大学文科数学课后习题答案详解考试专用.docx

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大学文科数学课后习题答案详解考试专用

1.设严心2匸吕■求/（文-1）丿（占）・/

（2）-I）.

分析踊数$■/（;）农示，与』之间的对应沈则就像一祁两数加工徒，将原材料“？

”柏人加工器（）屮，就町生严出丁.这是求解此类同题的思想方法.

解由y连/（丄）二厂卜I可知y匀？

之间的村应法则为y=/（?

）-

•/

八工-1）=;

因为

所以

5-书F/（「）・]=乔1尸7

m=—7

1+Z

-宀M+]

2严云珥1

2.设g=«

严J[工“j

「1'■求/（（））•/

（1）及函数的定义域•并作函数的

O.r1

图像.

分析对于分段函数/（X）.求/（.T.）时耍判明业屈于分段函数的哪一段，承落东不同的区间，要选用所对应的函数表达式.

解因为点落在分段函效上一丧达式的定义域中，所以

•/（0）=55吕=1‘

X修内客

同理/

（1）-0.

定义域为（-8,+8）.其函数图像略.

3.求下列函数的反臥数：

（1）>=3^-2.

解由$=3d-2得才二苇2,所以原西数的反函数为（xGR）.

⑵厂斗

J-I

解由V二兰丄:

知工上1」工1•無得文二口.所以原函数的反函数为r-1>1

3'=”|・#知，歼1.

（3）y=-T2-1.

網因为才<0肘.该函数单调递减，才上0时，该函数单调递增，所以臣因数右；（-8,+8）内卞疗件反函数•但当心<0时，反函數为ym（.<>-1）；当了>0时•反函数为卩二/T厂i（X>-1）.

（4）y=cotx.

解该丙数在区间（2M,（2&+DttX^GZ）内单调递减，均存在反噸数.称为反余切临数.但我们只収区间（0,力内的反函数，称为反余切函数的主值•榆称为反余切两效■记作v=arccotz,.r€（-•+（0tx）;

（5）y=/k+4arcsinx.

M函数y=•/w+4arc»inx的定义域为工W[■遅.1],值域为yW[0,/3n].从y=/x+4arcsinx中解出x=sin~>t）.所以反函数为y=sin-|-（j2-«）,x6[0,>/3jr],>^—埠J.

4.

（1）解

（2）解

分解下刊負合殖数：

y二、/3十/.

y=dutu=3+jr2.y二cos2,

（3）

y=oosm”二2x・

y_&）s（才一旳・

错解y二-ItVX—1.

cosv

错解分祈一L_不是基木初等常数■分解不彻底.

cosV

（4）yhhi（』・•+2）,

解=Inu,m=Inv.v=jrt2.

（5）y-sin--・

j*-1

解v~MilU9M-—.U-J-I.

丿V

（6）y=2^^.

解v=2*♦«=Cretanv■v=yrlr•

5.求下列曲数的定义城二

（\）y=sec.r・

解厂败文二丄，所以原函数的定义域为.rrH如十尊.・r€R（gZ）・

■OOK□-2

（2）y••-/co»

解由cos.r》0得原函数的定义域为二“-扌，2"卄判（疋Z）.

（3）y—1——4In.r.

、1■才

解山1-x#0flx>0可知•原函数的定义域为（O,l）U（i"8）.

6.我園解放初期恩格尔系数为6&至1965年缓幔降至61,“文革•期间又上升为65.70年代末改革开放后又逐年走低，至90年代末又社桓在50上下.研究报告预测，到2U2U年可卑降至40•试粗略画出我国恩格尔糸数随年代变化的曲线馬・

解图略.

7.枣谥一个圆林彫无盖的存水油.容积为卫X）卅•底而（总位）的造价是测面（单位）造价笛2倍，设側面毎平方*造价为«元.试将整个詰水池的②价》丧示先底面半径尸的函数.

簫岳水池底面积为沢几侧而而秋为3°?

x2".而侧面每平方来运价为“Trr

元.底苗爲平方米适价为2“元•斫以整个昔水池的造价为

y-^2kt2+~~J42（尸>0）.

