32函数模型及应用.docx
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32函数模型及应用.docx
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32函数模型及应用
3.2.1几类不同增长的函数模型__
【使用说明】:
1.课前认真研读课本,完成自主研读学习单设计的问题..
2.课堂内限时完成合作探究学习单,书写规范.
3.找出疑问和不能独立解决的问题,通过合作探究、教师指导等方式解决.
4.课后认真完成反馈巩固学习单.
【学习目标】
1.借助信息技术,用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异.
2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.
3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值,培养学生学习兴趣.
※自主研读学习单※
1.一张纸的厚度大约为0.01cm,一块砖的厚度大约为10cm,请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度,列出函数关系式,并计算n=20时它们的厚度.结果一致吗?
2.预习课本95——98页,找出疑惑之处
※合作探究学习单※
例1假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:
每天回报40元;
方案二:
第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:
第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
变式训练
某市移动通讯公司开设了两种通讯业务:
全球通使用者先缴50元基础费,然后每通话1分钟付话费0.4元;神州行不交月基础费,每通话1分钟付话费0.6元,若设一个月内通话x分钟,两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元,那么
(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象;
(3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟,两种通讯业务费用相同;
(4)若某人预计一个月内使用话费200元,应选择哪种通讯业务较合算.
.
例2某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:
在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:
万元)随着利润x(单位:
万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:
y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?
变式训练
市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律:
该商品的价格每上涨x%(x>0),销售数量就减少kx%(其中k为正常数).目前,该商品定价为a元,统计其销售数量为b个.
(1)当k=
时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额达到最大?
(2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加时k的取值范围.
.
※巩固提升学习单※
1.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )
A.y=50xB.y=x50C.y=50xD.y=log50x(x∈N*)
2.某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设第二年有100只,则到第八年它们发展到( )
A.200只B.400只C.500只D.600只
3.某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是________.
4.为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式;
(2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜.
5.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如图所示).假设其关系为指数函数,并给出下列说法:
①此指数函数的底数为2;
②在第5个月时,野生水葫芦的面积就会超过30m2;
③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月;
④设野生水葫芦蔓延到2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3,则有t1+t2=t3;
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.
哪些说法是正确的?
6.光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为k,通过x块玻璃以后强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式;
(2)通过多少块玻璃以后,光线强度减弱到原来的
以下.(lg3≈0.4771).
3.2.1几类不同增长的函数模型
(2)
【使用说明】:
1.课前认真研读课本,完成自主研读学习单设计的问题..
2.课堂内限时完成合作探究学习单,书写规范.
3.找出疑问和不能独立解决的问题,通过合作探究、教师指导等方式解决.
4.课后认真完成反馈巩固学习单.
【学习目标】
借助信息技术,用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异.※自主研读学习单※
预习课本98—101页,思考如下问题
①在区间(0,+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.
②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.
③结合函数的图象找出其交点坐标.
④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x ⑤由以上问题你能得出怎样结论? ※合作探究学习单※ 例1某市的一家报刊摊点,从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元,卖出价是每份0.30元,卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里,有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大? 并计算他一个月最多可赚得多少元? 例2某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测: 服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y与t之间的函数关系式; (2)据测定: 每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药时间为上午7: 00,问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳? 变式训练 通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间: 讲座开始时,学生兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态;随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大,表示接受的能力愈强〕,x表示提出和讲授概念的时间(单位: 分),可有以下的公式: f(x)= (1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强? 能维持多长时间? (2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受能力何时强一些? ※巩固提升学习单※ 1.若x∈(0,1)则下列结论正确的是( ) A.2x>x >lgxB.2x>lgx>x C.x >2x>lgxD.lgx>x >2x 2.1992年底世界人口数达到54.8亿,若人口的年平均增长率为x%,设2010年底世界人口数为y(亿),那么y与x的函数解析式为( ) A.y=54.8(1+x%)^18B.y=54.8(1+x%)^19C.y=54.8(x%)^18D.y=54.8(x%)^19 3.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=1.06·(0.50×[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.1]=6),则从甲地到乙地通适时间为5.5分钟的通话费为( ) A.3.71B.3.97 C.4.24D.4.77 4.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则( ) A.a=bB.a>b C.a 5.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位: 小时,y表示病毒个数),则k=________,经过5小时,1个病毒能繁殖为________个. 6.某商品前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来的价格比较,变化情况是________. 7.某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题: (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式; (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(1.01210=1.127) 8.