121平面的基本性质与推论.docx
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121平面的基本性质与推论
1.2.1平面的基本性质与推论
背景知识激趣
世界上最早的几何学论著
墨翟生活在孔子之后孟子之前的春秋战国之交的时代,他一方面从事生产劳动,另一方面,他刻苦学习,勤于思考,在当时的社会上享有很高的学术威望.墨翟与当时一些志同道合者以及他的学生组成了墨子学派,他成为墨子学派的代表人物。
因此,墨翟也被称为墨子,墨子学派在当时发表了许多学术观点,这些观点都用竹简记录下来,成为墨子学派的代表作———《墨经》。
《墨经》成书的时代比著名的欧几里德《原本》早,其中记录了许多有关几何的论述,可以说,《墨经》是世界上最早的几何学论著。
让我们来看看《墨经》中有关几何的例子,通过这些例子,可以看出《墨经》中对几何学的见解是多么高明与精辟!
《经上》“平,同高也”,用现在的话说,就是“所谓平行线(或面),是两条(个)在每一处距离(高)都相等的直线(或平面)”,平面几何中有“平行线间的距离处处相等”就是所谓的“同高”。
《经上》“直,参也”,用现在的话说,就是“直线,通过三点”,古字参通叁,换句话说就是“三点在同一条直线上”。
《经上》“圜,一中同长也”,用现在的话说,就是“圆(或球),有一个中心,且每一点到这个中心的距离相等”。
《经上》“中,同长也”,用现在的话说,就是“线段的中点到线段两端的距离相等”。
以上仅举数例,可以看出《墨经》中的有关几何论述几乎同现代几何学观点一样。
课程学习目标
[课程目标]
目标重点:
平面的基本性质与推论以及他们的应用.
目标难点:
文字语言、数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用.
[学法关键]
本节的学习要注意正确地作图,恰当地作图有利于培养同学们的空间想象能力,在平面几何中,辅助线一般要画成虚线.而立体几何中则不同,一般是将看不见的线画成虚线,与它是否是辅助线无关"
研习教材重难点
研习点1.平面的基本性质:
1.公理1:
①文字语言:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在
这个平面内;
②图形语言:
③符号语言:
A∈l;B∈l,A∈α,B∈α,
AB
α.
公理1的作用有两个:
(1)作为判断和证明直线是否在平面内的依据,在学习公理1之前,判断直线是否在平面内,要看直线上所有的点是否在平面内,公理1则简化了判断证明过程,只需要看是否有两个点在平面内就可以了;
(2)公理1可以用来检验某一个面是否为平面,检验的方法为:
把一条直线在面内旋转,固定两个点在面内后,如果其他点也在面内,则该面为平面。
【联想·质疑】
如何理解公理1?
1.公理1研究直线和平面的关系,它既可以用于判定直线是否在平面内,又可以用于检验平面是否经过直线,也是画两个平面的依据。
2.公理1的条件是“线上两点在平面内”,它是公理1的必需条件,结论是“线上所有点都在平面内;
3.从集合的角度看,这个公理就是说,如果一条直线(点集)中有两个元素(点)属于一个平面(点集),那么这条直线就是这个平面的真子集。
这个结论阐述两个观点,一是整个直线在平面内,二是直线上所有点都在平面内。
2.公理2:
①文字语言:
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面,也可以说成不共线的三点确定一个平面。
②图形语言:
③符号语言:
A、B、C三点不共线
有且只有一个平面α,使得A∈α,B∈α,C∈α
【推广·引申】
不共线的三点确定平面,那么两点呢?
不共线的四点呢,更多的点呢?
过两点的平面显然有无数个,而不共线的四点则可能确定一个平面(如矩形四个顶
点),也可能不在同一个平面内,如空间四边形四个顶点,更多的点也同四个点的情况一样,因此公理2中要突出“不共线”和“三点”.
公理2主要有下面一些作用:
(1)说明过不共线三点存在平面.
(2)说明过不共线的三点只有一个平面.(3)判断三点是否共线.(4)判断一个图形是否为平面图形.
实际生活中经常应用公理2解决一些问题,比如房门一般用两个门纽和一把锁固定等.
【联想·质疑】
如何理解公理2?
1.公理2是确定平面的条件,也是证明两个平面重合的依据.
2.确定平面的条件是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件,也为证明直线共面问题提供了依据.
3.深刻理解“有且只有”的含义,这里的“有”是说平面存在,“只有”是说平面惟一,
“有且只有”强调平面存在并且惟一这两方面.
3.公理3:
①文字语言:
如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
②图形语言:
③符号语言:
P∈(α∩β)
α∩β=l,P∈l.
【联想·质疑】
如何理解公理3?
1.公理3反映了平面与平面的位置关系,只要“两面共一点”,就有“两面共一线,且过这一点,线惟一”.