8.据海外腐报1999年4J13R报道J90R年兆国人口总数为12.48亿，每年净堵人口数约为I2（1。

万，人口岀生率已从1970轩的33.43%»降刮】如8年的1603%.4«W城市C離木实现向低出生、低死亡和低增长的现代人口再生类星传变，农村人口也正向这一类堂过渡•但中国的人口情况仍然足严峻的•在新的世纟已中，叩国将曲临蚁亚的人口压力-巨大的人口规模和人口的老龄化•侦计

到2（WU年60岁以上人口埒达到1.3亿.据预测•未来20年中人口还要增如3亿多才能稳定下束.

现以1999年初找国人口总数12.4K亿为基数•按预测•假定2020年初我国

人口总数为15.55亿•问我国人口年平均增长率应枠制在名少（堵确列0.01味）？

设我国人口年平内堆长率应坨制在"•由題怠可得.

12.48（1+x）21-15.55,

（1+x）21

15.55

11748*

两边取白然对数•冇21ln（l+r）=ln15.55-In12.48,

ln（1D丿1120=“12・史“Qi。

5

査反对数衣1令.r^l.010.

魁得x^O.Ol・

所以我国人口年平均增长率应控制在1・0%・

9.已知水•渠的横断面为等腰楼形•如题图1.1所示，斜角为卩•当过水断面ABCD的何积为定值So时，求湿周L（L=AB+BC：

+（；D）与水深h之间的甬数关系式•并说明定义域.

題图1.1

s.2h.

从而有

.=〒4一厶Xt0・

hsiny

即得湿周L与水深力之何的函数关系式

L令？

^

hsincp

由题意町知•其定义域由厶>0和Z>>0所确定•由①式知

b—于-hcoty〉0・

从而h2

所以0Vh

故所求定义域为（O./Sotan（p）.

10.成本、收入和利润廉数设某企业生产某种产品，生产上件的总成本C=C（x）称为总成本函数.销货x件的总收益R=R{x）称为收益函数.收益函数和总成本函数之差L（^）=R（.r）-C（y）称为利润函数•这些曲数的定义域足具有经济意义的戈》0的值.

设该企业的成本函数为C（上）n*/+2（kr+900,收益西数为K（r）=306』-5,,写岀利润函数，并求销货10件时的利润.

解由已知得

L（.t）-A（x）-C（x）=306-（寺j•'十20“+900）,

即二-5.5^24-286x-900（工》0）,

销货10件时的利润为L（10）=l410.

1.用观察法判断下列各数列是否收敛？

如果收敘+及限是什么？

（1））^1;

（2）（2-1j:

（3）11+（-1）M;（4）!

effl

解

（1）收敛,0;〈2）收敛,2;.

（3）发散；〈4）发散.

2.用壮-护定义证明下列极限：

（1）lim（3jr+1）=4・

j—I•

证任给€〉0.由丨/（』）・4|=|3才+1-4|=|3工-3|=3|工・11<£求旅即由"-1|<令求:

右.取.5=号・所以对任给的£>0・存在X奇>0_当0V

11<2令时•有13"1-4|<3•专y恒成立，所以lirn（3i-+1）-4.⑵凹缶…

证当1时.:

=才_1・由:

f_（_2）=|t-1-（-2）|=

Ix+l|0,存在a=e,当0<|工-（-1）|<6=£时，有虫二¥-（一2）=|j+l|<€恒成立.所以lim兰二｛=-2.

XTIX--IX+1

（3）limL芈=2・

一」1+2才

38

证当x#--j-时•由于忌密-2卜I1-2x-2I=2x+y|•由21j*+*0,存在d=g>0,当0<卜-卜号）|<2今时」斥&7卜2卜+#|<2・士“恒成立.所以

（4）linu=4.

z—2

错证任洽€>0,由Ix2-4l=lx+2llx-2Ke^8^要I工一2|<厂厶TP取所以当°<1工一2|二厂鼻？

时•担有Ix?

-4|<€l,r十21l«r*2lIt+21

成生，放得逞.

错证分析当thIJ-2-4|=|j+2||才一2|<€求d时，变形为Ix-2|<厂厶7T是错谋的•因为此时所取的言=厂厶?

