等腰梯形的性质专项练习30题有答案ok.docx
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等腰梯形的性质专项练习30题有答案ok
等腰梯形的性质专项练习30题(有答案)
1.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AD=2,AB=6,∠B=60°,求下底BC的长.
2.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,AC⊥AB.求∠B的度数.
3.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线AC平分∠BAD,∠B=60°,CD=3,求梯形中位线的长.
4.如图在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,AC⊥AB,将CB延长至点F,使BF=CD.求∠CAF的度数.
5.如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AD=4,BC=8,∠C=60°,求AB的长.
6.已知:
如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,对角线AC、BD交于M,AB=2,CD=4,∠CMD=90°,求:
BD的长.
7.如图,在等腰梯形△ABCD中,AB∥CD,AD=BC=CD,BD⊥AD.
(1)求∠A的度数.
(2)设AD=2cm,求梯形ABCD的面积.
等腰梯形的性质----1
8.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∠B=60°.AE⊥BC于E;EF⊥CD于F,点F是CD的中点.求证:
AD=BE.
9.如图,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=CD,AE⊥BC于E,∠B=60°,∠DAC=45°,,求梯
形ABCD的周长?
10.如图示,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,中位线长为5cm,高为2cm,求梯形底边BC的长及梯形的面积.
11.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=6cm,BD⊥CD于D,∠C=60°.
(1)求∠DBC的度数;
(2)求AD的长.
12.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2AD,梯形周长为40,对角线BD平分∠ABC,求梯形的腰长及两底边的长.
13.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC平分∠BCD,已知AD=5cm,BC=9cm,求等腰梯形ABCD的周长.
等腰梯形的性质---2
14.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点E在BC的延长线上,DE=DB.
求证:
AD=CE.
15.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,DE∥AB.
(1)求∠BCD的度数;
(2)若AB=4,求等腰梯形ABCD的面积.
16.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=CD,∠D=120°,AC平分∠BCD,梯形的中位线长为6,求AC的长及梯形的面积?
17.如图,E是等腰梯形ABCD底边AB上的中点,求证:
DE=CE.
18.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,E、F是AB上的两点且AE=BF,DF与CE相交于点O.问OE与OF相等吗?
为什么?
19.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=2∠B,BC=3,AB=2.求AD的长.
等腰梯形的性质---3
20.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥CD,∠A=2∠C,BC=8cm,求腰DC的长.
21.如图所示,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=DC,∠ACB=42°,∠ACD=27°.
(1)∠BAC=_________°;
(2)如果BC=10cm,连接BD,求BD的长度.
22.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M是AD的中点,MB=MC吗?
为什么?
23.如图,在梯形ABCD中,AB=DC=AD,AC=BC,求∠B的度数.
24.如图,E是等腰梯形ABCD底边AB上的中点,DE和CE相等吗,为什么?
25.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,两条对角线AC⊥BD,AE⊥BC.
(1)求证:
AE=(AD+BC);
(2)若AC=10cm,求等腰梯形ABCD的面积.
等腰梯形的性质---4
26.如图,已知在等腰梯形ABCD中,CD∥AB,AD=BC,四边形AEBC是平行四边形.求证:
∠ABD=∠ABE.
27.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线BD平分∠ABC,且BD⊥DC,上底AD=3cm.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求梯形ABCD的周长.
28.已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BD平分∠ABC,BD⊥CD,若梯形的周长为25cm,求梯形各边的长.
29.如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,对角线AC⊥BD,延长BC至E点,使CE=AD,连接DE.
(1)求∠ACE的度数;
(2)若AD+BC=10cm,求△BDE的面积.
30.如图所示:
在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,∠ADC=120°.
(1)试探讨线段AC与BC的位置关系;
(2)若AD=4,求梯形ABCD的面积.
等腰梯形的性质---5
参考答案:
1.
过点D作DE∥AB,则可得DE=AB=CD,又∵∠B=∠DEC=60°,
∴△DEC为等边三角形,
∴CE=AB=6cm,
故可得BC=BE+EC=AD+EC=8cm.
2.在等腰梯形ABCD中,
∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠B=∠BCD.(1分)
∵AD=CD,
∴∠ACD=∠CAD.(1分)
又∵AD∥BC,
∴∠ACB=∠CAD.(1分)
∴∠ACB=∠ACD.(1分)
∵AC⊥AB,
∴∠B+∠ACB=90°.(1分)
∴∠B+∠B=90°.
