高中数学 第二章 平面向量 23 平面向量的基本定理及坐标表示教学案 新人教A版必修4.docx
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高中数学第二章平面向量23平面向量的基本定理及坐标表示教学案新人教A版必修4
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
第1课时 平面向量基本定理
[核心必知]
1.预习教材,问题导入
根据以下提纲,预习教材P93~P94的内容,回答下列问题.
(1)观察教材P93图2.3-2的作图过程,思考:
如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任意向量a能否用e1,e2表示?
根据是什么?
提示:
可以.根据是数乘向量和平行四边形法则.
(2)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点,它们存在夹角吗?
提示:
存在.
(3)两个非零向量夹角θ的取值范围是什么?
当非零向量a与b共线时,它们的夹角是多少?
提示:
两个非零向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°.当非零向量a与b共线时,它们的夹角是0°或180°.
2.归纳总结,核心必记
(1)平面向量基本定理
条件
e1、e2是同一平面内的两个不共线向量.
结论
这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
基底
不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(2)向量的夹角
条件
两个非零向量a和b
产生
过程
作向量=a,=b,则∠AOB叫做向量
a与b的夹角
续表
范围
[0,π]
特殊
情况
θ=0°
a与b同向
θ=90°
a与b垂直,记作a⊥b
θ=180°
a与b反向
[问题思考]
(1)0能与另外一个向量a构成基底吗?
提示:
不能.基向量是不共线的,而0与任意向量是共线的.
(2)平面向量的基底是唯一的吗?
提示:
不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,基底一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.
(3)如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?
为什么?
提示:
不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.
[课前反思]
(1)平面向量基本定理:
;
(2)基底:
;
(3)基向量:
;
(4)向量的夹角:
.
讲一讲
1.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若试用a,b表示
[尝试解答] 如图所示,连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:
一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至能用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
练一练
1.如图所示,已知在▱ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的中点.若,试用a,b为基底表示向量
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,DC边上的中点,
讲一讲
2.已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是多少?
a-b与a的夹角又是多少?
即a+b与a的夹角是30°,a-b与a的夹角是60°.
两个向量夹角的实质及求解的关键
(1)实质:
两个向量的夹角,实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角.
(2)关键:
求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,然后按照“一作二证三算”的步骤,并结合平面几何知识求出两个向量的夹角.
练一练
2.如图,已知△ABC是等边三角形.
(1)求向量的夹角;
(2)若E为BC的中点,求向量的夹角.
解:
(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°.
如图,延长AB至点D,使AB=BD,
∵∠DBC=120°,
(2)∵E为BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴的夹角为90°.
讲一讲
3.如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.
(1)平面向量基本定理唯一性的应用
设a,b是同一平面内的两个不共线向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则
(2)重要结论
设e1,e2是平面内一组基底,
练一练
3.如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求证:
AP∶PM=4∶1.
所以λ-μ=b,
即b+c=b.
又因为b与c不共线,所以
解得故即AP∶PM=4∶1.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1.本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角,难点是平面向量基本定理的应用.
2.本节课要重点掌握以下三个问题
(1)用基底表示向量,见讲1;
(2)求向量的夹角,见讲2;
(3)用平面向量基本定理解决相关问题,见讲3.
3.本节课的易错点有两处
(1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和.
(2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角如练2.
课下能力提升(十七)
[学业水平达标练]
题组1 用基底表示向量
1.已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中,不能作为一组基底的是( )
A.e1,e1+e2B.e1-2e2,e2-2e1
C.e1-2e2,4e2-2e1D.e1+e2,e1-e2
解析:
选C 因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),从而e1-2e2与4e2-2e1共线.
A.b+cB.c-b
C.b-cD.b+c
3.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.试以a,b为基底表示向量
题组2 向量的夹角问题
4.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是( )
A.60°B.120°
C.30°D.150°
解析:
选A 平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°.
5.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为________.
解析:
由题意可画出图形,如图所示.
在△OAB中,
因为∠OAB=60°,|b|=2|a|,
所以∠ABO=30°,OA⊥OB,
即向量a与c的夹角为90°.
答案:
90°
解:
如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,
在Rt△OCD中,
即λ=4,μ=2,∴λ+μ=6.
题组3 平面向量基本定理的应用
7.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为( )
A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4
解析:
选D ∵向量e1与e2不共线,
∴解得
8.在▱ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若,其中λ,μ∈R,则λ+μ的值为________.
答案:
9.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为以a,b为基向量的线性组合,即e1+e2=________.
解析:
设e1+e2=ma+nb(m,n∈R),
∵a=e1+2e2,b=-e1+e2,
∴e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)
=(m-n)e1+(2m+n)e2.
∵e1与e2不共线,
∴∴
∴e1+e2=a-b.
答案:
a-b
10.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:
a,b可以作为一组基底;
(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;
(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
解:
(1)证明:
若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,
则e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得⇒
∴λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.
(2)设c=ma+nb(m、n∈R),则
3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)
=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
∴⇒∴c=2a+b.
(3)由4e1-3e2=λa+μb,得
4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)
=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.
∴⇒
故所求λ,μ的值分别为3和1.
[能力提升综合练]
1.以下说法中正确的是( )
A.若a与b共线,则存在实数λ,使得a=λb
B.设e1和e2为一组基底,a=λ1e1+λ2e2,若a=0,则λ1=λ2=0
C.λa的长度为λ|a|
D.如果两个向量的方向恰好相反,则这两个向量是相反向量
解析:
选B A错,a≠0,b=0时,λ不存在.
C错,λ<0时不成立.
D错,相反向量的模相等,故选B.
2.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则等于( )
A.a-b B.2(b-a)
C.2(a-b)D.b-a
3.已知e1,e2不共线,且a=ke1-e2,b=e2-e1,若a,b不能作为基底,则k等于________.
解析:
向量a,b不能作为基底,则向量a,b共线,可设a=λb,则则k=1.
答案:
1
4.如图,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于点H,M为AH的中点.若则λ+μ=________.
解析:
因为AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC,
所以BH=1,BH=BC.
因为点M为AH的中点,
即λ=,μ=,
所以λ+μ=.
答案:
5.如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P是以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设∠PAB=θ,向量(λ,μ∈R),若μ-λ=1,则θ=________.
所以-λ+μsinθ=1,μsinθ=1+λ=μ,
所以sinθ=1,θ=90°.
答案:
90°
6.如图所示,平行四边形ABCD中,M为DC的中点,N是BC的中点,
(1)试以b,d为基底表示;
(2)试以m,n为基底表示.
7.如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且,BN与CM相交于点E,设=a,=b,试用基底a,b表示向量.
解得所以AE―→=a+b.
第2课时 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
平面向量共线的坐标表示
[核心必知]
1.预习教材,问题导入
根据以下提纲,预习教材P94~P100的内容,回答下列问题.
(1)在平面内,规定e1,e2为基底,那么一个向量关于e1,e2的分解是唯一的吗?
提示:
唯一.
(2)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,任作一向量.根据平面向量基本定理,=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?
提示:
相同.
(3)如果向量也用(x,y
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