『，当e囲定时，5隨工7的变化

I工十21IJ+21

而变化，止瑙的取法逾试是S中仗含€，而不含工.应该限制工的变化范團，用放大法•以就代替"+2I.

证由•于I/-4I=|—2||x+21.

限嗣八不妨令"-21<—而此丸等价于10.只妥取d=min令.11刖彫OCLr-2|<3时■憧有I十一4|<亶成止，所以

n）

lim.r2=4.I

注宣走上岳的证決中，因为所以吁议隈刽z-2|VI■月生铁5放篥大贸玄"+2I,从而找M的证法称为放大法

3.求下列止魏々点工。

=0处的左枚乐呑右权限：

分析按煦Z的不问取值屯国•去幷地片位符号■将/（T）哀吞为分段岳龜而点求分界点处笛左右祓限

解因为/（x）-fxHl-Ix+1,”沁

I

石亠弟.z-^）"（

/♦（0）三lim/（x）=lim（jr+1）二1.1♦*

•・■

助以人（U）=1冋/（勿二lim（-工+1）=1.

（2）/（.r）=-IsgntI.

I—1•xX）.

解因为/（r）=-Isgnxl=\0・x=0.

I1.jtVO・所以/.（0）=lim/（j*）=lim（-IsgnI）=lim

（1）=1,

/•«F・0-F*^0

/f（0）=lim/（x）=lim（-IsgntI）=lim（-1）=-I.

/-Ml*r-^>*

4-作函数/（哭）='“-'的图保•并证明该函数在”-*0时不存在

匸〜1fx<（）

极限.

分析该原數足分牧禹数■分界点是r=0.要证明该分段函数在分界点r=O处不存农极限■应根据“函數在一点处存在极限的充妥条件是左右极限存在且相爭“的定理.

证图形如签图2.1.

容图2・1

/,（0）=lim/（J*）=lim（x+1）=1>

x-*o*z—o'*

/-（0）=lim/（x）=lim（才一1）=-1»r—II'/-*O

因为limlimf（a）♦所以limf（jr）不存在.

x-oe—o…

5.下列变虽在给定的变化过程中•哪些是无穷小量，哪些足无穷大盘？

（1）y='（』f0）•

解因为0时■分子1-才fl■分母z'f0.乂无

穷小址的倒数是无穷人量•所以当工f（）时y二上二是无穷人屋.

・7

⑵严兽4（D・

JT■1

2_[lim（jj-1）0

解因为|吧土討中”=#=0■而无穷小莹的倒数是无穷大

所以y=是X-1时的无穷大最・

X~1

（3）V=sin—（x->oo）.

T

解因为工f8时丄f（）■即有limmn丄=0■所以y=sin-是z—8时的无

JC■JCJC

穷小

（4）y=3^-l（丄一（））・

解因为limCJ'1-l）=linj[/yj*-1]=1-1=0,所以『=3弋一1是r*0时的无穷小駅・

（5）y^hix（工-HT）・

解丙为limInj=-co■所以jr=lnx是r—fT时的无穷大量.

r-»O

⑹W（”f8）.

解丙为刃f8时，分子11十（-1）7W2是有界变量，分母”是无穷大SL

又无穷大屋的倒敎是无穷小臭•所以

n

8时的无穷小呈.

6.当丁->0时■讨论下列无穷小牙关于无穷小備z的阶的比较:

⑴八

解因为lim=lim«r'=0■所以=o（x）.

*・oxlQ

（2）/sin丄.

解由于x—0时i为无穷大量•从而便得sin丄不存在极限■但|sinl|<才JCX

1,足有界变量•又因为有界变址与无穷小虽的乘积是无穷小量，所以

/sin丄-

lim=limxsin—=0.

*0JTJT

于是

（3）vCr.

.♦澈枳分的A按<«

M因为lim^=U巴去=+<«,所以仁为.r的咬底怖无穷小呈.

（4）vCrco^x.

解因为皿心乎壬三lim=：

十8■所以作8sjt为』的较低阶无穷小量・

7.根括变最、极很、尢穷小虽之间的关系定理证明：

育两个隕数的桂柬都存在•则两个隕数之积的极凰筹于极瓯之

iE设lim/（x）=A1limg（^）=B.