2.从集合的角度看,对于不重合的两个平面,只要他们有公共点,它们就是相交的位置关系,交集是一条直线.
3.公理3的作用其一判定两个平面是否相交,其二可以判定点在直线上.点是某两个平面的公共点,线是这两个平面的公共交线,则这点在线上,因此它还是证明点共线或线共点,并且作为画截面的依据.
研习点2.平面基本性质的推论
(1)推论1:
经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面.
(2)推论2:
经过两条相交直线,有且只有一个平面.
(3)推论3:
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
【联想·发散】
推论的图形与符号表示
推论1:
图形语言:
符号语言:
a是任意一条直线
a与A共属于平面α且平面α惟一
点A
a
推论2:
图形语言:
符号语言:
a是任意一条直线
b是任意一条直线
a,b共面于平面α,且α是惟一的
a∩b=A
推论3:
图形语言:
符号语言:
a、b是两条直线且a//b、
a,b共面于α,且α是惟一的.
公理2及三个推论是确定平面的条件
研习点3直线和平面位置关系的符号表示
1.共面的定义:
如果空间中的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面.
2.直线和平面位置关系的符号表示.
(1)点A在平面α内,记作A∈α,点B不在平面α内,记作B
α,
(2)直线l在平面α内,记作l
α,直线m不在平面α内,记作m
α,
(3)平面α与平面β相交于直线l,记作α∩β=l,
(4)直线l和m相交于点A,记作l∩m={A},简记为l∩m=A..
探究解题新思路
基础拓展型
题型1.数学语言的互译问题
例1.如图,平面ABEF记作α,平面ABCD记作β,根据图形填写:
(1)A∈α,Bα,Eα,Cα,Dα;
(2)A∈β,Bβ,Cβ,Dβ,Eβ,Fβ;
(3)α∩β=;
(4)ABα,ABβ,CDα,CDβ,AEα,AEβ
【探究】首先读懂题目中给出的几何图形,然后依据图形进行判断填写。
解:
(1)A∈α,B∈α,E∈α,C
α,D
α;
(2)A∈β,B∈β,C∈β,D∈β,E
β,F
β;
(3)α∩β=AB;
(4)AB
α,AB
β,CD
α,CD
β,AE
α,AE
β
【反思·领悟】
符号语言比较简洁,严谨,可大大缩短文字语言表达的长度,有利于推理、计算’图形语言形象直观地反映了图形间的关系,要求能够正确地使用点、直线、平面之间的关系的符号语言
1.用符号语言表示下列语句,并画成图形。
(1)直线l经过平面α内两点A、B;
(2)直线l在平面α外,且过平面α内一点P;
(3)直线l在平面α内,又在平面β内;
(4)直线l是平面α与β的交线,平面α内有一条直线m与l平行
小结:
文字语言比较自然、生动,它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来,我们教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述’图形语言,易引起清晰的视觉形象,它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系,在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用。
各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便,有利于培养我们思维的广阔性。
题型2考查平面的基本性质
1.公理1的应用
例2.如图中△ABC,若AB、BC在平面α内,判断AC是否在平面α内?
【探究】此题主要是考查公理1的理解及应用
【研析】∵AB在平面α内,∴A点一定在平面α内,又BC在平面α内,∴C点一定在平面α内,(点A、点C都在平面α内,)直线AC在平面α内(公理1).
【反思·领悟】
公理1可以用作判断直线是否在平面内的依据,注意公理的条件和结论分别是什么,便于判断.
2.如果一条直线过平面内一点与平面外一点,那么它和这个平面有几个公共点?
说明
道理.
解:
这条直线和这个平面只有一个公共点,假如这条直线和这个平面有两个公共点,根据公理1可得,这条直线上所有的点都在这个平面内。
推得这条直线过平面外的一点也在这个平面内,这与已知矛盾。
这说明直线与这个平面有两个公共点是不可能的,所以,这条直线与这个平面只有一个公共点。
2.公理2及推论的应用:
例3.为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚?
【探究】考虑到稳定性,联系公理2进行分析.
【研析】根据公理2知道:
不共线三点可以确定一个平面.我们把自行车的前后轮看作是两个点,因此,只需要在自行车旁安装一只撑脚作为第三个点,由这不共线的三点可以确定一个平面.因此,自行车只安装一只撑脚就可以
3.
(1)不共面的四点可以确定几个平面?
(2)三条直线两两平行,但不共面,它们可以确定几个平面?
(3)共点的三条直线可以确定几个平面?
