滕州市西岗中学杨秋莉《配方法2》.docx
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滕州市西岗中学杨秋莉《配方法2》
课题:
2.2配方法
(二)
课型:
新授课
授课人:
杨秋莉
授课时间:
2013年9月23日
教学目标
①经历配方法解一元二次方程的过程,获得解二元一次方程的基本技能;
②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想;
③能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.
教学重点、难点
重点:
会用配方法解数字系数不为1的一元二次方程.
难点:
熟练进行配方,掌握配方法解一元二次方程的步骤.
学情分析
初二上学期,学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式,在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程,这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础,并且学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程,已经体会到其中转化的思想方法,这些都成为完成本课任务的活动经验基础.
教、学法分析
教法
我采用了引导探索法,启发、引导、点拔、评价整个探索学习的过程充满了师生之间,生生之间的交流和互动,体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者,学生才是数学学习的主人.我利用课件辅助教学,适时呈现问题情景,以丰富学生的感性认识,增强直观效果,提高课堂效率.
学法
利用学生的好奇心设疑、解疑,组织互动、有效的教学活动,鼓动学生积极参与,大胆猜想,使学生在自主探索和合作交流中,观察猜测交流讨论分析推理归纳总结,理解和掌握本节课的内容.
教学过程
第一环节复习回顾
师:
上节课我们学习了一元二次方程的解法,现在请同学们说一下如何解一元二次方程?
生:
(踊跃举手、积极参与)直接开平方法,配方法.
师:
如何在具体题目中选择合适的方法呢?
生:
如果方程本身就是平方的形式(x2或(x+m)2,就选择直接开平方法.
师:
很好!
那如果不是平方形式呢?
生:
配成完全平方式,再用开平方.当二次项系数为1时,方程两边加一次项系数一半的平方,就可以配成完全平方式.
师:
非常好!
回答的很全面,将配方法的方法也进行了说明.
师:
直接开平方法也好,配方法也好,只要是平方形式,就可以开方吗?
生:
当然不是,方程的右边必须是非负数形式.
师:
看来大家上节课的知识掌握很好.下面通过练习再来检验一下.(课件展示)
填空:
(口答)将下列的多项式配成完全平方的形式
1.x2+2x+________=(x+______)2
2.x2-4x+________=(x-______)2
3.x2+________+36=(x+______)2
4.x2+10x+________=(x+______)2
5.x2-x+________=(x-______)2
6.x2+px+_______=(x-_____)2
生:
口答.能理解当二次项系数为1时,左边填写的是“一次项系数一半的平方”,右边填写的是“一次项系数的一半”.
设计意图:
复习完全平方公式,体会完全平方式中,当二次项系数为1时,常数项和一次项系数之间的关系.能理解当二次项系数为1时,左边填写的是“一次项系数一半的平方”,右边填写的是“一次项系数的一半”.学生对这五个口答题的积极抢答,调动了各自的思维,进入了积极学习的状态.
师:
(课件展示)下面大家动手解下列方程:
(1)x2-8x+7=0
(2)x2+4x+1=0
生:
独立完成
师:
巡视.选两个同学解题过程进行展示.
解:
(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0(x-4)2=9
x-4=±3即x1=7,x2=1
(2)x2+4x=-1x2+4x+22=-1+22
(x+2)2=3即x+2=±
x1=
-2,x2=-
-2
师点评:
对二次项系数是1的一元二次方程,不可以直接开方降次解方程的问题,那么可以通过配方法将其左边配成含有x的完全平方形式,右边是非负数进行解题.
设计意图:
回顾配方法的基本步骤,为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础.教学中为了便于学生回顾,可以通过举例的形式,帮助学生回顾并整理步骤.
例如,x2-6x-40=0
移项,得x2-6x=40
方程两边都加上32(一次项系数一半的平方),得
x2-6x+32=40+32
即(x-3)2=49
开平方,得x-3=±7
即x-3=7或x-3=-7
所以x1=10,x2=-4
设计意图:
通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路,,学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤,掌握了每一步的理论依据.增强了解题的信心,达到预期的目的.
第二环节:
提出问题探究新知
探究活动一请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别
1.x2+6x+8=0
2.3x2+18x+24=0
生:
方程2的二次项的系数不为1,但可以两边除以3,转化成类似于方程1式的方程.
设计意图:
第二部分的两个习题之间的区别是方程2的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式,联系是当方程两边同时除以3以后,这两个方程式同解方程.学生们作了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路。
实际效果:
比较两个方程系数之间的区别与联系,学生们发现二次项系数为1仅是方程中的一小部分,怎样将其它类型的方程转化成这类方程非常关键,这个比较也点明了转化的方向和思路,为后续解这个方程做好了充分的铺垫,学生解决它已是轻车熟路的事情.
