微分几何复习.docx
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微分几何复习
一、填空题
1.曲线x=cost,y=sint,z=t在t=0处的切线方程是__________。
2.曲面上曲线的弧长,交角,曲面域的面积等都是__________不变量。
3.若点(u0,v0)为曲面的正常点,则
在(u0,v0)满足__________。
4.两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的__________。
5.若向量函数
满足
,则
具有固定的__________.
6.曲线
的正常点是指满足__________的点.
7.椭圆点对应的杜邦指标线是椭圆,双曲点对应的是一对共轭双曲线,抛物点对应的是__________ .
8.平均曲率H=0的曲面称为__________ 曲面.
9.曲面上的直线必是__________曲线.
10.向量函数
具有固定方向的充要条件是 .
11.曲线的主法向量的正向总是指向 .
12.在曲面上圆点,其第一、第二类基本量满足关系 .
13.曲面三个基本形式之间有关系式 .
14.曲线
的曲率定义是_____________。
15.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_____________。
16.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是_____________。
17.曲线
={t3-t2-t,t2-2t+2,2}上的点不是正常点的是t=_____________。
18.曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是_____________。
19.极小曲面是指_____________的曲面。
20.向量函数
具有固定长的充要条件是_____________。
21.曲线
的挠率是_____________。
22.曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件_____________。
23.向量函数
平行于固定平面的充要条件是_____________.
24.以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,_____________,平点.
25.曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的_____________的最大值和最小值.
26.球面
={acosvcosu,acosvsinu,asinv}的坐标曲线就是_____________。
27.曲面上曲纹坐标网是正交网的充要条件是_____________。
28.两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是_____________。
29.在曲面的椭圆点处,高斯曲率_____________。
(这个空填符号,即填“大于零”、“等于零”、“小于零”)
30.一般螺线的曲率和挠率的关系是_______。
31.曲面上曲线的交角作为曲面的内蕴量是_______参数变换下的不变量。
32.曲面域的面积作为曲面的内蕴量是_____参数变换下的不变量。
33.设曲面在点P处有两个同号的主曲率,则按高斯曲率的符号分类,此点是曲面的_____。
34.曲面的曲纹坐标网是渐近网的充分必要条件是_____。
35.法曲率的最大值和最小值正好是曲面的_____曲率,使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的_____方向.
36.距离单位球面球心距离为d(0 37.曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 ,坐标曲线网成为曲率线网 的充要条件是 . 38.曲率为0的曲线是______________,挠率为0的曲线是______________________. 39.半径为R的圆的曲率为___________,半径为R的球面的法曲率为____________. 40.曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________,坐标曲线网成为曲率线网 的充要条件是___________________. 41.圆柱面的高斯曲率为___________,极小曲面的平均曲率为____________. 42.在脐点处曲面的第一,第二类基本量满足____________________,把第二类基本 量L=M=N=0的脐点称为____________. 43.法曲率的最大值和最小值正好是_____________,使法曲率达到最大值和最小值 的方向是________________方向. 二、单项选择题 1.下面各量中,不是内蕴量的是( ) A.曲面上曲线的曲率 B.曲面上曲线的测地曲率 C.