∴∠B=60°.
3.∵四边形ABCD是等腰梯形,∠B=60°,
∴∠BAD=∠B=60°,AD=BC,
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=30°,
∴∠ACB=90°,
又∵AB∥DC,
∴∠ACD=∠BAC,
∴∠ACD=∠DAC,
∴DC=AD=3,
∴BC=AD=3,
在Rt△ACB中,∵∠BAC=30°,∴AB=2BC=6,
∴所求中位线的长是(AB+DC)=(6+3)=4.5
4.∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵AD=DC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴∠ACD=∠ACB=∠DCB,
∵AB=DC,
∴∠ABC=∠DCB=2∠ACB,
∵AC⊥AB,
∴∠CAB=90°,
∴∠ABC=60°,
∵AB=BF,
∴∠BAF=∠F,
∵∠ABC=∠BAF+∠F,
∴∠BAF=30°,
∴∠CAF=∠CAB+∠BAF=90°+30°=120°.
5.分别过点A,D作AE⊥BC,DF⊥BC.
∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AD=4,BC=8,
∴AD=EF=4,BE=CF=(8﹣4)=2,
∵∠C=60°,
∴∠CDF=30°,
∴CD=4,
∵AB=CD,∴AB=4.
6.如图,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,∴∠EBD=∠CMD=90°,
∵AB∥CD,
∴四边形ACEB是平行四边形,
∴AC=BE,CE=AB,∵AB=2,CD=4,
∴DE=DC+CE=DC+AB=4+2=6,
∵梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,
∴AC=BD,
∴BD=BE,
在Rt△BDE中,由勾股定理得,BD2+BE2=DE2,即BD2+BD2=62,
解得BD=3.
故答案为:
3.
7.1)解:
∵AD=BC=DC,
∴∠CDB=∠CBD,
∵DC∥BA,
∴∠CDB=∠DBA,
∴∠CBA=2∠DBA,
∵DC∥AB,AD=BC,∴∠A=∠ABC=2∠DBA,
∵DB⊥AD,
等腰梯形的性质---6
∴∠ADB=90°,
∵AD∥BC,AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠A=×90°=60°,
∴AE∥DF,
∴四边形ADFE是平行四边形,
答:
∠A=60°.
∴
,
∴梯形ABCD的周长为:
AD+DC+BC+AB=﹣
(2)解:
作DE⊥AB于E,
1+2+2+2+
﹣1=4+2
.
∵∠A=60°,∠DEA=90°,
答:
梯形ABCD
的周长是4+2
.
∴∠ADE=30°,
∴AE=AD=1cm,
由勾股定理得:
DE=
cm,
同理AB=2AC=4cm,
10.取两腰AB,CD的中点分别为
E和F,连接EF,
∴梯形ABCD的面积是(CD+AB)×DE=
(×2cm+4cm)
根据梯形中位线定理得:
EF=
(AD+BC),
×cm=3cm2,
cm2
∵EF=5cm,∴AD+BC=10cm,
答:
梯形ABCD的面积是
过A,D作出梯形的两条高AM和DN,
∵梯形ABCD,∴AD∥BC,
∴∠MAD=∠AMN=∠MND=90°,
∴四边形AMND
为矩形,
∴AD=MN,
8.连接ED.
又Rt△ABM
和Rt△DCN中,
∵AD∥BC,AB=CD,
AM=DN,AB=AC,
∴∠B=∠C=60°,
∴Rt△ABM≌Rt△DCN,
∵EF⊥CD,F是CD中点,
∴BM=CN,
∴ED=EC(3分)
由∠AMB=90°,∠B=45°,得△ABM为等腰直角三角形,
∴∠DEC=∠C=60°
∴MB=AM=2cm
,同理CN=DN=2cm,
∴△ECD是等边三角形,(4分)
设AD=MN=xcm,
∴∠B=∠DEC
则AD+BC=AD+BM+MN+NC=2x+4=10
,
∴AB∥DE(5分)
解得:
x=3,
∴四边形ABED是平行四边形(
6分)
∴BC=2+x+2=7;
∴AD=BE(7分)
∴梯形的面积S=
=
=10cm2.