师:
对于方程1我们可以通过直接配方就可以求解,对于类似于方程2的方程该如何解决呢?
下面我们将探讨类似方程2的解法.
第三环节:
讲授新课
师:
请大家探讨一下如何解方程3x2+8x-3=0
生:
以小组为单位进行探讨,互相交流做法,探讨有结果的小组开始完成解题过程.
师:
巡视.对有困难的的小组进行指导.
师:
刚才看到7组的同学讨论比较激烈,而且很快得到了解题思路,咱听一听他们的思路.派个代表来说一说.
生1:
我们先将二次项系数化为1,方程两边都除以3,然后再进行配方解方程.只是计算量要比上节课大.
师:
分析得很好!
能不能到黑板上板书一下?
生1:
可以!
(板演)
例2解方程3x2+8x-3=0
解:
方程两边都除以3,得
移项,得
配方,得
即
师:
我们大家共同来看一下这位同学大胆的展示,你理解吗?
生:
共同观察,抓住解题的思想及解题思路.
师:
有问题或疑问吗?
生2:
我是先移项,再二次项系数化为1的,可以吗
师:
提的问题很好,我问你你求的答案和他一样吗?
生2:
一样!
师:
很好!
那就是说这两步没实质上的区别,可以先移项,再二次项系数化1,也可以先二次项系数化1,再移项.一般先二次项系数化1.这是避免移项后,再系数化1,方程左边的项易漏除二次项系数.
生:
点头.
师:
大家通过这道题有什么感受?
生3:
我感觉和昨天所学就多一步,二次项系数化1,其他都一样.
生4:
配方时,两边仍然加一次项系数的一半,但有时涉及分数的计算,容易错.
师:
大家说的都很好,这两位同学将这类题的关键都说了出来,以后还要靠大家多加练习,巩固这种求解方法.
设计意图:
通过对例2的讲解,继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,关键是将方程转化成(x+m)2=n(n≥0)形式,特别强调当一次项系数为分数时,所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方,理解这样做的原理,树立解题的信心.另外,得到
后,在移项得到
要注意符号问题,这一步在计算过程中容易出错.
师:
我们在通过两个练习在巩固以下刚才的解题思路.(课件展示)
解方程:
①2x2-4x-1=0②2x2+6=7x
生:
动手解方程.选配4名学生板演.
师:
巡视.对有困难的学生给与指导,并积累各种易错点集中展示.
展示错例
错例1:
2x2-4x-1=0错例2:
2x2-4x-1=0
解:
移项,得:
2x2-4x=1解:
移项,得:
2x2-4x=1
系数化为1,得:
x2-2x=1二次项系数系数化为1,得:
x2-2x=
…配方,得:
x2-2x+1=
…
错例3:
2x2+6=7x错例4:
2x2+6=7x
解:
移项得,2x2-7x=6解:
移项得,2x2-7x=-6
…变形为:
x2-
x=-3
配方,得:
x2-
x+
=-3+
…
生:
分析,一一指出错误所在.
……
师:
希望通过刚才的展示,可以给大家敲醒警钟,不要犯类似的错误.
师:
将正确的解题过程进行展示.
(实物展示)
解方程:
2x2-4x-1=0
解:
移项,得:
2x2-4x=1
二次项系数系数化为1,得:
x2-2x=
配方,得:
x2-2x+1=
即(x-1)2=
x-1=
∴x1=1
x2=1
解方程:
2x2+6=7x
解:
移项得,2x2-7x=-6
变形为:
x2-
x=-3
配方,得:
x2-
x+
=-3+
即(x-
)2=
开方得:
x-
=±
∴x1=2,x2=
设计意图:
通过练习,不但学生可以巩固用配方法解一元二次方程的方法和步骤,也为下面的总结再次提供依据.
师:
大家总结一下用配方法解一元二次方程的步骤?
生:
以小组为单位讨论,总结.
生5:
我们觉得应该有以下几个关键步骤:
1.化1:
把二次项系数化为1;
2.移项:
把常数项移到方程的右边;
3.配方:
方程两边都加上一次项系数一半的平方;
4.变形:
方程左边分解因式,右边合并同类项;
5.开方:
方程两边开平方;
6.求解:
解一元一次方程;
7.定解:
写出原方程的解
师:
非常好!
总结得很到位,掌声鼓励一下!
生:
鼓掌!
师:
以后我们就按以上7个步骤进行配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
实际效果:
经过这一环节,学生对配方法的特点有了深入的了解,通过例题的处理,进一步把握了配方法的基本思路,熟悉了其步骤.
第四环节应用提高形成技能
师:
既然我们已经总结出用配方法解一元二次方程的一般步骤,那能不能利用所学知识解决问题呢?
课件展示
做一做:
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系:
h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度?
生:
读题,独立思考,解决问题,个别小组在讨论解决.