3.公理3的应用:
例4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为CC1和AA1上的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线’
【探究】可根据公理3,如果两个平面有一个公共点,它们就有过这点的一条交线,也只有这一条交线;这条直线的位置还需借助于另一个条件来确定’
【研析】在平面AA1D1D内,延长D1F,∵D1F与DA不平行,因此D1F与DA必相交于一点,设为P,则P∈D1F,P∈DA又∵D1F
平面AA1D1D,P在平面AA1D1D内,AD
平面ABCD,P∈平面ABCD,又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,∴连结PB,PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.
【反思·领悟】
公理3是两个平面相交的性质,它说明两个平面相交,交线是一条直线.要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形,如果有一个公共点,那么必定有无数多个公共点,且这些点恰好组成一条直线.同时要注意,找到两个平面的一个公共点,交线的具体位置还无法判定,只有找到两个公共点,才能确定这两个平面的交线.这是作几何体截面时确定交线经常用到的方法.
4.平面α、β的公共点多于2个,则(C)
(A)α、β可能只有2个公共点
(B)α、β可能有无数个公共点,但这无数个公共点有可能不在同一直线上
(C)α、β一定有无数个公共点
(D)除选项A、B、C外还有其他可能
小结!
解决此类题首先要理解、掌握好平面的基本性质(即三个公理和三个推论).在判断的过程中,若要说明命题不正确,只要举出一个反例即可,而要说明命题正确,则要给出证明.
题型3证明共面问题
例5.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.
已知:
如图所示,直线l1,l2,l3,l4两两相交且不共点,求证:
直线l1,l2,l3,l4在同一平面内。
【探究】根据公理2及三个推论,可先证明其中两条直线确定一个平面α,然后证明其他直线也在平面α内.
证明:
直线l1和l2相交,∴由推论2知l1与l2确定一个平面α,又直线l3与l1,l2都相交,不妨设l1交l3于点,l2交l3于点D,则C∈α,D∈α,C∈l3,D∈l3,由公理1知CD
α,同理,直线l4
α,直线l1,l2,l3,l4在同一平面内.
【反思·领悟】
本题着重考查了平面的基本性质和证明直线共面的常用方法.在证明多线共面的时候,我们所采用的方法是先证明两条相交直线或平行直线确定一个平面,然后证明其他的直线也在这个平面内
5.求证:
两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.
已知:
a//b//c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C,
求证:
直线a、b、c和l共面.
题型4证明多点共线问题
例6如图所示,已知△ABC的三个顶点都不在平面α内,它的三边AB、BC、AC延长线后分别交平面α于点P、Q、R,
求证:
点P、Q、R在同一条直线上.
【探究】要证三点共线,可考虑证明这三个点是两个相交平面的公共点.
证明:
由已知AB的延长线交平面α于点P,根据公理2,平面
ABC与平面α必相交于一条直线,设为l,
∵P∈直线AB,P∈面ABC,又直线AB∩面α=A,∴P∈面α,∴P是面ABC与面α的公共点,∵面ABC∩面α=l,∴P∈l,同理,Q∈l,R∈l,∴点P、Q、R在同一条直线l上.
【反思·领悟】
本题主要考查诸点共线的证明方法,即转化为平面相交的问题,要求先由两点确定
直线,再判断其他点在该直线上
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于Q,求证:
B、Q、D1三点共线’
小结!
证明三点共线通常采用如下方法:
方法1.是首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理2可知,这些点都在交线上.
方法2.是选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点在该直线上.
题型5.证明多线共点问题
例7.三个平面两两相交得到三条交线,如果其中有两条相交于一点,那么第三条也经过这个点.
已知:
如图所示,平面α,β,γ满足α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∩b=A,
求证:
A∈c.
【探究】要证明某一点在直线上,只需证明这个点是确定这条直线的两个相交平面的公共点.
证明:
∵a∩b=A,∴A∈a,a
α,∴A∈α,又A∈b,b
γ,∴A∈γ,∴A在α与γ的交线c上,即A∈c.
【反思·领悟】
本题给出了三面共点和三点共面问题的一般证明方法%可以转化为这几个点是两个平面的公共点,也就是先由两点确定一条直线,再判断其他点在直线上,但是切记要先找出两个平面的交线
7.若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在的平面相交,并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O,
求证:
(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内;
(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交,那么交点在同一条直线上.
小结:
证明三线共点的思路是:
先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题划归到证明点在直线上的问题,而思路往往是利用公理),即先证两直线的交点在两个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线.
【教考动向·演练】
1.下列命题中正确的是(D)
(A)经过三点确定一个平面
(B)经过一条直线和一个点确定一个平面
(C)经过两条直线确定一个平面
(D)两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
2.下面给出了四个条件:
①空间三点;②一条直线和一个点;③和直线l都相交的两条直线;④两两相交的三条直线,其中,能确定一个平面的条件有(A)
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
3.判断下列命题是否正确,并说明理由
(1)一个平面的面积是2cm2;
(2)平面内的一条线段把这个平面分成两部分;
(3)两个平面α和β是可能有且只有一个公共点的;
(4)四边形一定是平面图形;
(5)同一平面内不重合的两条直线最多有一个交点;
(6)如果一条直线a在平面α外,那么这条直线与平面是没有公共点的。
只有(5)正确
4.用符号表示下列语句:
(1)直线l经过平面α内的两点A、B;
(2)直线l在平面α外,且过平面α内一点P;
(3)直线l在平面α内,又在平面β内;
(4)直线l是平面α与β的交线,平面α内一条直线m与l平行.
