完整版第一章热力学的基本规律课后作业及答案.docx
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完整版第一章热力学的基本规律课后作业及答案
第一章热力学的基本规律
数kT,根据下述积分求得:
如果1,kT
T
1,试求物态方程。
p
lnV
(dT&dp)
解以T,p
为自变量,物质的物态方程为
VV(T,p)
其全微分为
全式除以V,有
dT
dV
V
根据体胀系数和等温压缩系数kT的定义,可将上式改写为
InV(dTkTdp)
11
若,kT,式⑶可表示为
TP
吸取的热量。
解:
(1)有dp
PdVPdT知,当dV0时,有VTTV
dP
0
PT
dT
V
pdT
—dT
T
P2
P1
T2dT
T1
—T2T
_1
T
T
pP2P1—T2T1622Pn
T
分别设为Xpn;V,由定义得:
xT4.858
104;V4.851041007.8107
到Vb,外界对气体所做的功为
气体所做的功是上式的负值,将题给数据代入,得
WRTln匹
Pb
8.31
300
ln20J7.47
103J
在等温过程中理想气体的内能不变,即
U0
根据热力学第一定律(式(1.5.3)),气体在过程中吸收的热量
QW7.47103J
1.5在25C下,压强在0至lOOOPn之间,测得水的体积为
3623
V(18.0660.71510p0.04610p)cmmol
如果保持温度不变,将1mol的水从1pn加压至1000pn,求外界所做的功。
保持温度不变,将1mol的水由1pn加压至1000pn,外界所做的功为
在上述计算中我们已将过程近似看作准静态过程。
0.996
1.41
kg1k1
0.706103Jkg-1k1
定容比热容可由所给定压比热容算出
维持体积不变,将空气由0C加热至20C所需热量Qv为
Q口6仃2T1)34.830.70610320J4.920105J
(b)维持压强不变,将空气由0C加热至20C所需热量Qp为
Qpm1cp(T2T1)34.830.99610320J6.938105J
(c)若容器有裂缝,在加热过程中气体将从裂缝漏出,使容器内空气质量发生变化•根据理想气体的物态方程
、,m“
pVRT
m
m为空气的平均摩尔质量,在压强和体积不变的情形下,容器内气体的质量与温度成
T2
Qcp丁m(T)dT
m^Cp
T2dT
T1T
m〔TiCpIn
T1
反比。
以m1、T1表
m表示温度为T时气体的质量,有
mm1
pV——RTmTm1T1
mm
Q为
示气体在初态的质量和温度,所以在过程(c)中所需的热量
将所给数据代入,得
32935
Q34.832730.996103lnJ6.678105J
273
1.7抽成真空的小匣带有活门,
打开活门让气体冲入。
当压强达到外界压强P0时将活门关上。
试证明:
小
匣内的空气在没有与外界交换热量之前,它的内能U与原来在大气中的内能u0之差为UU0p0V0,其
中V。
是它原来在大气中的体积。
若气体是理想气体,求它的温度和体积。
解将冲入小匣的气体看作系统。
系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能U0由式(1.5.3)
UU0WQ
(1)
确定。
由于过程进行得很迅速,过程中系统与外界没有热量交换,Q0。
过程中外界对系统所做的功可以
分为W1和W2两部分来考虑。
一方面,大气将系统压入小匣,使其在大气中的体积由V。
变为零。
由于小匣
很小,在将气体压入小匣的过程中大气压强p0可以认为没有变化,即过程是等压的(但不是准静态的)。
过
程中大气对系统所做的功为
Wp°V卩0必
另一方面,小匣既抽为真空,系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力,与外界也就没有功变换,则
W20
因此式
(1)可表为
UU0
p0V0
⑵
如果气体是理想气体,根据式(1.3.11)和(1.7.10),有
p0V0
nRT°
⑶
U。
nRT°
1
,u吧
⑷
式中n是系统所含物质的量。
代入式⑵即有
TTo⑸
活门是在系统的压强达到Po时关上的,所以气体在小匣内的压强也可看作Po,其物态方程为
PoVnRTo⑹
与式⑶比较,知
1.8满足PVn=C的过程称为多方过程,其中常数
n名为多方指数。
试证明,理想气体在多方过程中的热容
VVo⑺
n-
量为Cn-CV
解法一:
CnlTmo
PVdU
PdV
CV
PdVdTn
Tn