生:
展示
解:
根据题意得15t-5t2=10
方程两边都除以-5,得
t2-3t=-2
配方,得
即
开方得,
∴
答:
小球在抛出去1秒或2秒时,高度到达10米.
设计意图:
在前边学习的基础上,通过本练习进一步提高学生分析问题,解决问题的能力,帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用,也为后续学习做好铺垫.
实际效果:
大部分学生通过独立思考,根据题意很快列出了方程,解方程的过程比较顺畅,最终得到两个时间t的值分别为1和2,根据实际情景怎样理解这两个时间呢?
这就是很好的数学应用,体现数学的价值,很多学生能想象出当时间为1秒时,小球上升到离出发点10米的地方,当时间为2秒钟时,小球是处于下降状态,离出发点也是10米,激发了学生学习数学的热情.
第五环节练习与提高
师:
课件展示课本习题2.4第1题
印度古算术中有这样一首诗:
“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数有多少,两队猴子在一起?
大意是说:
一群猴子分两队,一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是12,那么猴子的总数是多少?
请同学们解决这个问题.
解:
可设猴子的总数是x,由题意可得
+12=x
解得x1=16x2=
48
答:
这群猴子可能是16只,也可能是48只.
设计意图:
这个题目和例题类似,都体现了数学的应用价值,目的在于对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力、数学建模能力.
实际效果:
这个题中的等量关系不易发现,课堂上,我给学生们适当的空间,培养学生独立思考的习惯,然后鼓励思维敏捷的同学展示自己的思路,用学生的语言带动学生们学习.
第六环节课堂小结
师:
这节课你有什么收获?
生1:
知道了用配方法解一元二次方程的基本步骤;
生2:
利用一元二次方程解决实际问题的思路,对于结果的理解,要注意解的合理性.
生3:
可以将新知识转化已学过的知识,也就是转化的思想.
……
设计意图:
鼓励学生结合本节课的学习,谈自己的收获与感想,培养学生总结归纳问题的能力及语言表达能力,同时了解学生对本节知识点掌握情况.
实际效果:
学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获,掌握了配方法的基本思路和过程.
第七环节布置作业
(必做)
(1)课本53页习题2.4第2题;
(选做)⑵一个人的血压与其年龄及性别有关,对女性来说,正常的收缩压p(毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系:
p=0.01x2+0.05x+107.如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱,那么她的年龄大概是多少?
(课外拓展)(3)有能力的同学请课余时间用配方法交流探究方程:
ax2+bx+c=0(a≠0)的解法.
设计意图:
布置分层作业,既可巩固本节课的主要内容,了解和检查学生对本节课内容的掌握程度,同时让学有能力的学生有思考和提升的空间,有利于不同层次的学生都能得到很好的发展.
第八环节当堂评价自我反馈
一、选择题
1.配方法解方程2x2-
x-2=0应把它先变形为().
A.(x-
)2=
B.(x-
)2=0C.(x-
)2=
D.(x-
)2=
(选做)2.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是().
A.1B.2C.-1D.-2
二、填空题
1.如果x2+4x-5=0,则x=_______
(选做)2.无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数.
3.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是________.
三、综合提高题
1.用配方法解方程.
(1)9y2-18y-4=0
(2)x2+3=2
x
(选做)2.已知:
x2+4x+y2-6y+13=0,求
的值.
3.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件.
①若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价多少元?
②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?
请你设计销售方案.
设计意图:
通过本环节的达标练习,进一步加强学生用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程,并能利用方程解决实际问题,培养学生的解题及利用方程模型解决实际问题能力.重点在于使学生掌握配方法解一元二次方程,体会转化的思想.
第九环节板书设计
§2.2配方法
(2)
一、配方法解二次项系数不为1的一元二次方程步骤:
1.化1:
2.移项:
3.配方:
4.变形:
5.开方:
6.求解:
7.定解:
例题:
解方程3x2+8x-3=0
学生板书区
教学反思
1.创造性的使用了教材
这节课作为配方的第二节主要是以习题训练为重点,所以我依照书上的例题为重点展示了解方程的基本步骤,另外,添加了辅助性的3个习题;将书上的做一做转化成一个例题,让学生体会利用一元二次方程解决问题的感受;另在作业中配套了一道血压方面的数学问题,学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关.
2.注意改进的方面
基础较好的学生对于基础性的计算比较快,与此同时,班级中的有7—8名学生对于数据计算有懒惰的思想,速度慢,时间长,如果不能及时解决,这部分学生将落队,或者整节课堂冗长无味,因此如何调控教学进度成为教学中的一个难点.我的办法是老师准备好几个不同层次的习题,当大部分学生做完后,可以为他们提供更高层次的习题,继续引领他们的思维前进,而加强对基础薄弱的同学动手动脑的监督.
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