9.∵AD∥BC,∠DAC=45°,
∴∠ACB=45°
∵AE⊥BC,,
∴,
∵∠B=60°,
∴BE=1,AB=2,
∴DC=2,
作DF⊥BC于点F,
∴四边形AEFD是矩形,
∴AE=DF,
∵∠B=∠C,∠AEB=∠DFC=90°,
∴△ABE≌△DCF(AAS),
∴BE=FC=1,
∴,
答:
BC=7cm,梯形的面积10cm2.
11.
(1)∵BD⊥CD于D,
∴∠BDC=90°,
∵∠C=60°,
∴∠DBC=180°﹣90°﹣60°=30°;
(2)如图,过D作DE∥AB交BC于点E,
∵AD∥BC,
∴四边形ABED是平行四边形,
∴AD=BE,AB=DE,∵AB=DC,
∴DC=DE,
∵∠C=60°,
∴△CDE是等边三角形,
∴CE=DC=6cm,
等腰梯形的性质---7
在Rt△BCD中,∵∠DBC=30°,DC=6cm,
∴BC=2DC=2×6=12cm,
∴BE=BC﹣CE=12﹣6=6cm,
∴AD的长为6cm.
12.∵四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,
∴AD=BC,∠DBA=∠CDB,
又BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠DBA,
∴∠CDB=∠CBD,
∴CD=BC,
又AB=2AD,
AB+AD+CD+BC=40,
∴2AD+AD+AD+AD=40,
5AD=40,
AD=8,
∴CD=8,AB=16,
即梯形腰长为8,两底边长为8和16,
答:
梯形的腰长是8,两底边的长分别是8,16
13.∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵AC平分∠BCD,∴∠DCA=∠ACB,∴∠DAC=∠DCA,
∴AD=CD=AB=5cm,
∴等腰梯形ABCD的周长是
AB+BC+CD+AD=5cm+5cm+5cm+9cm=24cm,答:
等腰梯形ABCD的周长是24cm.
14.法一:
在梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB=AC,∴∠ABC=∠DCB(等腰梯形同一底上的内角相等),
∠A+∠ABC=180°,
又∵∠DCE+∠DCB=180°,
∴∠A=∠DCE,
∵DB=BE,
∴∠DBC=∠E,
∵∠ADB=∠DBC,
∴∠ADB=∠E,
在△ABD和△CDE中,,
∴△ABD≌△CDE(AAS),
∴AD=CE;
证法二:
连接AC,
在梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB=AC,
∴AC=BD(等腰梯形的对角线相等),
∠ABC=∠DCB(等腰梯形同一底上的内角相等),
在△ABC和△DCB中,,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴∠ACB=∠DBC,
∵DB=BE,
∴∠DBC=∠E,
∴∠ACB=∠E,
∴AC∥DE,又∵DE=BD,
∴DE=AC,
∴四边形ACED是平行四边形(一组对边平行的四边形是平行四边形),
∴AD=CE.(平行四边形的对边相等).
15.
(1)∵梯形ABCD是等腰梯形,
∴AB=CD,
∵AD∥BC,DE∥AB,
∴四边形ABED是平行四边形,
∴AB=CD=DE,∵BD⊥DC,
∴∠BDC=90°,
∵点E是BC边的中点,
∴BE=DE=CE,
∴DE=DE=CE,即△CDE是等边三角形,
∴∠BCD=60°;
(2)过点D作DF⊥BC于点F,
∵△CDE是等边三角形,AB=CD=4,
∴DF=CD?
sin60°=4×=2,
∵AB=BE=CE=4,∴BC=2AB=8,
∴S梯形ABCD=(AD6BC)?
DF=
×(4+8)×2=12
16.∵四边形ABCD是等腰梯形,∠D=120°,
∴∠B=∠BCD=60°,
∵AC平分∠BCD,
∴∠BCA=∠ACD=30°,
则∠BAC=90°,
又∠CAD=∠BCA,
∴∠CAD=∠ACD,
等腰梯形的性质---8
则AD=CD=AB,
在Rt△ABC中,∵∠BCA=30°,
∴BC=2AB=2AD,
∵中位线长为6,
∴AD+BC=3AD=12,
∴AD=4,BC=2AD=8,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
,
作AE⊥BC于E,
则,
∴梯形的面积为,
答:
AC的长是4,梯形的面积是12.