综合创新型
题型1创新应用题
例1.已知a、b、c、d是两两平行的四条直线,
试求由a、b、c、d四条直线确定的平面的个数.
【探究】应分三种情况进行讨论:
四条直线共面;四条直线不共面,但四线中存在三线共面;.四线中无三线共面的情况.然后再利用推论3进行求解.
【研析】①当这四条两两平行的直线共面时,仅确定一个平面;
②当这四条两两平行的直线中存在着三条直线共面,而第四条直线不共面时,不妨设a、b、c共面,而d分别与a、b、c各确定一个平面,再加上由a、b、c确定的平面,共可确定四个平面;
③当这四条两两平行的直线中无三线共面时,a与b,a与c,a与d,b与c,b与d,c与d分别为六对平行线,可确定六个平面.
即四条两两平行的直线确定的平面情况有三种:
一个、四个或六个.
【反思·领悟】
此类题首先分清共有几类确定平面的元素,然后根据公理2及其三个推论逐一进行判断,必要时可以合理地应用组合的方法,在运用公理2及其推论去思考时要进行积极地空间想象.确定平面的个数时,要充分考虑到确定平面的点或线出现的所有可能的位置,不能只想到一种位置或某些特殊位置
8.三个平面可以把空间分成几部分?
题型2开放探究题
例9.已知P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1、CC1,DD1上,试画出过P、Q、R三点的截面.
【探究】根据题目中给出的条件画出符合要求的截面.
【研析】
(1)连结QP、QR并延长,分别交CB、CD的延长线于E、F,
(2)连结E、F交AB于T,交AD于S,
(3)连结RS、TP,则多边形PQRST即为所求截面.
【反思·领悟】
根据题目中给出的条件画出符合要求的截面,需要添加辅助线,利用确定平面的公理作出符合题意的截面,在作出截面的同时,注意截面要截整个多面体,应画出与多面体的交线
9.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l,
(1)画出直线l的位置;
(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.
题型3.综合渗透题
例10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB中点,F为AA1的中点,求证:
(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
【探究】要证E、C、D1、F四点共面,实际上就是寻求过这四点的平面.
【研析】
(1)分别连结EF、A1B、D1C,E、F分别是AB和AA1的中点,
∴EF//A1B且EF=
A1B又A1D1
B1C1
BC,
∴四边形A1D1CB是平行四边形,∴A1B//CD1,从而EF//CD1,由推论3,EF与CD1确定一个平面,即E、C、D1、F四点共面.
(2)∵EF//CD1,且EF=
CD1,∴直线D1F和CE必相交,设D1F∩CE=P,
∵D1F
平面AA1D1D,P∈D1F,∴P∈平面AA1D1D,
又CE
平面ABCD,P∈CE,∴P∈平面ABCD,
即P是平面AA1D1D与平面ABCD的公共点)
而平面ABCD∩平面AA1D1D=AD,∴P∈AD(公理2)
∴CE、D1F、DA三线共点.
【反思·领悟】
本题考查平面的基本性质和逻辑推理论证能力,证明若干点或若干线共面,通常有两种途径:
第一种途径是先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内;第二种途径是由全体元素确定若干个平面,再证这些平面重合"本题中(%)就是采用第一种途径,这类问题的关键是恰当运用确定平面的条件.
10.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∩B1D1=O,B1D∩平面A1BC1=P.
求证:
(1)P∈B1O;
(2)B1D被平面A1BC1截于三等分点.
【教考动向·演练】
5.有空间四点A、B、C、D,若四个点不共线,则经过其中三个点的平面有(C)
(A)一个或两个(B)一个或三个(C)一个或四个(D)两个或三个
6.若直线上有两个点在平面外,则(D)
(A)直线上至少有一个点在平面内(B)直线上有无穷多个点在平面内
(C)直线上所有点都在平面外(D)直线上至多有一个点在平面内
7.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且
C
l,则平面ABC与平面α的交线为(B)
(A)直线AC(B)直线AB
(C)直线CD(D)直线BD
8.有以下三个命题:
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;②直线l在平面α内,可以用符号l
α表示;③若平面α内的一条直线l与平面β内的一条直线相交,则α与β相交。
其中所有正确命题的序号是①②。
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- 121 平面 基本 性质 推论