dTn
理想气体多方过程
PV=RT
PVn=C
PdVVdP
RdT
R
有
PdV
——dT
PVn1ndV
VndPo,nPdV
VdPo
n1
所以CnCV
n1
CpcvR
另一方面,理想气体Cp
CV
n_
所以得CnCV,证毕
n-1
解法二:
根据热力学第一定律,有
CndTCVdTpdV(dUCvdT)
将⑵代入
(1)式,得
即得
1n
CnCvCvCv
n1n1
对于理想气体,由焦耳定律知内能的全微分为
dUCvdT
关系式
为T的函数•••V1为T的函数。
•F(T)丄F(T)V1V
1.11利用上题的结果证明,当是温度的函数时,理想气体卡诺循环的效率仍为
解在是温度的函数的情形下,§1.9就理想气体卡诺循环得到的式(1.6.18)――(1.6.21)仍然成立,
Q1RTlnV1
哲
(1),Q2RT2lnV4
即仍有
WQQ2R£l
对于状态1、4和2、3有下面的关系:
F(T1)ViF(T2)V4
解根据克劳修斯不等式(194),有
改写为
QjQk
jTjkTk
度为T2,必有
故由式⑶得
定义Q1Qj为热机在过程中吸取的总热量,Q
j
或
根据热力学第一定律,热机在循环过程中所做的功为
W
热机的效率为
Qk为热机放出的总热量,则式(4)可表为
k
Q1Q2兀T;
T?
Q2
⑹
T1Q1
Q1Q2
W1Q21T2
⑺
Q1Q1T1
1.14理想气体分别经过等压过程和等容过程,温度由T;升至T2。
假设是常数,试证明前者的熵增加值
为后者的倍。
解根据式(1.10.5),理想气体的熵函数可表达为
S
CplnT
nRInpS0
(1)
在等压过程中温度由£,升到t2时,熵增加值
Sp为
SpCplr)T
⑵
根据式(1.10.2),理想气体的熵函数也可表达为
S
CVlnTnRlnVS0
⑶
在等容过程中温度由£,升到T2时,熵增加值
Sv为
S/Cvln彳
T1
⑷
所以
SpCp
SVCV
1.15温度为0C的1kg水与温度为100C的恒温热源接触后,水温达到100C。
试分别求水和热源的熵变
以及整个系统的总熵变。
欲使参与过程的整个系统的熵保持不变,应如何使水温从0C升至100C?
已知
水的比热容为4.18Jg-1K1
解0C的水与温度为100C的恒温热源接触后水温升为100C,这一过程是不可逆过程。
为求水、热源和整个系统的熵变,可以设想一个可逆过程,它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化,通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。
0C与100C之间。
令水依次
为求水的熵变,设想有一系列彼此温差为无穷小的热源,其温度分布在
S7K3热源184JK
从这些热源吸热,使水温由0C升至。
在这可逆过程中,水的熵变为
373mcpdT1
p1304.6JK1
273T
参与过程的整个系统的总熵变为
S%S水S热源0
1.1610A的电流通过一个25◎的电阻器,历时1s。
(a)若电阻器保持为室温27C,试求电阻器的熵增加值。
K1,
(b)若电阻器被一绝热壳包装起来,其初温为27C,电阻器的质量为10g,比热容Cp为0.84Jg1
问电阻器的熵增加值为多少?
解(a)以T,p为电阻器的状态参量。
设想过程是在大气压下进行的,如果电阻器的温度也保持为室
温27C不变,则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
所以有
mcpdT
H
T
mcpln^1020.84103ln600JK15.8JK1
pT300
1
1.17均匀杆的温度一端为Ti,另一端为T2。
试计算达到均匀温度-(TiT2)后的熵增加值。
2
土厲T2)的平衡状
I到Idl的小段,初温为
解以L表示杆的长度。
杆的初始状态是I0端温度为T2,IL端温度为T1,温度梯度为"「2,(设
T1T2)。
这是一个非平衡状态。
通过均匀杆中的热传导过程,最终达到具有均匀温度
态。
为求这一过程的熵变,我们将杆分为长度为dI的许多小段。
位于
TT2
T1T2I
L
1
这小段由初温T变到终温-(T;J)后的熵增加值为
2
其中Cp是均匀杆单位长度的定压热容量。
根据熵的可加性,整个均匀杆的熵增加值为
SdSlcpLIn(T1T2)
lp0
式中CpCpL是杆的定压热容量。
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