17.∵等腰梯形ABCD,
∴BC=AD,∠CBE=∠DAE.
∵E是AB上的中点,
∴BE=AE.
∴△CBE≌△DAE(SAS).
∴DE=CE.
18.OE=OF.
理由:
∵AE=BF,
∴AE+EF=BF+EF,即AF=BE.
∵等腰梯形ABCD中,AB∥CD,
∴AD=CB,∠A=∠B.
∴△ADF≌△BCE.
∴∠DFE=∠CEF.
∴OE=OF
19.过点A作AE⊥BC于E,过点D作DF⊥BC于F,
则四边形AEFD是矩形,
所以AD=EF,BE=FC
因为∠A=2∠B,又∠BAD+∠B=180°,所以∠B=60°
在Rt△AEB中,因为∠BAE=90°﹣60°=30°,AB=2,所以BE=AB=
所以AD=BC﹣2BE=3﹣1×2=1.
20.因为四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,所以∠A=∠ADC,∠ADC+∠C=180°(2分)
又∠A=2∠C,则2∠C+∠C=180°,故∠C=60°(4分)因为BD⊥CD,BC=8cm,所以,∠DBC=180°﹣90°﹣60°=30°(6分)
则DC=BC=4cm,即为所求.
21.
(1)∵∠ACB=42°,∠ACD=27°,
∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=69°;
(
2)∵∠ABC=∠BAC=69°,
∴AC=BC=10cm,
又∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴BD=AC=10cm.
22.∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AB=DC,∠A=∠D.
∵M是AD的中点,
∴AM=DM.
在△ABM和△DCM中,
,
∴△ABM≌△DCM(SAS).
∴MB=MC
23.∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠B=∠BCD.
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵AD=CD,
∴∠ACD=∠DAC,
∴∠ACB=∠DCA,
设∠ACD=x,则得到∠DAC=∠ACB=x,
∠B=∠BAC=2x,
∴∠B+∠ACB+∠BAC=180°,即x+2x+2x=180°,解得x=36°,
∴∠B=72°
24.DE=CE.
理由是:
∵等腰梯形ABCD,AB∥CD,
∴∠A=∠B,
∵E为AB的中点,
∴AE=BE,
在△CBE和△DAE中
,
∴△CBE≌△DAE(SAS),
∴DE=CE.
25.1)证明:
过点D作DF∥AC,交BC的延长线于点F,过点D作DH⊥BC于点H,
∵AD∥BC,
∴四边形ACFD是平行四边形,
∴CF=AD,DF=AC,
∵AC⊥BD,AE⊥BC,
∴DH=AE,DF⊥BD,∵AB=CD,
∴AC=BD,
∴BD=DF,
∴△BDF是等腰直角三角形,
∴BH=FH,
等腰梯形的性质---9
∴DH=BF=(BC+CF)=(AD+BC),
∴AE=(AD+BC);
(2)解:
∵AC=10cm,∴BD=DF=10cm,
在Rt△BDF中,BF==10(cm),
∴AD+BC=BF=10cm,
∴AE=BF=5(cm),
∴S梯形ABCD=(AD+BC)?
AE=×10×5=50(cm2).
26.∵四边形AEBC是平行四边形,AD=BC,
∴AD=BC=AE,BD=AC=BE,
在△AEB和△ADB中,
,
∴△AEB≌△ADB,
∴∠ABD=∠ABE.
27.
(1)等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∴∠C=∠ABC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠C=∠ABC=2∠DBC,
∵BD⊥DC,∴∠BDC=90°,∴3∠DBC=90°,∴∠DBC=30°,
∴∠ABC=∠C=2∠DBC=60°;
(2)∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD=DC,
∵AD=3cm,
∴AB=DC=3cm,
在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠DBC=30°,DC=3cm,
∴BC=2DC=6cm,
∴梯形ABCD的周长是
AD+AB+BC+CD=3cm+3cm+6cm+3cm=15cm.
28.∵在等腰梯形ABCD中,AB=CD,
∴∠ABC=∠C,
∵对角线BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABC=∠C,
∵AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB,
∴∠C=2∠DBC,
∵BD⊥CD,∴∠DBC=30°,∴BC=2CD,
∵梯形的周长=AD+AB+BC
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