依法纳税是每个公民应尽的义务,国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的: 总收入不超过2000元的,免征个人工资、薪金所得税;超过2000元部分需征税,设全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为x,x=全月总收入-2000元,税率如表所示: 级数 全月应纳税所得额x 税率 1 不超过500元部分 5% 2 超过500元至2000元部分 10% 3 超过2000元至5000元部分 15% … … … 9 超过100000元部分 45% (1)若应纳税额为f(x),试用分段函数表示1~3级纳税额f(x)的计算公式; (2)某人2008年10月份工资总收入为4200元,试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元? 9.根据总的发展战略,第二阶段,我国工农业生产总值从2000年到2020年间要翻两番,问这20年间,每年平均增长率至少要多少,才能完成这一阶段构想? 3.2.2函数模型的应用实例 (1) 1.课前认真研读课本,完成自主研读学习单设计的问题.. 2.课堂内限时完成合作探究学习单,书写规范. 3.找出疑问和不能独立解决的问题,通过合作探究、教师指导等方式解决. 4.课后认真完成反馈巩固学习单. 【学习目标】 1.通过例题中汽车的行驶规律认识一次函数、分段函数的应用,提高读图能力。 2.通过马尔萨斯的人口增长模型学会指数函数的应用,了解函数模型在生活中的作用。 ※自主研读学习单※ 1.我已学习过的几种函数: (在横线上依次填出相应函数解析式) 一次函数,二次函数,指数函数, 对数函数,幂函数。 2.邮局规定,邮寄包裹,在5千克内每千克5元,超过5千克的超出部分按每千克3元 收费,邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____. 3.预习课本101—103页,找出疑惑之处 ※合作探究学习单※ 例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。 (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式,并作出相应图象。 例2.人口问题是当今世界各国普通关注的问题。 认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据。 早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型: ,其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率。 下表是1950~1959年我国的人口数据资料: (人数单位: 万人) 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001), 请用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符; (2)如果按此表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿? 归纳小结: 解函数的应用问题,一般地可按以下四步进行: 第一步: 阅读理解,认真审题; 第二步: 引进数学符号,建立数学模型; 第三步: 利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果; 第四步: 再转移成具体问题作出解答。 ※巩固提升学习单※ 1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( ) A.200副B.400副 C.600副D.800副 2.向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( ) 3.已知A、B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数,表达式是( ) A.x=60t B.x=60t+50t C.x= D.x= 4.某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10.4%,那么经过x年可增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为( ) 5.将进价为8元的商品,按10元一个销售,每天可卖出100个,若这种商品的销售价每个上涨1元,日销售量就减少10个,为了获得最大利润,此商品的销售价应为每个________元. 6.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比.药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y= t-a(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: (1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 ; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室. 7.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金增加50元时,未租出的车将会增加1辆。 租出的车每辆需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元。 (1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大? 最大月收益是多少元? 8.养鱼场中鱼群的最大养殖量为mt,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量yt和实际养殖量xt与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值; (3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围. 3.2.2函数模型的应用实例 (2) 【使用说明】: 1.课前认真研读课本,完成自主研读学习单设计的问题.. 2.课堂内限时完成合作探究学习单,书写规范. 3.找出疑问和不能独立解决的问题,通过合作探究、教师指导等方式解决. 4.课后认真完成反馈巩固学习单. 【学习目标】 在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题. ※自主研读学习单※ 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如表所示: 销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 思考1: 你能看出表中的数据有什么变化规律? 思考2: 假设每桶水在进价的基础上增加x元,则日均销售量为多少? 思考3: 假设日均销售利润为y元,那么y与x的关系如何? 思考4: 上述关系表明,日均销售利润y元是x的函数,那么这个函数的定义域是什么? 思考5: 这个经营部怎样定价才能获得最大利润? ※合作探究学习单※ 例1、某工厂现有80台机器,每台机器平均每天生产384件产品,现准备增加一批同类机器以提高生产总量,在试生产中发现,由于其他生产条件没变,因此每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产4件产品. (1)如果增加x台机器,每天的生产总量为y件,请你写出y与x之间的关系式; (2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大? 最大生产总量是多少? 点评: 二次函数模型是现实生活中最常见数学模型. 例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身高∕cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重∕kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)根据上表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系? 试写出这个函数模型的解析式. (2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常? 变式训练 九十年代,政府间气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出: 使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测,1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系,模拟函数可选用二次函数或函数y=a·bx+c(其中a、b、c为常数),且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好? ※巩固提升学习单※ 1.某商店某种商品进货价为每件40元,当售价为50元时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则该商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售商品的月利润最高,应将该商品每件定价为( ) A.70元B.65元 C.60元D.55元 2.今有一组实验数据如表所示: t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则最佳体现这些数据关系的函数模型是( ) A.u=log2tB.u=2t-2 C.u= D.u=2t-2 3.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价,该地区的电网销售电价表如下: 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时,低谷时间段用电量为100千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答). 4.商场销售某一品牌的豆浆机,购买人数是豆浆机标价的一次函数,标价越高,购买人数越少,把购买人数为零时的最低标价称为无效价格,已知无效价格为每台300元.现在这种豆浆机的成本价是100元/台,商场以高于成本价的相同价格(标价)出售.问: (1)商场要获取最大利润,豆浆机的标价应定为每台多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的75%,那么豆浆机的标价应为每台多少元?
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