第1章 三角形的证明.docx
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第1章三角形的证明
第一章三角形的证明
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是( )
A.1,2,1B.2,2,1C.1,3,1D.2,2,5
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则下列四个结论:
①AD上任意一点到点C,B的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD,AD⊥BC;④∠BDE=∠CDF.其中正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是( )
A.70°B.55°C.50°D.40°
4.下列条件中不能确定是等腰三角形的是( )
A.三条边都相等的三角形
B.有一个锐角是45°的直角三角形
C.一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形
D.一条中线把面积分成相等的两部分的三角形
5.如图,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )
A.AC=BDB.∠CAB=∠DBA
C.∠C=∠DD.BC=AD
6.下列说法中:
(1)顶角相等,并且有一腰相等的两个等腰三角形全等;
(2)底边相等,且周长相等的两个等腰三角形全等;(3)腰长相等,且有一角是50°的两个等腰三角形全等;(4)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等;错误的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为( )
A.8或10B.8C.10D.6或12
8.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为( )
A.48°B.36°C.30°D.24°
9.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.2.5B.1.5C.2D.1
10.如图,等边△ABC的三条角平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,分别交AB于E,交AC于F,则图中的等腰三角形有( )
A.4个B.5个C.6个D.7个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是__________,这个逆命题是________命题.
12.如图,过等边△ABC的顶点A作射线.若∠1=20°,则∠2的度数为________.
13.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是________.
14.如图是某超市一层到二层电梯的示意图,其中AB、CD分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长约为12米,则乘电梯从点B到点C上升的高度h约为________米.
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=3,AB=12,则△ABD的面积为________.
16.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,交AB于点E,交AC于点D.若∠ADE=40°,则∠DBC=________°.
17.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△ABO≌△ADO.下列结论:
①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.其中所有正确结论的序号是__________.
18.若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2,则该等腰三角形顶角的度数为________.
三、解答题(共66分)
19.如图,在长方形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EF⊥DF,求证:
BF=CD.
20.如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=125°,求∠ACB和∠BAC的度数.
21.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,连接EF.求证:
AD垂直平分EF.
22.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:
△BED≌△CFD;
(2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周长.
23.如图,AD是△ABC的边BC上的高,∠B=60°,∠C=45°,AC=6.求:
(1)AD的长;
(2)△ABC的面积.
24.如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是AB,BC,CA上的点.
(1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?
试证明你的结论;
(2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?
试证明你的结论.
三角形的证明
一、填空题(每小题4分,共20分)
1.写出命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题如果3a=3b,那么a=b.
2.在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,若∠B=50°,则∠DAC的度数是40_°.
3.如果三角形三边长分别为6cm,8cm,10cm,那么它最短边上的高为8cm.
4.如图,在锐角三角形ABC中,直线PL为BC的垂直平分线,射线BM为∠ABC的平分线,PL与BM相交于P点.若∠PBC=30°,∠ACP=20°,则∠A的度数为70_°.
5.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,直线m经过点C,分别过点A,B作直线m的垂线,垂足分别为点E,F,若AE=3,AC=5,则线段EF的长为1或7.
二、选择题(每小题3分,共30分)
6.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为(A)
A.35°B.40°C.45°D.50°
7.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点.已知△PAB的周长为14,PA=4,则线段AB的长度为(A)
A.6B.5C.4D.3
8.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是(A)
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边距离相等
9.已知直角三角形中,30°角所对的直角边长是2厘米,则斜边的长是(B)
A.2厘米B.4厘米C.6厘米D.8厘米
10.如图,在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为(B)
A.12B.9C.8D.6
11.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(B)
A.3,4,4B.1,
,
C.
,
,
D.3,4,7
12.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC=(A)
A.100°
B.80°
C.70°
D.50°
13.(宜昌中考)如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有(C)
A.1个B.2个
C.3个D.4个
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=1.5,BD=2.5,则AC的长为(C)
A.5B.4C.3D.2
15.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,过点O作OD⊥AC于点D,下列四个结论:
①EF=BE+CF;
②∠BOC=90°+
∠A;
③点O到△ABC各边的距离相等;
④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.
其中正确的结论是(A)
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
三、解答题(共50分)
16.(6分)已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,D为CA延长线上一点,DE⊥BC,交线段AB于点F.请找出一组相等的线段(AB=AC除外)并加以证明.
解:
AD=AF.证明如下:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠BEF=∠DEC=90°.
∴∠BFE=∠D.
∵∠BFE=∠DFA,∴∠DFA=∠D.
∴AF=AD.
17.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.求证:
△BED≌△CFD.
证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS).
18.(8分)如图:
已知等边三角形ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为点M,求证:
M是BE的中点.
证明:
连接BD.
