上,且∠CDF=45°,求点F的坐标.
15.如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B、C三点分别为坐标轴上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若点M为该抛物线上一动点,在
(2)的条件下,请求出当|PM-AM|为最大值时点M的坐标,并直接写出|PM-AM|的最大值.
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=
+bx+c与x轴交于点A(-2,0)和点B,与y轴交于点C(0,-3),经过点A的射线AM与y轴相交于点E,与抛物线的另一个交点为F,且
.
(1)求这条抛物线的表达式,并写出它的对称轴;
(2)求∠FAB的余切值;
(3)点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,点P是y轴上一点,
且∠AFP=∠DAB,求点P的坐标.
17.如图,已知在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+2ax+c(其中a、c为常数,且a<0)与x轴交于点A,它的坐标是(-3,0),与y轴交于点B,此抛物线顶点C到x轴的距离为4
(1)求抛物线的表达式;
(2)求∠CAB的正切值;
(3)如果点P是抛物线上的一点,且∠ABP=∠CAO,试直接写出点P的坐标.
18.已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A(1,0)和点B(5,0),顶点为M.点C在x轴的负半轴上,且AC=AB,点D的坐标为(0,3),直线l经过点C、D.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是直线l在第三象限上的点,联结AP,且线段CP是线段CA、CB的比例中项,求tan∠CPA的值;
(3)在
(2)的条件下,联结AM、BM,在直线PM上是否存在点E,使得∠AEM=∠AMB?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
19.已知在平面直角坐标系xOy(如图)中,已知抛物线y=
+bx+c点经过A(1,0)、B(0,2).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C,第四象限内的点D在该抛物线的对称轴上,如果以点A、C、D所组成的三角形与△AOB相似,求点D的坐标;
(3)设点E在该抛物线的对称轴上,它的纵坐标是1,联结AE、BE,求sin∠ABE.
20.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)(0,3),对称轴x=-1.
(1)求函数解析式;
(2)若图象与x轴交于A、B(A在B左)与y轴交于C,顶点D,求四边形ABCD的面积.
21.设a,b是任意两个不等实数,我们规定:
满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:
当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.如函数y=-x+4,当x=1时,y=3;当x=3时,y=1,即当1≤x≤3时,恒有1≤y≤3,所以说函数y=-x+4是闭区间[1,3]上的“闭函数”,同理函数y=x也是闭区间[1,3]上的“闭函数”.
(1)反比例函数y=
是闭区间[1,2018]上的“闭函数”吗?
请判断并说明理由;
(2)如果已知二次函数y=x2-4x+k是闭区间[2,t]上的“闭函数”,求k和t的值;
(3)如果
(2)所述的二次函数的图象交y轴于C点,A为此二次函数图象的顶点,B为直线x=1上的一点,当△ABC为直角三角形时,写出点B的坐标.
22.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A(-2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=2OA.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m=
,试求m的最大值及此时点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内的一点,是否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形?
如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
23.如图,二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D,且CP:
PD=1:
2,tan∠PDB=
.
(1)则A、B两点的坐标分别为A( , );B( , );
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上找一点M使|MC-MB|的值最大,则点M的坐标为 .
24.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(4,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,4).
(1)求直线BC与抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,当MN的值最大时,求△BMN的周长.
(3)在
(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,
△ABN的面积为S2,且S1=4S2,求点P的坐标.
25.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+
(a≠0)的图象与一次函数y=ax-a(a≠0)的图象相交于A、B两点,与x轴的负半轴交于点C,AB交y轴于点D,BD:
AD=1:
2,点B坐标为(1,0).
(1)求该二次函数的函数表达式;
(2)M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为轴翻折,点C的对称点为点N,若△AMN有一个顶点在y轴上,求点N的坐标;
(3)设点E在抛物线的对称轴上,点F在直线AB上,问是否存在这样的点E、F,使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
26.如图,在平面直角坐标系中,抛物线
与x轴相交于点A、B,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点N,交线段AC于点M.点F是线段MA上的动点,连接NF,过点N作NG⊥NF交△ABC的边于点G.
(1)求证:
△ABC是直角三角形;
(2)当点G在边BC上时,连接GF,∠NGF的度数变化吗?
若变化,请说明理由;若不变,请求出∠NGF的正切值;
(3)设点F的横坐标为n,点G的纵坐标为m,在整个运动过程中,直接写出m与n的函数关系式,并注明自变量n的取值范围.
27.如图1,已知一条直线与抛物线y=
相交于A,B两点,其中点A,B的横坐标分别是-2、8.
(1)求这条直线的函数表达式;
(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?
若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,设直线AB分别与x轴、y轴交于点D、E,F为OD的中点,将线段顺时针旋转得到OF',旋转角α(0°<α<90°),连接DF',EF',求DF'+
EF'的最小值.