曲面上测地三角形的内角和 D.曲面的高斯曲率 3.曲面上一点处的两个主方向之间的夹角θ为( ) 4.等距等价的两曲面上,对应曲线在对应点具有相同的( ) A.曲率 B.挠率 C.法曲率 D.测地曲率 5.过空间曲线C上点P(非逗留点)的切线和P点的邻近点Q的平面π,当Q沿曲线C趋于点P时,平面π的极限位置称为曲线C在P点的 ( ) A.法平面 B.密切平面 C.从切平面 D.不存在 6.曲率和挠率均为非零常数的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.圆柱螺线 D.平面曲线 7.下面关于曲面上主方向的说法,不正确的一项是( ) A.脐点处,任何方向都是主方向 B.非脐点处,主方向垂直 C.脐点处,无主方向 D.非脐点处,有且仅有两个主方向 8.下面各量中,不是内蕴量的是( ) A.曲面上曲线的曲率 B.曲面域的面积 C.曲线的弧长 D.高斯曲率 9.下面说法不正确的是( ) A.等距变换一定是保角变换 B.保角变换一定是等距变换 C.平面与圆柱面成等距对应 D.平面与除去北极外的球面成保角对应 10.平面曲线的密切平面与曲线所在平面() A.相交 B.平行 C.重合 D.垂直 11.两个曲面等距等价的充要条件是经过适当的参数选择后,() A.第一基本型相同 B.第一基本型成比例 C.第二基本型相同 D.第二基本型成比例 12.在选取曲率线网作为参数曲线网时,曲面的两个主曲率k1,k2为() 13.设曲面 的第一、二类基本量为 和 ,则曲面的面积为 A. ; B. ; C. ; D. 14.下面曲线中是一般螺线的是() A.平面曲线 B.圆柱螺线 C.直线 D.以上全是 15.下列关于主方向,正确的说法是() A.曲面上一点处至少有两个主方向 B.除脐点处外,主方向是互相垂直的 C.沿主方向,法曲率达到最大值或最小值 D.以上全正确 16.下面各量中,不是内蕴量的是( ) A.曲面上曲线的曲率 B.曲面上曲线的法曲率 C.曲面的平均曲率 D.曲面的高斯曲率 17.曲率和挠率均为非零常数的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.圆柱螺线 D.平面曲线 18.在椭圆点处,曲面的第二类基本量满足( ) 19.在不含脐点的曲面上,坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 ( ) 20.反映法曲率随方向而变化的变化规律的欧拉(Euler)公式是 ( ) 三、判断下列各题,正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”。 1.曲线上的正常点是指曲率不为零的点。 ( ) 2.如果两条曲线在对应点的主法线互相平行,则在对应点处的切线互相平行。 ( ) 3.高斯曲率和平均曲率都是曲面的内蕴量。 ( ) 4.密切面固定的曲线是挠率等于零的曲线。 ( ) 5.若给出闭区间上的任意两个连续函数 则必存在曲线以 分别为它的曲率和挠率.( ) 6.曲面上的曲纹坐标网为曲率线网的充要条件为F=M=0.( ) 7.若曲线的主法线与固定方向成定角,则该曲线为一般螺线。 ( ) 8.空间曲线穿过法平面和从切平面,不穿过密切平面。 ( ) 9.如果所有法平面互相平行,那么这曲线是直线。 ( ) 10.曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一条抛物线。 ( ) 11.曲面上的曲纹坐标网为渐进网的充要条件为L=N=0。 ( ) 12.在空间曲线的非逗留点处,密切平面存在且唯一。 ( ) 13.空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( ) 14.在曲面的非脐点处,最多有二个渐近方向。 ( ) 15.曲线的主法向量正向总是指向曲线的凹侧。 ( ) 16.曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。 ( ) 17.在光滑曲线的正常点处,切线存在而且唯一。 ( ) 18.圆的曲率、挠率特征是: k=常数,τ=0。 ( ) 19.在曲面的非脐点处,有且仅有二个主方向。 ( ) 20.若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线.( ) 21.球面曲线的主法线必过球心.( ) 22.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0.( ) 23.平面曲线挠率特征为τ=0。 ( ) 24.如果曲面上有直线,则它一定是曲面的渐近曲线。 ( ) 25.设曲面的第一基本形式为I=Edu2+Gdv2,则u曲线和v曲线的位置关系为正交。 ( ) 26.圆的曲率和挠率特征是k=常数,τ=0。 ( ) 27.I=2du2+6dudv+3dv2可以作为曲面的第一基本形式。 ( ) 28.一般螺线的主法线与固定直线一定垂直.( ) 29.曲面的第一基本型是正定的.( )
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