∵三角形ABC为等边三角形,且D是AC的中点,
∴∠DBC=
∠ABC=
×60°=30°,∠ACB=60°.
∵CE=CD,∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠E=
∠ACB=30°.
∴∠DBC=∠E=30°.
∴BD=ED,即△BDE为等腰三角形.
又∵DM⊥BC,
∴M是BE的中点.
19.(8分)如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:
△ACE≌△BCD;
(2)若AD=5,BD=12,求DE的长.
解:
(1)证明:
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,
∴EC=DC,AC=BC,∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD.
∴∠ACE=∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS).
(2)∵△ACE≌△BCD,
∴∠EAC=∠B=45°,AE=BD=12.
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°.
在Rt△EAD中,DE2=AE2+AD2=122+52=169.∴DE=13.
20.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.
(1)求证:
△ABD是等腰三角形;
(2)若∠A=40°,求∠DBC的度数;
(3)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长.
解:
(1)证明:
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
∴DB=DA.
∴△ABD是等腰三角形.
(2)∵△ABD是等腰三角形,∠A=40°,
∴∠ABD=∠A=40°,
∠ABC=∠C=(180°-40°)÷2=70°.
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
(3)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,AE=6,∴AB=2AE=12,BD=AD.
∵△CBD的周长为20,
∴BD+CD+BC=20.∴AC+BC=20.
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=12+20=32.
21.(10分)已知点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图1,若点O在BC上,求证:
AB=AC.
(2)如图2,若点O在△ABC内部,求证:
AB=AC.
(3)猜想,若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?
请说明理由.
解:
(1)证明:
过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,则OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°.
又∵OB=OC,∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL).
∴∠B=∠C.∴AB=AC.
(2)证明:
过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,则OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°.
易证Rt△BOD≌Rt△COE(HL).
∴∠DBO=∠ECO.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∴∠ABC=∠DBO+∠DBC=∠ACB=∠ECO+∠DCB.∴AB=AC.
(3)不一定成立.
理由:
如图3,过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,则OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°.
易证Rt△BOD≌Rt△COE(HL).
∴∠DBO=∠ECO.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∴∠DBC=∠DBO+∠OBC=∠ECB=∠ECO+∠BCO.∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
如图4,可知AB≠AC.
∴若点O在△ABC的外部时,AB=AC不一定成立.
第一章 三角形的证明单元检测题
1.如图,在△ABC中,D,E两点分别在AC,BC上,DE为BC的垂直平分线,BD为∠ADE的角平分线,若∠A=58°,则∠ABD的度数为()
A.58°B.59°C.61°D.62°
2.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于()
A.10B.7C.5D.4
3.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于点O,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()
A.∠B=∠CB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为()
A.6B.6
C.9D.3
5.如图,在△ABC中,∠B=40°,∠BAC=75°,AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为E.则∠CAD等于()
A.30°B.35°C.40°D.50°
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当的长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是()
A.15B.30C.45D.60
7.如果将长为6cm,宽为5cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是()
A.8cmB.5
cmC.5.5cmD.1cm
8.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是()
A.2B.
C.
D.2
9.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图①,测得AC=2,当∠B=60°时,如图②,AC等于()
A.
B.2C.
D.2
10.下列说法:
①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等;②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等;③有一个角和底边分别相等的两个等腰三角形全等;④一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.如图,在等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M.若AB=4cm,则DE=___________cm.
12.如图,在△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则△BCE的周长为____.
13.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E,F分别是CD,AD上的点,且CE=AF.如果∠AED=62°,那么∠DBF=____.
14.已知等腰三角形一底角为30°,底边上的高为9cm,则等腰三角形的腰长为____cm,底边长为cm,顶角的度数为____.
15.如图,在Rt△ABC中,D,E是斜边AB上的两点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE的度数为____.
16.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:
AB=AC;
(2)若AD=2
,∠DAC=30°,求AC的长.
17.如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.
(1)求证:
AD=BE;
(2)求∠AEB的度数.
参考答案:
1---10DCDCBBACAB
11.2
12.13
13.28°
14.1818
120°
15.45°
16.解:
(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,又∵BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴∠B=∠C,即AB=AC
(2)由
(1)得AB=AC,∵BD=CD,∴AD⊥BC,在Rt△ADC中,∠DAC=30°,∴AC=2CD,由AD2+CD2=AC2得
(2)2+CD2=(2CD)2,解得CD=2,∴AC=2CD=4
17.解:
(1)∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,∴∠ACB=∠DCE=180°-50°×2=80°,∵∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB=80°,∴∠ACD=∠BCE,又∵AC=BC,DC=EC,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE
(2)由
(1)得△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC,又∵∠ADC+∠CDE=180°,∴∠ADC=180°-50°=130°,∴∠BEC=130°,∴∠AEB=130°-50°=80°
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