28.如图1,抛物线y=-x2+mx+n交x轴于点A(-2,0)和点B,交y轴于点C(0,2).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点M在抛物线上,且S△AOM=2S△BOC,求点M的坐标;
(3)如图2,设点N是线段AC上的一动点,作DN⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DN长度的最大值.
29.如图,在同一直角坐标系中,抛物线C1与抛物线C2关于y轴对称,已知抛物线C1的顶点坐标为A(-1,4),与y轴的交点坐标为(0,3)
(1)求抛物线C1,C2的解析式;
(2)若直线l1:
y=x+m与C1仅有唯一的交点,求m的值;
(3)若C2与x轴正半轴交点记作B,在x轴上是否存在一点P,使△PAB为等腰三角形?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
30.如图,抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-3,0),点B(1,0),交y轴于点E.点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.直线y=kx+3过点C,交y轴于D点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.
31.已知:
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,直线y=-x+3经过B、C两点
(1)填空:
b= (用含有a的代数式表示);
(2)若a=-1
①点P为抛物线上一动点,过点P作PM∥y轴交直线y=-x+3于点M,当点P在第一象限内时,是否存在一点P,使△PCB面积最大?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
②当m≤x≤m+3时,y的取值范围是2m≤y≤4,求m的值.
32.如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=x2的对称轴绕着点P(0,2)顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点,点Q是该抛物线上的一点.
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)如图①,若点Q在直线AB的下方,求点Q到直线AB的距离的最大值;
(3)如图②,若点Q在y轴左侧,且点T(0,t)(t<2)是直线PO上一点,当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时,求所有满足条件的t的值.
33.如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,矩形OABC的顶点A、C分别在在x轴、y轴上,点B的坐标是(6,4),抛物线y=
x2-
x+c与矩形OABC的边BC和AB分别交于点D(
,4)和点E,连接DE
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线DE的函数表达式;
(3)点P是抛物线对称轴上一个动点,
①当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时,请直接写出点P的坐标;
②将△BDE沿直线DE翻折至△B′DE处,点B的对称点为点B′,连接B′P,请直接写出线段B′P长度的最小值.
34.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知抛物线y=x2.
(1)写出抛物线y=x2的开口方向,对称轴和顶点坐标;
(2)已知点A(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,将抛物线y=x2从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于点P,顶点M到A点时停止移动,设抛物线顶点M的横坐标为m,当m为何值时,线段PB最短?
(3)如图,点C为y轴正半轴上一点,过点C任作直线交抛物线y=x2于D,E两点,点F为y轴负半轴上一点,且∠CFD=∠CFE,求证:
OC=OF.
35.已知,如图,抛物线与x轴交点坐标为A(1,0),C(-3,0),
(1)若已知顶点坐标D为(-1,4)或B点(0,3),选择适当方式求抛物线的解析式.
(2)若直线DH为抛物线的对称轴,在
(1)的基础上,求线段DK的长度,并求△DBC的面积.
(3)将图
(2)中的对称轴向左移动,交x轴于点p(m,0)(-3<m<-1),与线段BC、抛物线的交点分别为点K、Q,用含m的代数式表示QK的长度,并求出当m为何值时,△BCQ的面积最大?
36.如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),与y轴相交于点C.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点E是第一象限的抛物线上的一个动点,当四边形ABEC的面积最大时,求点E的坐标,并求出四边形ABEC的最大面积;
(3)若点M在抛物线上,且在y轴的右侧.⊙M与y轴相切,切点为D.以C,D,M为顶点的三角形与△AOC相似,请直接写出点M的坐标.
37.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),点B(3,0)和点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标;
(2)点C是否在以BE为直径的圆上?
请说明理由;
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点,点R是抛物线上一动点,是否存在点Q、R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,直接写出点Q、R的坐标,若不存在,请说明理由.
38.如图,一次函数
的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C.二次函数
的图象经过A、C两点,与x轴的另一个交点为B.
(1)求二次函数的表达式;
(2)点P是该函数在第一象限内图象上的一个动点.
①连接BC、PC,设直线PB交线段AC于点D,△PCD的面积为S1,△BCD的面积为S2,求
的最大值;
②过点P作PQ⊥AC,垂足为Q,连接PC.若以P、C、Q为顶点的三角形与△AOC相似,求出点P的坐标.
39.如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点的坐标为M(1,-4).
(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S△PAB=
S△MAB?
若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在y轴上是否存在一点Q,使得QM+QB的和最小,若存在,求出Q点坐标,若不存在,请说明理由.
40.已知抛物线y=-x2+bx+c交y轴于点C,过C作CE∥x轴,交抛物线于点E,且OC=CE=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以MNCE为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,连结EO,延长EO交抛物线于点F,点P为EF上方抛物线上的一个点,过点P作y轴的平行线交EF于点G,作PH⊥EF于点H,请问是否存在点P,使得△HPG的周长最长,若存在,请求出周长的最大值;若不存在,请说明理由.
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- 二次 函数 各类 综合 40
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