所U/（J）=A+d.xr（.r）=fl•其中afO'—0（*4«o）■

于是/（.r）g（.r）=（A+a）〈〃+p）±A〃+Ap+/

所以由变址、极限•无穷小險之问的关察定理，还得

lim/（才）K（・r）■AB=lim#（・■）•

H.求下列极限;

（1）

lim（3.r3—」+2）.

r・r

lini（3.r?

—.rt2）=lim（3.r2）一lini.r+Iini2—3—I+2=4.

r•I丄.—l上

⑵

lim——1—»•!

r

解

1•—

mu•rv丄TT■

⑶

..r2lini—y-z4-（-zir+4

解

j-2_lim;~—r丄-f-21J+.

⑷

P4j•'十2lim—_—:

f，lim

2『十2）

^2

『十2」邨2〃-“十2）_2X⑵?

-2+2=2

-4）

8-4

"F"吋2）…

皿y打、;=恤

j-fZ.r-十I，・・”2_3

4*2

⑸恤（2「3严（3"2严

…（5jt+I）"

解_]血（2二-3尸（3"2严

（5小尸

匚©（2才严（・3）・+G（2才•（・3）*"（・3严]©（3门“2・+（：

；（3刃"2、卄2・]■圮[G（5f）rcU（5「）U“・+l]

2».3-'®.J»+...+32（J.2M2叭3”

=lim_

3P

9/22-3\"/3才+2、

v（2了-3严（5厂2严f./j-

幌-一韦尹一=!

巴一斫FL

解二分子、分母同除以xw

20

（7）

⑹

lim主二nlini2-lim竺圧

）i

2.

错解Inn1+24?

二•二刃亠lie（A+马+…+弓）=0十0+…十0=0.

m・srt*nn

错解分析当”一8时，分子为无穷多项，上述績法瓦实利用了“无穷多个无穷小量之和足无穷小屋”的错渓命题•应该对分子先求肋“项和的公式•再求极臥

1）

lim-^7^=1*—）=i-

lbZn乙jt・bnL

（8）lim（+1-/?

）・

X-*4»

分析当・T-出8时，该极限为“8-8”型不定式，可用分子有理化方法来求极限.

错解

lim（>ArTV/7）=皿的□一^（小71+77）

dx乍飞+-/^lim（V^trTTT）=0

错解分析上式中.——的写法是借课的•因为分母的极限

lim（vT+i+/7）

不存在•不能使用简的扱除法則•正确的作法是：

解lim（/7H-、U>=iim（/蓼5）

=timy—-isi=0.

if+I+v\r

（9）血空罕I

八I工一】

分析当T-*l时•该极限为“常”生不定式，可用分干有理化的方浓，约去杈限为峯的因式•而后求极限.

解1曲"=IE（^7^-举些«

用1小（』-1）（/>+2Z3）r»

-lim

9.求Koch雪花的面枳当//・8时的极限值.

解因为C=宇,A?

kA】+3・£a〔，儿=血43卜[（£）A）]|,所以A”+3卜皿[（+厂人]

二山*3・*/k]+3・4・（吉）"十…*3・4"T.（£）A（

1

3

~4

—一©一

10.求下列极限：

（1）lirn-r^—・

才*osinar

解lim-r^—=

4*osinjt..sinxlim

&n2n

Mi-mii二/_i./sin2ta2\_2sin2j_2

lim—z=linHpI=-x-lim—=——二宁

“yJrlo\lx3/3•-ii2r3

（3）limxootjt・

.rcosx

解lima*cotr=lim

r-n>jaUSinX

limcusx二•:

一二1...x

lim

lM工

J

（5）limKinU-2）

«liinBn"（—-——1）—liia-

4-oxJ/』巧

Mlim空辛二lim

Jt•!

x~4••

恤吟二1

■-・X*

=Lim-~-J•

I（f）

11.求F列极陨：

（1）lim（l*o）•・

B-0

解令仔丄•则a—O时8.于尼

lim（l+a）£=limfl十丄）=e.

<-♦08\t9

的公式变换即可.

解一作变毎代换•令H，则"2/,当L8时，于是柬（1十+）"=血（"£）]■『•注减熟练以后可和进蔽的变号记号，将原如乂打“

12.求下列險敎在定义域X内茱点心处的堆曲；

（1）.v=/（^）=.r2+1.

解设函数在点^€（-00^00）处自变量的增虽为△”，于是

/（r0峠△:

）一/（g）=（心十A.r尸+1-（才:

十1）=2rnAr+（△*）'•

（2）.v=J（t）=7^7.

解设负数彷点.心€*=（-8.|）1丿（|」8）处门娈母的用欣为Z、于是

3=/（m*"）・八口｝=兀+1—1-右=-匕-1）（匸+—-1）•

（3）y=./（x）*«inx・

解设凶数在定义城X=（-8,+8）内某点处自变呈的增里为丁是

（"o+△/）一sin,r0=2co”

△y**hin

（4）>=/（x）=lug.M.

解设味数4定ZMx=（〔）・+8）內某点心补n蛮毘的壤采为A”•干是

4-log,（.rp4△」・）-logrr0=log.（】♦%）•

13.冃定灭1戒定义2证明下列函数在其冇定义的区间内连填：

（1）/（t）=t2-L

分析要证国确数在定义域内连续•第一步任取一点rwGX.证明.心）在r（l处连续；第二步由乩的任意性•便征明了/（r）ftX上堆皴•柱UFHA点片处连拔时•有些西数可以用定义I也可以用定义2■但有空函数只能用定义1•不能用定义2,或有相反•应根摇具体函数具体分析.

»

if用定义1Iff刖.任取一点；r・€（-g・+g）・lfi为

Um（/-1）“乳-1•一/*（j-0）.

所以由定义1町知该函数在点％处连续•再由叭的任宜性•所以1在其定义区间虫连续

⑵/（小雪=

46

埋畠=怙4斗2）=品=m

所以由定义1,该因数在心处连续•再由几的任意性，所以_/（工2吕p在其定义区间内连续.

注意本題也可以用定义2来证明，读者不妨一试.

（3）/（z）=cos.r.

镶证在函数八工）=3工的定义域（-8,+8〉内任取一点斗，

因为lim/（x）=limcos『=exx0=/（x0）«

—q・『r

所以由定文1及几的任意性便证明了该函数在其定义区何内连续.

惜证分析上述证明中.limcosr=cos的依拡足连续除数取极限的法

J—

则.但此题中正是要证明COSH在（-8,十8）内是连续的•这一证法是把结论当条件，把未知当已知，犯了逻辑锚误.因而此题不能用定义1来证明.

证用定义2来址明.任取一点.T°W（-8,卜8）,给％—个增*5工，相应的函数增量为

△y~./5*4）*•/X%）=cos（+Ax）-cobz0--2sin（jt.十爭卜in爭.S,n（x-+T）|

lAd

~T~

W!

sin爭|C

所以3_y!

=2jsin（%+爭）sin半MIS|,

因为

車澈枳分的直嫔碁动

显热.当时，byfO.由定文2,所以cosxXE点呉处连绫.再由re的任板性•可知/V）=COS才在定义区间（-8,十8）内连续.

⑷/（x）=/7.

M在/（工〉的定义区间*二0内任取一点小•给矶一个壊筮△.「相应的函数壇竜为！

A.y=To*Ax_Jz；=?

.学匚,

U卜工七dXq

显於，肖XF）附，3-0,由定义2及寸的任意性，所以/（z）^Zi在足义区［间［0,十8）内连续.

注意在证明过程中.InnJ心&工=皿（心+△=）*=工」.利用了無瓯

Ajt—0Aj•■

數求权限的祛则.匸

~■-一'■_…I

47

.i-xn

14•设函数/（j-）=*:

应当怎样选择数■“■使得玉数/（・r）在

（】+仝0

（-8.+8）内连续.

解由初爭函微的连埃，性可知・/（』）在（-8,0）和（0,*8）山是连续的，

下面仅讨论刁・0处的连饺性.

/（0）=«,

J.（0）■lini./（/）-lim（«•j-）=a>

.r・Ua・O'

/-（0）=limf（j-）=linieJ=1•

•r-«-*U・

妥仗./（r）虚点丁=0处连续、沁须/・（0）-/_（0）=/（0>,^a=1.故选择